Response of an LTI System MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Response of an LTI System - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

एक असतत – LTI प्रणाली की चरण अनुक्रिया आवेग अनुक्रिया के साथ इकाई चरण का  संवलन होता है अर्थात्

s(n) = u(n) * h(n)

s(n) = चरण अनुक्रिया।यह एक LTI  प्रणाली के लिए चरण इनपुट u(n) है।

संवलन गुणधर्म के अनुसार,इनपुट और आवेग अनुक्रिया  परस्पर विनिमय करने योग्य होती है,अर्थात् हम लिख सकते हैं :

s(n) = h(n) * u(n)

\(s\left( n \right) = \mathop \sum \limits_{k = - \infty }^\infty h\left( k \right) \cdot u\left( {n - k} \right)\)

\(u\left( {n - k} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\;for\;n - k < 0\;\;}\\ {1\;for\;\;n - k \ge 0\;} \end{array}} \right.\)

\(\therefore s\left( n \right) = \mathop \sum \limits_{k = - \infty }^n h\left( k \right)\)

हम निष्कर्ष निकालते हैं कि एक असतत – LTI प्रणाली की चरण अनुक्रिया दी गई उसकी आवेग अनुक्रिया का चल योग होता है ,

h(n) = u(n)

\(s\left( n \right) = \mathop \sum \limits_{k = - \infty }^n u\left( k \right) = nu\left( n \right)\)

संप्रत्यय:

समय डोमेन में कनवल्शन के परिणामस्वरूप आवृत्ति डोमेन में गुणन होता है, अर्थात्

यदि, x₁(n) ↔ X₁(ω)

X₂(n) ↔ X₂(ω)

तब, x₁(n) ⊗ X₂(n) ↔ X₁(ω) x₂(ω)

गणना:

सिस्टम-1 का विश्लेषण:

मान लीजिए सिस्टम-1 का आवेग प्रतिक्रिया h₁(n) है और सिस्टम-2 का आवेग प्रतिक्रिया h₂(n) है

f(n) = x(n) ⊗ h₁(n) ↔ X(ω) H₁(ω) = f(ω) ----(1)

और y₁(n) = f(n) ⊗ h₂(n) ↔ f(ω) H₂(ω) = y₁(ω) (∵ y₁(n) ↔ y₁(ω))

समीकरण-(1) का उपयोग करते हुए,

y₁(ω) = X(ω) H₁(ω) H₂(ω) ----(2)

सिस्टम-2 का विश्लेषण:

g(n) = x(n) ⊗ h₂(n) ↔ X(ω) H₂(ω) = G(ω)

इसके अलावा, y₂(n) = g(n) ⊗ h₁(n) ↔ G(ω) H₁(ω) = y₂(ω)

y₂(ω) = X(ω).H₂(ω).H₁(ω) -----(3)

समीकरण (2) और (3) से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि y₁(ω) = y₂(ω).

इसका अर्थ है कि कथन 1 हमेशा सत्य है।

इसके अलावा, f(n) = x(n) ⊗ h₁(n) ↔ X(ω).H₁(ω)

g(n) = x(n) ⊗ h₂(n) ↔ X(ω).H₂(ω)

स्पष्ट रूप से, f(n) ≠ g(n), जब तक कि H₂(ω) = H₁(ω)(या f(n) = g(n)) नहीं है

इसलिए, कथन 2 हमेशा सत्य नहीं है।

इसलिए विकल्प (2) सही है।

संकल्पना:

एक असतत – LTI प्रणाली की चरण अनुक्रिया आवेग अनुक्रिया के साथ इकाई चरण का  संवलन होता है अर्थात्

s(n) = u(n) * h(n)

s(n) = चरण अनुक्रिया।यह एक LTI  प्रणाली के लिए चरण इनपुट u(n) है।

संवलन गुणधर्म के अनुसार,इनपुट और आवेग अनुक्रिया  परस्पर विनिमय करने योग्य होती है,अर्थात् हम लिख सकते हैं :

s(n) = h(n) * u(n)

\(s\left( n \right) = \mathop \sum \limits_{k = - \infty }^\infty h\left( k \right) \cdot u\left( {n - k} \right)\)

\(u\left( {n - k} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\;for\;n - k < 0\;\;}\\ {1\;for\;\;n - k \ge 0\;} \end{array}} \right.\)

\(\therefore s\left( n \right) = \mathop \sum \limits_{k = - \infty }^n h\left( k \right)\)

हम निष्कर्ष निकालते हैं कि एक असतत – LTI प्रणाली की चरण अनुक्रिया दी गई उसकी आवेग अनुक्रिया का चल योग होता है ,

h(n) = u(n)

\(s\left( n \right) = \mathop \sum \limits_{k = - \infty }^n u\left( k \right) = nu\left( n \right)\)

संप्रत्यय:

समय डोमेन में कनवल्शन के परिणामस्वरूप आवृत्ति डोमेन में गुणन होता है, अर्थात्

यदि, x₁(n) ↔ X₁(ω)

X₂(n) ↔ X₂(ω)

तब, x₁(n) ⊗ X₂(n) ↔ X₁(ω) x₂(ω)

