Standard Signals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Standard Signals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

\(\rm y(n) = \sum_{n=-5}^5 \sin (2n) \delta (n + 7)\)

n + 7 = 0

n = -7

जो -5 ≤ n ≤ 5 के बीच में नहीं है

इसलिए, y[5] = 0

अवधारणा:

• \(\delta \left[ {at + b} \right] = \frac{1}{{\left| a \right|}}\delta \left[ {t + \frac{b}{a}} \right]\;\)
• \(\mathop \smallint \nolimits_{ - \infty }^\infty f\left( t \right).\delta \left( {t - a} \right) = f\left( a \right)\)

गणना:

\(\delta \left( {3t - \pi } \right) = \frac{1}{{\left| 3 \right|}}\delta \left[ {t - \frac{\pi }{3}} \right]\)

\(= \frac{1}{3}\delta \left[ {t - \frac{\pi }{3}} \right]\)

दिया हुआ है कि,

\(\therefore \mathop \smallint \nolimits_{\frac{{ - \pi }}{6}}^{\frac{\pi }{6}} \sin \left( {3t - \frac{\pi }{2}} \right).\delta \left( {3t - \pi } \right).dt\)

\(= \mathop \smallint \nolimits_{\frac{{ - \pi }}{6}}^{\frac{\pi }{6}} \sin \left( {3t - \frac{\pi }{2}} \right).\frac{1}{3}\delta \left( {t - \frac{\pi }{3}} \right).dt\)

\(= \frac{1}{3}\mathop \smallint \nolimits_{\frac{{ - \pi }}{6}}^{\frac{\pi }{6}} \sin \left( {3t - \frac{\pi }{2}} \right).\delta \left( {t - \frac{\pi }{3}} \right).dt\)

= 0

संकल्पना:

फॉरियर रूपांतरण:

इसका प्रयोग किसी परिबद्ध इनपुट और परिबाधा आउटपुट (BIBO) सिग्नल की आवृत्ति विश्लेषण के लिए की जाती है। 

किसी फलन x(t) के लिए फॉरियर रूपांतरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(X\left( w \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } x\left( t \right){e^{ - jwt}}dt\)

गणना:

x(t) = sgn(t) = 1,   t > 0

                       0,   t = 0

                      -1,   t < 0

साथ ही sgn(t) = u(t) - u(-t)

यह सिग्नल विशिष्ट रूप से समाकलनीय नहीं है, इसलिए हम a → 0 के रूप में घातांक e^-atu(t)  - e^atu(t) के योग की परिसीमा स्थिति के रूप में sgn(t) के फॉरियर रूपांतरण की गणना करते हैं। 

x(t) = sgn(t) =  e-atu(t)  - eatu(t)

उपरोक्त समीकरण का फॉरियर रूपांतरण लेने पर:

\(X(\omega)=[\frac{1}{a \ + \ j\omega} \ - \ \frac{1}{a \ - \ j\omega}] \)

\(X(\omega)=[\frac{-2j\omega}{a^2 \ + \ \omega^2}]\)

अब a → 0 के रूप में 

\(X(\omega)=\frac{2}{j\omega}\)

अतः विकल्प (4) सही उत्तर है। 

Important Points

किसी फलन X(w) के लिए व्युत्क्रम फॉरियर रूपांतरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } X\left( w \right){e^{jwt}}dw\)

सही उत्तर है , कथन II सही है, परन्तु I गलत है।

Key Points 
कथन I: माध्य का प्रतिदर्श वितरण सामान्य रूप से वितरित होता है। 
कथन I दावा करता है कि जनसंख्या वितरण के प्रकार और प्रतिदर्श के आकार से निरपेक्ष माध्य का प्रतिदर्शी बंटन प्रसामान्य बंटन होता है। यह आंशिक रूप से सही है।

जबकि केंद्रीय सीमा प्रमेय बताता है कि माध्य का नमूना वितरण पर्याप्त बड़े नमूना आकारों के लिए एक सामान्य वितरण के करीब होता है, यह सभी नमूना आकारों और जनसंख्या वितरण के लिए सही नहीं है।

इस कथन की वैधता का विवरण इस प्रकार है:

वैधता:

बड़े नमूना आकार: बड़े नमूना आकारों (आमतौर पर n > 30) के लिए, केंद्रीय सीमा प्रमेय लागू होता है, और माध्य का नमूना वितरण जनसंख्या वितरण की परवाह किए बिना लगभग सामान्य होगा। यह औसत प्रभाव के कारण होता है, जहाँ जनसंख्या माध्य से यादृच्छिक विचलन एक दूसरे को रद्द करने की प्रवृत्ति रखते हैं।
सामान्य जनसंख्या वितरण: छोटे नमूना आकारों के लिए भी, यदि जनसंख्या वितरण पहले से ही सामान्य है, तो माध्य का नमूना वितरण भी सामान्य होगा।
अमान्यता:

छोटे नमूना आकार: छोटे नमूना आकारों (n < 30) के लिए, माध्य का नमूना वितरण सामान्य नहीं हो सकता है, खासकर यदि जनसंख्या वितरण गैर-सामान्य है। ऐसे मामलों में, नमूना वितरण का आकार विशिष्ट जनसंख्या वितरण पर निर्भर करता है।
कथन II: नमूना वितरण का मानक विचलन
कथन II का दावा है कि माध्य के नमूना वितरण का मानक विचलन जनसंख्या वितरण के मानक विचलन से कम है। यह सत्य है और इसे माध्य की मानक त्रुटि के रूप में जाना जाता है।

माध्य की मानक त्रुटि (SEM) की गणना इस प्रकार की जाती है:

SEM = σ / √n
जहां:

σ जनसंख्या मानक विचलन है। 
n नमूना आकार है। 
जैसे-जैसे नमूना आकार बढ़ता है, SEM घटता जाता है, जो यह दर्शाता है कि माध्य का नमूना वितरण जनसंख्या माध्य के आसपास अधिक केंद्रित हो जाता है।

इसलिए:

कथन I गलत है: यह बड़े नमूना आकार या सामान्य जनसंख्या वितरण के लिए सही है।
कथन II सत्य है: माध्य के नमूना वितरण का मानक विचलन हमेशा जनसंख्या वितरण के मानक विचलन से कम होता है।

अतः, सही उत्तर यह है कि कथन II सही है, परन्तु I गलत है।

प्रवण इनपुट:

यह एक मानक इनपुट संकेत है जिसमें इनपुट में परिवर्तन की निरंतर दर होती है।

प्रवण एक संकेत है, जो शून्य के मूल्य से शुरू होता है और समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है

\(r\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {At;t \ge 0}\\ {0;else\;where} \end{array}} \right.\)

यदि आयाम A = 1 है, तो इसे इकाई प्रवण इनपुट कहा जाता है।

इकाई प्रवण का समाकलन एक परवलयिक संकेत है

\(p\left( t \right) = \smallint t\;dt = \frac{{{t^2}}}{2}\)

एक परवलयिक संकेत निम्न के रूप में व्यक्त किया जाता है

\(p\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{t^2}}}{2};t \ge 0}\\ {0;else\;where} \end{array}} \right.\)

महत्वपूर्ण बिंदु:

अवधारणा :

आवेग फलन का स्थानांतरण गुण

\(\rm\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta (t -a ) dt = x(a)\)

आवेग फलन का स्केलिंग गुण

\(\delta (at) = \frac{1}{|a|)} \delta (t)\)

स्पष्टीकरण :

माना:

\(\rm I =\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t} \delta(2t - 2) dt\)

\( I = \rm\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t} \delta[2(t - 1)] dt\)

उपरोक्त समीकरण में आवेग फलन के स्केलिंग गुण का उपयोग करके, हम प्राप्त करेंगे:

\( I =\rm\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t} \frac{1}{|2|}\delta(t - 1) dt\)

आवेग फलन के स्थानांतरण गुण को उपरोक्त समीकरण में लागू करने पर, हम प्राप्त करेंगे:

\( I =\frac{1}{2}\rm\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t} \delta(t - 1) dt\)

\(I = \frac{1}{2}. \left. e^{-t} \right|_{t = 1}\)

\(\frac{1}{{2e}}\)

