Partition Functions and Their Relation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Partition Functions and Their Relation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, तापीय साम्यावस्था में किसी दिए गए अवस्था में कणों का अंश बोल्ट्जमान गुणक द्वारा निर्धारित होता है। अवस्था की पतनता भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, जो उपलब्ध सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को प्रभावित करती है।

• बोल्ट्जमान वितरण: किसी दिए गए तापमान पर, किसी परमाणु के E ऊर्जा वाली अवस्था में होने की प्रायिकता ( $e^{-\frac{E}{k_{B}T}}$) के समानुपाती होती है, जहाँ ( kB ) बोल्ट्जमान स्थिरांक है और T केल्विन में तापमान है।

  • ​ऊर्जा पर घातीय निर्भरता के कारण उच्च ऊर्जा अवस्थाओं में संख्या कम होती है।

  • पतनता किसी अवस्था के अधिक संख्या होने की प्रायिकता को बढ़ाती है, क्योंकि यह समान ऊर्जा वाली कई सूक्ष्म अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करती है।

  • विभाजन फलन सभी संभावित अवस्थाओं में प्रायिकताओं को सामान्य करता है।

• पतनता: किसी अवस्था की पतनता (g) समान ऊर्जा स्तर के अनुरूप विभिन्न सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को संदर्भित करती है। उच्च पतनता वाली अवस्थाओं में उच्च प्रायिकता होती है।

• विभाजन फलन: विभाजन फलन ( $Z=\sum g_i{e}^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}$ ) सभी ऊर्जा स्तरों पर योग करता है और प्रत्येक अवस्था के बोल्ट्जमान गुणक और पतनता दोनों को ध्यान में रखता है।

व्याख्या:

• परमाणु तीन अवस्थाओं तक पहुँचता है: ${}^2{S}_{1/2}$, ${}^2{P}_{1/2}$ , और ${}^2{P}_{3/2}$ जिनकी ऊर्जाएँ क्रमशः 0, 0.5 k_BT, और 0.5 k_BT हैं।

• ²S_1/2 अवस्था के लिए पतनता 2 है, ²P_1/2 के लिए 2 है, और ²P_3/2 के लिए 4 है।

• बोल्ट्जमान वितरण का उपयोग करके, कुल विभाजन फलन की गणना इस प्रकार की जाती है:

  • $Z=g_1{e}^{-\frac{E_1}{k_{B}T}}+g_2{e}^{-\frac{E_2}{k_{B}T}}+g_3{e}^{-\frac{E_3}{k_{B}T}}=2+2e^{-0.5}+4e^{-0.5}$

• P अवस्था में परमाणुओं का अंश तब कुल संख्या के लिए P अवस्थाओं (दोनों ²P_1/2 और ²P_3/2) में परमाणुओं के अनुपात के रूप में गणना की जाती है:

  • $\frac{2e^{-0.5}+4e^{-0.5}}{2+2e^{-0.5}+4e^{-0.5}}=\frac{6e^{-0.5}}{2+6e^{-0.5}}=\frac{3e^{-0.5}}{1+3e^{-0.5}}$

निष्कर्ष:

• P अवस्थाओं में परमाणुओं का सही अंश $\frac{3e^{-0.5}}{1+3e^{-0.5}}$ है, जो विकल्प 1 से मेल खाता है।

अवधारणा:

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, तापीय साम्यावस्था पर एक अणु के ऊर्जा स्तरों की जनसंख्या बोल्ट्जमान वितरण द्वारा दी जाती है। एक समन्यूक्लियर द्विपरमाणुक अणु के लिए, पहली उत्तेजित अवस्था (N₁) की जनसंख्या का मूल अवस्था (N₀) से अनुपात है:

$\frac{N_1}{N_0}=e^{-\frac{h\nu }{k_{B}T}}$

यहाँ:

• h प्लांक नियतांक है।

• ν अणु की कंपन आवृत्ति है।

• k_B बोल्ट्जमान नियतांक है।

• T तापमान है।

यह दिया गया है कि पहली उत्तेजित अवस्था की जनसंख्या मूल अवस्था की आधी है:

$\frac{N_1}{N_0}=\frac{1}{2}$

व्याख्या:

• समीकरण से शुरू करते हुए:

  • $\frac{N_1}{N_0}=e^{-\frac{h\nu }{k_{B}T}}=\frac{1}{2}$

• दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेते हुए:

  • $-\frac{h\nu }{k_{B}T}=\ln \left(\frac{1}{2}\right)$

• चूँकि, $\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2$:

  • $-\frac{h\nu }{k_{B}T}=-\ln 2$

  • समीकरण को सरल करते हुए:

  • $\frac{h\nu }{k_{B}T}=\ln 2$

  • T के लिए हल करते हुए:

  • $T=\frac{h\nu }{k_B\ln 2}$

निष्कर्ष:

वह तापमान जिस पर पहली उत्तेजित अवस्था की जनसंख्या मूल अवस्था की आधी होगी, $\frac{h\nu }{k_B\ln 2}$ द्वारा दिया गया है। इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

सही उत्तर e/(e - 1) है।

संकल्पना:-

विभाजन फलन- असतत ऊर्जा स्तरों वाली प्रणाली के लिए विभाजन फलन (q) सभी संभावित अवस्थाओं पर योग द्वारा दिया जाता है:

$q=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\beta E_n}$, जहाँ $\beta =\frac{1}{kT}$ व्युत्क्रम तापमान है (k बोल्ट्ज़मान नियतांक है और T तापमान है), और E_n प्रणाली के ऊर्जा स्तरों का प्रतिनिधित्व करता है।

एक-आयामी आवर्ती दोलक का विभाजन फलन:

$q=\frac{e^{-\beta \frac{1}{2}\hslash \omega }}{1-e^{-\beta \hslash \omega }}$

शून्य बिन्दु ऊर्जा-
शून्य-बिंदु ऊर्जा क्वांटम यांत्रिकी में एक अवधारणा है जो न्यूनतम संभव ऊर्जा को संदर्भित करती है जो एक क्वांटम यांत्रिक भौतिक प्रणाली रख सकती है, तब भी जब अन्य सभी ऊर्जा को हटा दिया गया हो (अर्थात, पूर्ण शून्य तापमान पर)। यह अनिश्चितता सिद्धांत के कारण उत्पन्न होती है, जो बताता है कि कुछ भौतिक गुणों के युग्म, जैसे स्थिति और संवेग, दोनों को एक साथ सटीक रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

व्याख्या:-

चूँकि, शून्य बिन्दु ऊर्जा = 0

$q=\frac{1}{1-e^{-\frac{\mathrm{\Delta }E}{kt}}}[दियागयाहै:\mathrm{\Delta }E=k_{B}T]$

$$\begin{gathered} q=\frac{1}{1-e^{-\frac{kT}{kT}}} \\ q=\frac{1}{1-e^{-1}} \\ q=\frac{1}{1-\frac{1}{e}} \end{gathered}$$

$q=\frac{1}{\frac{e-1}{e}}$

$q=\frac{e}{e-1}$

निष्कर्ष:-

एक-आयामी दोलक का विभाजन फलन जिसमें समान रूप से ऊर्जा स्तर हैं जिनकी ऊर्जा दूरी k_BT के बराबर है और शून्य भूतल ऊर्जा है, e/(e - 1) है।

सही उत्तर n = -3 है।

संकल्पना:-

स्थानांतरीय विभाजन फलन:

एकल-कण स्थानांतरीय विभाजन फलन, जिसे q_trans द्वारा दर्शाया जाता है, सांख्यिकीय यांत्रिकी में समग्र विभाजन फलन में एकल कण की स्थानांतरीय गति के योगदान का प्रतिनिधित्व करता है।

तीन आयामों में एक कण के लिए एकल-कण स्थानांतरीय विभाजन फलन का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

$q_{\text{trans}}=\frac{V}{{\mathrm{\Lambda }}^3}$

जहाँ:

V निकाय का आयतन है,
$\mathrm{\Lambda }$ कण की तापीय तरंगदैर्ध्य है।

तापीय तरंगदैर्ध्य $\mathrm{\Lambda }$ इस प्रकार दी गई है:

$\mathrm{\Lambda }=\sqrt{\frac{2\pi {\hslash }^2}{mkT}}$

जहाँ

$\hslash$ समानित प्लांक नियतांक है।

m कण का द्रव्यमान है,

k बोल्ट्ज़मान नियतांक है, और

T तापमान है।

व्याख्या:-

एक आदर्श गैस के लिए एकल-कण स्थानांतरीय विभाजन फलन (f) इस प्रकार दिया गया है

$f=\frac{V}{{\lambda }_{th}^3}$, जहाँ V आयतन है और λth डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य है।

स्थिर आयतन पर,

$f=\frac{1}{{\lambda }_{th}^3}orf\propto {\lambda }^{-3}$

जो n = -3 देता है।

निष्कर्ष:-

स्थिर आयतन V में एक आदर्श गैस के लिए एकल-कण स्थानांतरीय विभाजन फलन (f) तापीय डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य λth पर निर्भर करता है जहाँ f ~ (λ_th)ⁿ जहाँ n = -3।

संकपना:

एक अनपभ्रष्ट तंत्र के लिए ऊर्जा स्तरों का प्रायिकता वितरण बोल्ट्जमान वितरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है। बोल्ट्जमान वितरण किसी विशेष ऊर्जा अवस्था E में एक तंत्र को खोजने की प्रायिकता, P(E), देता है जब वह तापमान T पर अपने परिवेश के साथ तापीय साम्य में होता है।

दिया गया है:

तीन अनपभ्रष्ट स्तरों की ऊर्जा 0, ε, 2ε है

व्याख्या:

तीन स्तर अनपभ्रष्ट हैं, इसलिए ऊर्जा की केवल एक अवस्था है।

3 ऊर्जा स्तरों पर अधिधारण करने वाले कणों की संख्या N₁, N₂, N₃ हो

जहां, N₁+N₂+N₃ = 6

चूँकि कण अलग-अलग हैं, इसलिए कणों को चुनने के तरीकों की संख्या अर्थात सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या है

$W=\frac{6!}{N_1!N_2!N_3!}$

जहां, W= उष्मागतिकी प्रायिकता

सबसे संभावित वितरण वह है जहां W अधिकतम है और N₁! N₂! N₃! न्यूनतम है अर्थात

N₁=N₂=N₃ = 2

तंत्र का ऊर्जा वितरण है-

0N₁ + εN₂+ 2εN₃

= 0x2 +εx2 +2ε x 2

= 6ε

निष्कर्ष:

कुल ऊर्जा के लिए सबसे संभावित मान 6ε है।

संकल्पना:

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, तापीय साम्यावस्था में किसी दिए गए अवस्था में कणों का अंश बोल्ट्जमान गुणक द्वारा निर्धारित होता है। अवस्था की पतनता भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, जो उपलब्ध सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को प्रभावित करती है।

• बोल्ट्जमान वितरण: किसी दिए गए तापमान पर, किसी परमाणु के E ऊर्जा वाली अवस्था में होने की प्रायिकता ( $e^{-\frac{E}{k_{B}T}}$) के समानुपाती होती है, जहाँ ( kB ) बोल्ट्जमान स्थिरांक है और T केल्विन में तापमान है।

  • ​ऊर्जा पर घातीय निर्भरता के कारण उच्च ऊर्जा अवस्थाओं में संख्या कम होती है।

  • पतनता किसी अवस्था के अधिक संख्या होने की प्रायिकता को बढ़ाती है, क्योंकि यह समान ऊर्जा वाली कई सूक्ष्म अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करती है।

  • विभाजन फलन सभी संभावित अवस्थाओं में प्रायिकताओं को सामान्य करता है।

• पतनता: किसी अवस्था की पतनता (g) समान ऊर्जा स्तर के अनुरूप विभिन्न सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को संदर्भित करती है। उच्च पतनता वाली अवस्थाओं में उच्च प्रायिकता होती है।