गणना:

सिस्टम-1 का विश्लेषण:

मान लीजिए सिस्टम-1 का आवेग प्रतिक्रिया h₁(n) है और सिस्टम-2 का आवेग प्रतिक्रिया h₂(n) है

f(n) = x(n) ⊗ h₁(n) ↔ X(ω) H₁(ω) = f(ω) ----(1)

और y₁(n) = f(n) ⊗ h₂(n) ↔ f(ω) H₂(ω) = y₁(ω) (∵ y₁(n) ↔ y₁(ω))

समीकरण-(1) का उपयोग करते हुए,

y₁(ω) = X(ω) H₁(ω) H₂(ω) ----(2)

सिस्टम-2 का विश्लेषण:

g(n) = x(n) ⊗ h₂(n) ↔ X(ω) H₂(ω) = G(ω)

इसके अलावा, y₂(n) = g(n) ⊗ h₁(n) ↔ G(ω) H₁(ω) = y₂(ω)

y₂(ω) = X(ω).H₂(ω).H₁(ω) -----(3)

समीकरण (2) और (3) से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि y₁(ω) = y₂(ω).

इसका अर्थ है कि कथन 1 हमेशा सत्य है।

इसके अलावा, f(n) = x(n) ⊗ h₁(n) ↔ X(ω).H₁(ω)

g(n) = x(n) ⊗ h₂(n) ↔ X(ω).H₂(ω)

स्पष्ट रूप से, f(n) ≠ g(n), जब तक कि H₂(ω) = H₁(ω)(या f(n) = g(n)) नहीं है

इसलिए, कथन 2 हमेशा सत्य नहीं है।

इसलिए विकल्प (2) सही है।

संकल्पना:

एक असतत – LTI प्रणाली की चरण अनुक्रिया आवेग अनुक्रिया के साथ इकाई चरण का  संवलन होता है अर्थात्

s(n) = u(n) * h(n)

s(n) = चरण अनुक्रिया।यह एक LTI  प्रणाली के लिए चरण इनपुट u(n) है।

संवलन गुणधर्म के अनुसार,इनपुट और आवेग अनुक्रिया  परस्पर विनिमय करने योग्य होती है,अर्थात् हम लिख सकते हैं :

s(n) = h(n) * u(n)

\(s\left( n \right) = \mathop \sum \limits_{k = - \infty }^\infty h\left( k \right) \cdot u\left( {n - k} \right)\)

\(u\left( {n - k} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\;for\;n - k < 0\;\;}\\ {1\;for\;\;n - k \ge 0\;} \end{array}} \right.\)

\(\therefore s\left( n \right) = \mathop \sum \limits_{k = - \infty }^n h\left( k \right)\)

हम निष्कर्ष निकालते हैं कि एक असतत – LTI प्रणाली की चरण अनुक्रिया दी गई उसकी आवेग अनुक्रिया का चल योग होता है ,

h(n) = u(n)

\(s\left( n \right) = \mathop \sum \limits_{k = - \infty }^n u\left( k \right) = nu\left( n \right)\)

संप्रत्यय:

समय डोमेन में कनवल्शन के परिणामस्वरूप आवृत्ति डोमेन में गुणन होता है, अर्थात्

यदि, x₁(n) ↔ X₁(ω)

X₂(n) ↔ X₂(ω)

तब, x₁(n) ⊗ X₂(n) ↔ X₁(ω) x₂(ω)

गणना:

सिस्टम-1 का विश्लेषण:

मान लीजिए सिस्टम-1 का आवेग प्रतिक्रिया h₁(n) है और सिस्टम-2 का आवेग प्रतिक्रिया h₂(n) है

f(n) = x(n) ⊗ h₁(n) ↔ X(ω) H₁(ω) = f(ω) ----(1)

और y₁(n) = f(n) ⊗ h₂(n) ↔ f(ω) H₂(ω) = y₁(ω) (∵ y₁(n) ↔ y₁(ω))

समीकरण-(1) का उपयोग करते हुए,

y₁(ω) = X(ω) H₁(ω) H₂(ω) ----(2)

सिस्टम-2 का विश्लेषण:

g(n) = x(n) ⊗ h₂(n) ↔ X(ω) H₂(ω) = G(ω)

इसके अलावा, y₂(n) = g(n) ⊗ h₁(n) ↔ G(ω) H₁(ω) = y₂(ω)

y₂(ω) = X(ω).H₂(ω).H₁(ω) -----(3)

समीकरण (2) और (3) से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि y₁(ω) = y₂(ω).

इसका अर्थ है कि कथन 1 हमेशा सत्य है।

इसके अलावा, f(n) = x(n) ⊗ h₁(n) ↔ X(ω).H₁(ω)

g(n) = x(n) ⊗ h₂(n) ↔ X(ω).H₂(ω)

स्पष्ट रूप से, f(n) ≠ g(n), जब तक कि H₂(ω) = H₁(ω)(या f(n) = g(n)) नहीं है

इसलिए, कथन 2 हमेशा सत्य नहीं है।

इसलिए विकल्प (2) सही है।