इकाई आवेग फलन:

इसे निम्न रूप में परिभाषित किया गया है

गुण:

1. \(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty \delta \left( t \right)dt = 1\)

2. \(\delta \left( {at} \right) = \frac{1}{{\left| a \right|}}\delta \left( t \right)\)

3. x(t) δ(t – t0) = x(t0)

4. \(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right)\delta \left( {t - {t_o}} \right)dt = x\left( {{t_0}} \right)\)

5. \(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty f\left( t \right)\delta \left( {at + b} \right)dt = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty f\left( t \right)\frac{1}{{\left| a \right|}}\delta \left( {t + \frac{b}{a}} \right)dt\)

6. \(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){\delta ^n}\left( {t - {t_o}} \right)dt = {\left. {\frac{{{d^n}x}}{{d{t^n}}}} \right|_{t = {t_0}}}\)

इकाई आवेग का असतत समय संस्करण निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है

\(\delta \left[ n \right] = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,\;\;n = 0}\\ {0,\;\;n \ne 0} \end{array}} \right.\)

गुण:

1. x[n] δ[n] = x[0] δ[n]

2. \(\mathop \sum \limits_{n = - \infty }^{n = \infty } x\left[ n \right]\delta \left[ n \right] = \mathop \sum \limits_{n = - \infty }^{n = \infty } x\left[ 0 \right]\delta \left[ n \right] = x\left[ 0 \right]\)

3. x[n] δ[n – n0] = x[n0] δ[n – n0]

4. \(\mathop \sum \limits_{n = - \infty }^{n = \infty } x\left[ n \right]\delta \left[ {n - {n_0}} \right] = \mathop \sum \limits_{n = - \infty }^{n = \infty } x\left[ {{n_0}} \right]\delta \left[ {n - {n_0}} \right] = x\left[ {{n_0}} \right]\)

5. δ[an] = δ[n]

अवधारणा:

इकाई आवेग फलन:

इसे निम्न रूप से परिभाषित किया गया है, \(\delta \left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\infty ,\;\;t = 0}\\ {0,\;\;t \ne 0} \end{array}} \right.\)

गुण:

1. \(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty \delta \left( t \right)dt = 1\)

2. \(\delta \left( {at} \right) = \frac{1}{{\left| a \right|}}\delta \left( t \right)\)

3.  x(t) δ(t – t0) = x(t0) ⇒ x(t) δ(t) = x(0)

4. \(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right)\delta \left( {t - {t_o}} \right)dt = x\left( {{t_0}} \right)\)

5. \(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^T x\left( t \right)\delta \left( {t - {t_o}} \right)dt = 0\) यदि T < t0

6. \(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty f\left( t \right)\delta \left( {at + b} \right)dt = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty f\left( t \right)\frac{1}{{\left| a \right|}}\delta \left( {t + \frac{b}{a}} \right)dt\)

7. \(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){\delta ^n}\left( {t - {t_o}} \right)dt = {\left. {\frac{{{d^n}x}}{{d{t^n}}}} \right|_{t = {t_0}}}\)

अनुप्रयोग:

दी गई अभिव्यक्ति,

\(\displaystyle\int_0^\infty e^{-at^2} \delta (t+10)dt\) निम्न रूप में लिखा जा सकता है

\(\displaystyle\int_0^\infty e^{-at^2} \delta (t-(-10))dt\)

⇒ आवेग t = -10 पर विद्यमान है

लेकिन समाकलन की दी गई सीमाओं में, यह मौजूद नहीं है, इसलिए उल्लिखित पांचवे गुण से, हम प्राप्त कर सकते हैं

\(\displaystyle\int_0^\infty e^{-at^2} \delta (t-(-10))dt\) = 0

⇒ \(\displaystyle\int_0^\infty e^{-at^2} \delta (t+10)dt\) = 0

प्रवण इनपुट:

यह एक मानक इनपुट संकेत है जिसमें इनपुट में परिवर्तन की निरंतर दर होती है।

प्रवण एक संकेत है, जो शून्य के मूल्य से शुरू होता है और समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है

\(r\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {At;t \ge 0}\\ {0;else\;where} \end{array}} \right.\)