• विभाजन फलन: विभाजन फलन ( $Z=\sum g_i{e}^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}$ ) सभी ऊर्जा स्तरों पर योग करता है और प्रत्येक अवस्था के बोल्ट्जमान गुणक और पतनता दोनों को ध्यान में रखता है।

व्याख्या:

• परमाणु तीन अवस्थाओं तक पहुँचता है: ${}^2{S}_{1/2}$, ${}^2{P}_{1/2}$ , और ${}^2{P}_{3/2}$ जिनकी ऊर्जाएँ क्रमशः 0, 0.5 k_BT, और 0.5 k_BT हैं।

• ²S_1/2 अवस्था के लिए पतनता 2 है, ²P_1/2 के लिए 2 है, और ²P_3/2 के लिए 4 है।

• बोल्ट्जमान वितरण का उपयोग करके, कुल विभाजन फलन की गणना इस प्रकार की जाती है:

  • $Z=g_1{e}^{-\frac{E_1}{k_{B}T}}+g_2{e}^{-\frac{E_2}{k_{B}T}}+g_3{e}^{-\frac{E_3}{k_{B}T}}=2+2e^{-0.5}+4e^{-0.5}$

• P अवस्था में परमाणुओं का अंश तब कुल संख्या के लिए P अवस्थाओं (दोनों ²P_1/2 और ²P_3/2) में परमाणुओं के अनुपात के रूप में गणना की जाती है:

  • $\frac{2e^{-0.5}+4e^{-0.5}}{2+2e^{-0.5}+4e^{-0.5}}=\frac{6e^{-0.5}}{2+6e^{-0.5}}=\frac{3e^{-0.5}}{1+3e^{-0.5}}$

निष्कर्ष:

• P अवस्थाओं में परमाणुओं का सही अंश $\frac{3e^{-0.5}}{1+3e^{-0.5}}$ है, जो विकल्प 1 से मेल खाता है।

अवधारणा:

• मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण समान लेकिन अलग-अलग कणों के बीच ऊर्जा की मात्रा के वितरण से संबंधित है।
• यह विभिन्न ऊर्जाओं वाले निकाय में अवस्थाओं के वितरण की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करता है। एक विशेष स्थिति तथाकथित आणविक वेगों का मैक्सवेल वितरण नियम है।
• ऊर्जा के बोल्ट्जमैन वितरण का पालन करने वाले निकाय की आंतरिक ऊर्जा U के लिए अंतिम व्यंजक है:

U = ${\mathrm{k}}_{\mathrm{B}}{\mathrm{T}}^2{\left(\frac{\partial \mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{Q}}{\partial \mathrm{T}}\right)}_{\mathrm{V}}$.......(1)

व्याख्या:-

• गैस के लिए विभाजन फलन दिया गया है

Q(N, V, T) = $\frac{1}{N!}{\left(\frac{2\pi m}{h^2\beta }\right)}^{3N/2}$ (v - Nb)Ne $\frac{\beta a{N}^2}{V}$.........(2)

• समीकरण (2) के दोनों ओर ln लेने पर, हमें प्राप्त होता है,

$lnQ(N,V,T)=ln\left(\frac{1}{N!}\right)+\frac{3N}{2}ln\left(\frac{2\pi m}{h^2}\right)+\frac{3N}{2}ln(\frac{1}{\beta })$

$+Nln(V-Nb)+\frac{\beta \alpha N^2}{V}$

या,

$lnQ(N,V,T)=ln\left(\frac{1}{N!}\right)+\frac{3N}{2}ln\left(\frac{2\pi m}{h^2}\right)+\frac{3N}{2}ln(k_{B}T)$

$+Nln(V-Nb)+\frac{\alpha N^2}{k_{B}TV}$

या, $\left(\frac{\partial lnQ}{\partial T}\right)=\frac{\partial }{\partial T}[ln\left(\frac{1}{N!}\right)+\frac{3N}{2}ln\left(\frac{2\pi m}{h^2}\right)+\frac{3N}{2}ln(KT)+Nln(V-Nb)+\frac{\alpha N^2}{k_{B}TV}]$

या,

$\left(\frac{\partial lnQ}{\partial T}\right)=[0+0+\frac{3N}{2}\times \frac{1}{k_{B}T}\times k_B+0+\frac{\alpha N^2}{k_{B}V}\frac{\partial }{\partial T}\left(\frac{1}{T}\right)]$

या,

$\left(\frac{\partial lnQ}{\partial T}\right)=[\frac{3N}{2}\times \frac{1}{T}+\frac{\alpha N^2}{k_{B}V}\left(\frac{-1}{T^2}\right)]$

या,

$\left(\frac{\partial lnQ}{\partial T}\right)=[\frac{3N}{2T}-\frac{\alpha N^2}{k_{B}V{T}^2}]$

• अब, समीकरण (1) में $\left(\frac{\partial lnQ}{\partial T}\right)$ का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

U = ${\mathrm{k}}_{\mathrm{B}}{\mathrm{T}}^2[\frac{3\mathrm{N}}{2\mathrm{T}}-\frac{\alpha {\mathrm{N}}^2}{{\mathrm{k}}_{\mathrm{B}}\mathrm{V}{\mathrm{T}}^2}]$

या, U = k_BT² x $\frac{3N}{2T}$ - kBT2 x $\frac{\alpha N^2}{k_{B}V{T}^2}$

या, U = $\frac{3}{2}N{k}_{B}T-\frac{a{N}^2}{V}$

निष्कर्ष:-

संकपना:

एक अनपभ्रष्ट तंत्र के लिए ऊर्जा स्तरों का प्रायिकता वितरण बोल्ट्जमान वितरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है। बोल्ट्जमान वितरण किसी विशेष ऊर्जा अवस्था E में एक तंत्र को खोजने की प्रायिकता, P(E), देता है जब वह तापमान T पर अपने परिवेश के साथ तापीय साम्य में होता है।

दिया गया है:

तीन अनपभ्रष्ट स्तरों की ऊर्जा 0, ε, 2ε है

व्याख्या:

तीन स्तर अनपभ्रष्ट हैं, इसलिए ऊर्जा की केवल एक अवस्था है।

3 ऊर्जा स्तरों पर अधिधारण करने वाले कणों की संख्या N₁, N₂, N₃ हो

जहां, N₁+N₂+N₃ = 6

चूँकि कण अलग-अलग हैं, इसलिए कणों को चुनने के तरीकों की संख्या अर्थात सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या है

$W=\frac{6!}{N_1!N_2!N_3!}$

जहां, W= उष्मागतिकी प्रायिकता

सबसे संभावित वितरण वह है जहां W अधिकतम है और N₁! N₂! N₃! न्यूनतम है अर्थात

N₁=N₂=N₃ = 2

तंत्र का ऊर्जा वितरण है-

0N₁ + εN₂+ 2εN₃

= 0x2 +εx2 +2ε x 2

= 6ε

निष्कर्ष:

कुल ऊर्जा के लिए सबसे संभावित मान 6ε है।

संकल्पना:

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, तापीय साम्यावस्था में किसी दिए गए अवस्था में कणों का अंश बोल्ट्जमान गुणक द्वारा निर्धारित होता है। अवस्था की पतनता भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, जो उपलब्ध सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को प्रभावित करती है।

• बोल्ट्जमान वितरण: किसी दिए गए तापमान पर, किसी परमाणु के E ऊर्जा वाली अवस्था में होने की प्रायिकता ( $e^{-\frac{E}{k_{B}T}}$) के समानुपाती होती है, जहाँ ( kB ) बोल्ट्जमान स्थिरांक है और T केल्विन में तापमान है।