यदि आयाम A = 1 है, तो इसे इकाई प्रवण इनपुट कहा जाता है।

इकाई प्रवण का समाकलन एक परवलयिक संकेत है

\(p\left( t \right) = \smallint t\;dt = \frac{{{t^2}}}{2}\)

एक परवलयिक संकेत निम्न के रूप में व्यक्त किया जाता है

\(p\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{t^2}}}{2};t \ge 0}\\ {0;else\;where} \end{array}} \right.\)

महत्वपूर्ण बिंदु:

संकल्पना:

मूल आवृत्ति: मूल आवृत्ति कंपन की न्यूनतम आवृत्ति है।

मूल आवृत्ति की nth संनादी निम्न रूप में दी गई है:

nth संनादी = n x मूल आवृत्ति

\(f_0=\frac{n^{th} \ Harmonic}{n}\)

गणना:

दिया गया है:

n = 4, 4th संनादी = 512 Hz

∴ मूल आवृत्ति (f0) होगी:

\(f_0=\frac{n^{th} \ Harmonic}{n}=\frac{512}{4}\)

f0 = 128 Hz

समतल शीर्ष प्रतिचयन​:

समतल शीर्ष प्रतिचयन में नमूनों का आयाम स्थिर रहता है, प्रतिचयन सिग्नल के मान के बराबर है।

इससे छिद्र प्रभाव होता है यानी उच्च आवृत्ति वाले घटक अधिक क्षीण होते हैं। इसे छोटे प्रतिचयन दिशा का चयन करके बेहतर बनाया जा सकता है।

प्राकृतिक प्रतिचयन:

प्राकृतिक प्रतिचयन इकाई-आयाम आयताकार प्रतिचयन स्पंद की एक ट्रेन के साथ मूल सिग्नल को गुणा करने के बराबर है।

इसलिए, स्वाभाविक रूप से सैंपल किए गए सिग्नल के स्पेक्ट्रम को मूल सिग्नल के स्पेक्ट्रम को प्रतिचयन स्पंद की ट्रेन के स्पेक्ट्रम के साथ जोड़कर निर्धारित किया जा सकता है।

तात्कालिक प्रतिचयन:

PAM सिग्नल के निर्माण में दो संचालन शामिल हैं:

• संदेश सिग्नल का तात्कालिक प्रतिचयन m(t) प्रत्येक Ts सेकंड, जहां प्रतिचयन दर fs = 1/T s प्रतिचयन प्रमेय के अनुसार चुना जाता है।
• इस प्रकार प्राप्त किए गए प्रत्येक नमूने की अवधि को कुछ स्थिर मान T तक बढ़ाना।

संकल्पना:

फॉरियर रूपांतरण के लिए समय-स्थानांतरण गुण:

यदि X(ω), x(t) का फॉरियर रूपांतरण है,

\(x\left( {t - {t_0}} \right) ↔ X\left( \omega \right){e^{ - j\omega {t_0}}}\)  ---(1)

फॉरियर रूपांतरण का द्विविधता गुण:

यदि X(ω), x(t) का फॉरियर रूपांतरण है, 

\(X\left( t \right) ↔ 2\pi x\left( { - \omega } \right)\)

गणना:

δ(t) का फॉरियर रूपांतरण = 1 

अब व्युत्क्रम फॉरियर रूपांतरण की परिभाषा से

\(\delta(\omega)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}\)

अब समीकरण (1) से समय-स्थानांतरण गुण का प्रयोग करने पर

\(\delta(\omega \ - \ \omega_o)\leftrightarrow\frac{1}{2\pi}e^{j\omega_ot}\)

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है। 

Important Points

इकाई आवेग फलन:

एक निरंतर-समय वाले इकाई आवेश फलन δ(t), जिसे डिराक डेल्टा फलन भी कहा जाता है, को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:

δ (t) = ∞ , t = 0

= 0,  हालाँकि

इकाई आवेग फलन को ‘1’ की दृढ़ता के साथ एक तीर के निशान द्वारा दर्शाया गया है जो इसके क्षेत्रफल को दर्शाता है। 

\(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty δ \left( t \right)dt = 1\)

डेल्टा फलन का गुण:

शल्कन गुण:

\(δ \left( {at} \right) = \frac{1}{{\left| {at} \right|}}δ \left( t \right)\)

गुणन गुण:

X(t).δ(t – t0) = x(t0)δ(t – t0)

प्रतिचयन गुण:

\(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right)δ \left( {t - {t_0}} \right)dt = x\left( {{t_0}} \right)\)

महत्वपूर्ण समीकरण:

 X(t).δ(t) = x(0)δ(t)

\(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right)δ \left( t \right)dt = x\left( 0 \right)\)

\(\rm y(n) = \sum_{n=-5}^5 \sin (2n) \delta (n + 7)\)

n + 7 = 0

n = -7

जो -5 ≤ n ≤ 5 के बीच में नहीं है

इसलिए, y[5] = 0

अवधारणा:

संवलन का स्थानांतरण गुण

आवेग के साथ सिग्नल x(t) का संवलन, संवलन के बाद परिणाम के समान सिग्नल देता है।

x(t) ∗ δ(t) = x(t)

x(t) ∗ δ(t – t0) = x(t – t0)

't' के स्थान पर ‘t – t0’ को प्रतिस्थापित करना।

गणना:

दिया हुआ:

x(n) = {1, 1, 1, 1, 0.5, 0.5}

y(n) = conv (δ(n – 1), x(n)) 

आवेग फलन के गुण का उपयोग करना:

y(n) = x(n - 1)

δ(t) के गुण:

1. \(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty δ \left( t \right)dt = 1\)

2. \(δ \left( {at} \right) = \frac{1}{{\left| a \right|}}δ \left( t \right)\)

3. x(t) δ(t – t0) = x(t0)  δ(t – t0)

4. \(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right)δ \left( {t - {t_o}} \right)dt = x\left( {{t_0}} \right)\)

5. \(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty f\left( t \right)δ \left( {at + b} \right)dt\)

\( = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty f\left( t \right)\frac{1}{{\left| a \right|}}δ \left( {t + \frac{b}{a}} \right)dt\)

6. \(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){δ ^n}\left( {t - {t_o}} \right)dt = {\left. {\frac{{{d^n}x}}{{d{t^n}}}} \right|_{t = {t_0}}}\)

δ(n) के गुण:

1. x[n] δ[n] = x[0] δ[n]

2. \(\mathop \sum \limits_{n = - \infty }^{n = \infty } x\left[ n \right]δ \left[ n \right]\)

\( = \mathop \sum \limits_{n = - \infty }^{n = \infty } x\left[ 0 \right]δ \left[ n \right] = x\left[ 0 \right]\)

3. x[n] δ[n – n0] = x[n0] δ[n – n0]

4. \(\mathop \sum \limits_{n = - \infty }^{n = \infty } x\left[ n \right]δ \left[ {n - {n_0}} \right]\)

\( = \mathop \sum \limits_{n = - \infty }^{n = \infty } x\left[ {{n_0}} \right]δ \left[ {n - {n_0}} \right] = x\left[ {{n_0}} \right]\)

5. δ[an] = δ[n

त्रिभुज तीन भुजाओं और तीन कोण वाले एक बंद सतह का आरेख होता है। आंतरिक कोण का योग सदैव 180⁰ होता है।

• समबाहु त्रिभुज सभी तीन बराबर भुजाओं वाला एक त्रिभुज होता है। साथ ही सभी तीन कोण (60°) के बराबर होते हैं।
• समद्विबाहु त्रिभुज में इसकी दो भुजाएं समान होती हैं। दो समान भुजाओं के विपरीत कोण भी समान होते हैं।
• विषमभुज त्रिभुज में सभी तीन भुजाएं लम्बाई में असमान होती हैं। सभी तीन कोण भी असमान होते हैं।
• न्यून कोण त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसमें सभी तीन कोण 90° से कम होते हैं।
• अधिक कोण त्रिभुज में एक कोण 90° से अधिक होता है।
• समकोण त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसमें एक कोण 90° (समकोण) के बराबर होता है। समकोण के विपरीत भुजा कर्ण कहलाती है।