  • ​ऊर्जा पर घातीय निर्भरता के कारण उच्च ऊर्जा अवस्थाओं में संख्या कम होती है।

  • पतनता किसी अवस्था के अधिक संख्या होने की प्रायिकता को बढ़ाती है, क्योंकि यह समान ऊर्जा वाली कई सूक्ष्म अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करती है।

  • विभाजन फलन सभी संभावित अवस्थाओं में प्रायिकताओं को सामान्य करता है।

• पतनता: किसी अवस्था की पतनता (g) समान ऊर्जा स्तर के अनुरूप विभिन्न सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को संदर्भित करती है। उच्च पतनता वाली अवस्थाओं में उच्च प्रायिकता होती है।

• विभाजन फलन: विभाजन फलन ( $Z=\sum g_i{e}^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}$ ) सभी ऊर्जा स्तरों पर योग करता है और प्रत्येक अवस्था के बोल्ट्जमान गुणक और पतनता दोनों को ध्यान में रखता है।

व्याख्या:

• परमाणु तीन अवस्थाओं तक पहुँचता है: ${}^2{S}_{1/2}$, ${}^2{P}_{1/2}$ , और ${}^2{P}_{3/2}$ जिनकी ऊर्जाएँ क्रमशः 0, 0.5 k_BT, और 0.5 k_BT हैं।

• ²S_1/2 अवस्था के लिए पतनता 2 है, ²P_1/2 के लिए 2 है, और ²P_3/2 के लिए 4 है।

• बोल्ट्जमान वितरण का उपयोग करके, कुल विभाजन फलन की गणना इस प्रकार की जाती है:

  • $Z=g_1{e}^{-\frac{E_1}{k_{B}T}}+g_2{e}^{-\frac{E_2}{k_{B}T}}+g_3{e}^{-\frac{E_3}{k_{B}T}}=2+2e^{-0.5}+4e^{-0.5}$

• P अवस्था में परमाणुओं का अंश तब कुल संख्या के लिए P अवस्थाओं (दोनों ²P_1/2 और ²P_3/2) में परमाणुओं के अनुपात के रूप में गणना की जाती है:

  • $\frac{2e^{-0.5}+4e^{-0.5}}{2+2e^{-0.5}+4e^{-0.5}}=\frac{6e^{-0.5}}{2+6e^{-0.5}}=\frac{3e^{-0.5}}{1+3e^{-0.5}}$

निष्कर्ष:

• P अवस्थाओं में परमाणुओं का सही अंश $\frac{3e^{-0.5}}{1+3e^{-0.5}}$ है, जो विकल्प 1 से मेल खाता है।

अवधारणा:

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, तापीय साम्यावस्था पर एक अणु के ऊर्जा स्तरों की जनसंख्या बोल्ट्जमान वितरण द्वारा दी जाती है। एक समन्यूक्लियर द्विपरमाणुक अणु के लिए, पहली उत्तेजित अवस्था (N₁) की जनसंख्या का मूल अवस्था (N₀) से अनुपात है:

$\frac{N_1}{N_0}=e^{-\frac{h\nu }{k_{B}T}}$

यहाँ:

• h प्लांक नियतांक है।

• ν अणु की कंपन आवृत्ति है।

• k_B बोल्ट्जमान नियतांक है।

• T तापमान है।

यह दिया गया है कि पहली उत्तेजित अवस्था की जनसंख्या मूल अवस्था की आधी है:

$\frac{N_1}{N_0}=\frac{1}{2}$

व्याख्या:

• समीकरण से शुरू करते हुए:

  • $\frac{N_1}{N_0}=e^{-\frac{h\nu }{k_{B}T}}=\frac{1}{2}$

• दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेते हुए:

  • $-\frac{h\nu }{k_{B}T}=\ln \left(\frac{1}{2}\right)$

• चूँकि, $\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2$:

  • $-\frac{h\nu }{k_{B}T}=-\ln 2$

  • समीकरण को सरल करते हुए:

  • $\frac{h\nu }{k_{B}T}=\ln 2$

  • T के लिए हल करते हुए:

  • $T=\frac{h\nu }{k_B\ln 2}$

निष्कर्ष:

वह तापमान जिस पर पहली उत्तेजित अवस्था की जनसंख्या मूल अवस्था की आधी होगी, $\frac{h\nu }{k_B\ln 2}$ द्वारा दिया गया है। इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

सही उत्तर e/(e - 1) है।

संकल्पना:-

विभाजन फलन- असतत ऊर्जा स्तरों वाली प्रणाली के लिए विभाजन फलन (q) सभी संभावित अवस्थाओं पर योग द्वारा दिया जाता है:

$q=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\beta E_n}$, जहाँ $\beta =\frac{1}{kT}$ व्युत्क्रम तापमान है (k बोल्ट्ज़मान नियतांक है और T तापमान है), और E_n प्रणाली के ऊर्जा स्तरों का प्रतिनिधित्व करता है।

एक-आयामी आवर्ती दोलक का विभाजन फलन:

$q=\frac{e^{-\beta \frac{1}{2}\hslash \omega }}{1-e^{-\beta \hslash \omega }}$

शून्य बिन्दु ऊर्जा-
शून्य-बिंदु ऊर्जा क्वांटम यांत्रिकी में एक अवधारणा है जो न्यूनतम संभव ऊर्जा को संदर्भित करती है जो एक क्वांटम यांत्रिक भौतिक प्रणाली रख सकती है, तब भी जब अन्य सभी ऊर्जा को हटा दिया गया हो (अर्थात, पूर्ण शून्य तापमान पर)। यह अनिश्चितता सिद्धांत के कारण उत्पन्न होती है, जो बताता है कि कुछ भौतिक गुणों के युग्म, जैसे स्थिति और संवेग, दोनों को एक साथ सटीक रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

व्याख्या:-

चूँकि, शून्य बिन्दु ऊर्जा = 0

$q=\frac{1}{1-e^{-\frac{\mathrm{\Delta }E}{kt}}}[दियागयाहै:\mathrm{\Delta }E=k_{B}T]$

$$\begin{gathered} q=\frac{1}{1-e^{-\frac{kT}{kT}}} \\ q=\frac{1}{1-e^{-1}} \\ q=\frac{1}{1-\frac{1}{e}} \end{gathered}$$

$q=\frac{1}{\frac{e-1}{e}}$

$q=\frac{e}{e-1}$

निष्कर्ष:-

एक-आयामी दोलक का विभाजन फलन जिसमें समान रूप से ऊर्जा स्तर हैं जिनकी ऊर्जा दूरी k_BT के बराबर है और शून्य भूतल ऊर्जा है, e/(e - 1) है।

सही उत्तर n = -3 है।

संकल्पना:-

स्थानांतरीय विभाजन फलन:

एकल-कण स्थानांतरीय विभाजन फलन, जिसे q_trans द्वारा दर्शाया जाता है, सांख्यिकीय यांत्रिकी में समग्र विभाजन फलन में एकल कण की स्थानांतरीय गति के योगदान का प्रतिनिधित्व करता है।

तीन आयामों में एक कण के लिए एकल-कण स्थानांतरीय विभाजन फलन का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

$q_{\text{trans}}=\frac{V}{{\mathrm{\Lambda }}^3}$

जहाँ:

V निकाय का आयतन है,
$\mathrm{\Lambda }$ कण की तापीय तरंगदैर्ध्य है।

तापीय तरंगदैर्ध्य $\mathrm{\Lambda }$ इस प्रकार दी गई है:

$\mathrm{\Lambda }=\sqrt{\frac{2\pi {\hslash }^2}{mkT}}$

जहाँ

$\hslash$ समानित प्लांक नियतांक है।

m कण का द्रव्यमान है,

k बोल्ट्ज़मान नियतांक है, और

T तापमान है।

व्याख्या:-

एक आदर्श गैस के लिए एकल-कण स्थानांतरीय विभाजन फलन (f) इस प्रकार दिया गया है

$f=\frac{V}{{\lambda }_{th}^3}$, जहाँ V आयतन है और λth डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य है।

स्थिर आयतन पर,

$f=\frac{1}{{\lambda }_{th}^3}orf\propto {\lambda }^{-3}$

जो n = -3 देता है।

निष्कर्ष:-

स्थिर आयतन V में एक आदर्श गैस के लिए एकल-कण स्थानांतरीय विभाजन फलन (f) तापीय डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य λth पर निर्भर करता है जहाँ f ~ (λ_th)ⁿ जहाँ n = -3।

अवधारणा:

• मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण समान लेकिन अलग-अलग कणों के बीच ऊर्जा की मात्रा के वितरण से संबंधित है।
• यह विभिन्न ऊर्जाओं वाले निकाय में अवस्थाओं के वितरण की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करता है। एक विशेष स्थिति तथाकथित आणविक वेगों का मैक्सवेल वितरण नियम है।
• ऊर्जा के बोल्ट्जमैन वितरण का पालन करने वाले निकाय की आंतरिक ऊर्जा U के लिए अंतिम व्यंजक है:

U = ${\mathrm{k}}_{\mathrm{B}}{\mathrm{T}}^2{\left(\frac{\partial \mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{Q}}{\partial \mathrm{T}}\right)}_{\mathrm{V}}$.......(1)

व्याख्या:-

• गैस के लिए विभाजन फलन दिया गया है

Q(N, V, T) = $\frac{1}{N!}{\left(\frac{2\pi m}{h^2\beta }\right)}^{3N/2}$ (v - Nb)Ne $\frac{\beta a{N}^2}{V}$.........(2)

• समीकरण (2) के दोनों ओर ln लेने पर, हमें प्राप्त होता है,

$lnQ(N,V,T)=ln\left(\frac{1}{N!}\right)+\frac{3N}{2}ln\left(\frac{2\pi m}{h^2}\right)+\frac{3N}{2}ln(\frac{1}{\beta })$

$+Nln(V-Nb)+\frac{\beta \alpha N^2}{V}$

या,

$lnQ(N,V,T)=ln\left(\frac{1}{N!}\right)+\frac{3N}{2}ln\left(\frac{2\pi m}{h^2}\right)+\frac{3N}{2}ln(k_{B}T)$

$+Nln(V-Nb)+\frac{\alpha N^2}{k_{B}TV}$

या, $\left(\frac{\partial lnQ}{\partial T}\right)=\frac{\partial }{\partial T}[ln\left(\frac{1}{N!}\right)+\frac{3N}{2}ln\left(\frac{2\pi m}{h^2}\right)+\frac{3N}{2}ln(KT)+Nln(V-Nb)+\frac{\alpha N^2}{k_{B}TV}]$

या,

$\left(\frac{\partial lnQ}{\partial T}\right)=[0+0+\frac{3N}{2}\times \frac{1}{k_{B}T}\times k_B+0+\frac{\alpha N^2}{k_{B}V}\frac{\partial }{\partial T}\left(\frac{1}{T}\right)]$

या,

$\left(\frac{\partial lnQ}{\partial T}\right)=[\frac{3N}{2}\times \frac{1}{T}+\frac{\alpha N^2}{k_{B}V}\left(\frac{-1}{T^2}\right)]$

या,

$\left(\frac{\partial lnQ}{\partial T}\right)=[\frac{3N}{2T}-\frac{\alpha N^2}{k_{B}V{T}^2}]$

• अब, समीकरण (1) में $\left(\frac{\partial lnQ}{\partial T}\right)$ का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

U = ${\mathrm{k}}_{\mathrm{B}}{\mathrm{T}}^2[\frac{3\mathrm{N}}{2\mathrm{T}}-\frac{\alpha {\mathrm{N}}^2}{{\mathrm{k}}_{\mathrm{B}}\mathrm{V}{\mathrm{T}}^2}]$

या, U = k_BT² x $\frac{3N}{2T}$ - kBT2 x $\frac{\alpha N^2}{k_{B}V{T}^2}$

या, U = $\frac{3}{2}N{k}_{B}T-\frac{a{N}^2}{V}$

निष्कर्ष:-