Metric Spaces MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Metric Spaces - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 16, 2025
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Metric Spaces Question 1:
किसी पूर्णांक n के लिए, मान लीजिए fn(x) = xe−nx, जहाँ x ∈ [0, 1] है। मान लीजिए S := {fn : n ≥ 1} है। मीट्रिक स्पेस (C([0, 1]), d) पर विचार कीजिए, जहाँ
\(\rm \displaystyle d(f, g)=\sup _{x \in[0,1]}\{|f(x)-g(x)|\}\), f, g ∈ C([0, 1]).
निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य नहीं है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
प्रत्येक fn(x) = xe−nx, [0, 1] पर एक संतत फलन है क्योंकि यह दो संतत फलनों का गुणनफल है: x और \(e^{-nx}\) .
फलनों का एक समुच्चय S सम-संतत होता है यदि, प्रत्येक \(\epsilon > 0 \) के लिए, एक \(\delta > 0\) मौजूद है ऐसा कि
सभी \(f_n \in S\) और सभी x, y \(\in\) [0, 1] के लिए जहाँ \(|x - y| < \delta\) , हमारे पास \(|f_n(x) - f_n(y)| < \epsilon\) है।
fn(x) = xe−nx के लिए:
1. जैसे ही n बढ़ता है, पद \(e^{-nx}\) x > 0 के लिए शून्य तक बहुत तेज़ी से घटता है, इसलिए फलन \(f_n(x)\) x = 0 के पास केंद्रित हो जाते हैं।
2. किसी भी दो बिंदु x, y जो एक-दूसरे के करीब हैं, अंतर \(|f_n(x) - f_n(y)|\) को पर्याप्त रूप से छोटा \(\delta\) चुनकर छोटा बनाया जा सकता है जो सभी n के लिए समान रूप से काम करता है, क्योंकि गुणक e−nx निश्चित x, y के लिए x और y के पास छोटे बदलावों को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित नहीं करता है।
इस प्रकार, S फलनों का एक सम-संतत समुच्चय है। इसलिए, विकल्प 1 सही है।
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या S संवृत है, हमें यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या इसमें \(d(f, g) = \sup_{x \in [0, 1]} |f(x) - g(x)| .\) द्वारा परिभाषित मीट्रिक में इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं।
जैसे ही \(n \to \infty\) ,fn(x) = xe−nx बिंदुवार शून्य फलन f(x) = 0 पर [0, 1] में अभिसरित होता है क्योंकि \(e^{-nx} \to 0\) x > 0 के लिए।
हालांकि, f(x) = 0, S में नहीं है क्योंकि किसी भी परिमित n के लिए \( f_n \)(x) सर्वसम रूप से शून्य नहीं है।
इसलिए, S, C([0, 1]) में संवृत नहीं है क्योंकि इसमें इसकी बिंदुवार सीमा f(x) = 0 शामिल नहीं है। इसलिए, विकल्प 2 गलत है।
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या S, C([0, 1]) में परिबद्ध है, हम प्रत्येक \( f_n \) के लिए \(\|f_n\| = \sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x)|\) की गणना करते हैं।
fn(x) = xe−nx के लिए, अधिकतम मान \(x = \frac{1}{n} \) के पास होता है।
\(x = \frac{1}{n} \) प्रतिस्थापित करने पर:
\( f_n\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} e^{-1} = \frac{e^{-1}}{n}.\)
चूँकि \(\frac{e^{-1}}{n} \to 0 \) जैसे ही \(n \to \infty\) , फलन \( f_n \)(x) एक स्थिरांक M = \(e^{-1}\) द्वारा समान रूप से परिबद्ध हैं।
इस प्रकार, S, C([0, 1]) में परिबद्ध है। इसलिए, विकल्प 3 सही है।
C([0, 1]) का एक सबसेट संहत होता है यदि वह संवृत, परिबद्ध और सम-संतत हो (आर्ज़ेला-अस्कोली प्रमेय द्वारा)। हमने दिखाया है कि:
S परिबद्ध है, S सम-संतत है
हालांकि, S संवृत नहीं है।
चूँकि S संवृत नहीं है, इसलिए यह संहत नहीं हो सकता है। इसलिए, विकल्प 4 गलत है।
Metric Spaces Question 2:
मानें कि (X, d) कोई परिमित एकलेतर (non-singleton) दूरीक समष्टि है निम्न में से कौन से वक्तव्य सच नहीं है ?
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 2 Detailed Solution
संप्रत्यय:
(i) सभी मीट्रिक समष्टियाँ हॉसडॉर्फ समष्टियाँ हैं।
(ii) खुले समुच्चयों का परिमित संघ खुला होता है।
(iii) संहत समुच्चय: एक मीट्रिक समष्टि X को संहत कहा जाता है यदि प्रत्येक खुले आवरण का एक परिमित उप-आवरण होता है।
(iv) संयोजित समुच्चय: एक मीट्रिक समष्टि (M, d) को संयोजित मीट्रिक समष्टि कहा जाता है यदि और केवल यदि M को असंयुक्त संघ N = X ∪ Y के रूप में नहीं लिखा जा सकता है जहाँ X और Y दोनों M के अरिक्त खुले उपसमुच्चय हैं।
(v) एक फलन f : X → Y सतत होता है यदि और केवल यदि Y में G खुला है तो f-1(G) X में खुला है।
व्याख्या:
(X, d) एक परिमित असिंगलटन मीट्रिक समष्टि हो।
माना X = {x1, x2, ..., xn}
तब xi युक्त एक खुला गोला विद्यमान है ऐसा कि B(xi) ⊆ {xi}
तब X का प्रत्येक उपसमुच्चय खुला है।
(1) असत्य है
{xi1, xi2, ..., xik} = ∪j=1k{xij} खुला है।
इसलिए, X के प्रत्येक खुले आवरण का एक परिमित उप-आवरण है।
अतः X संहत है।
(2) सत्य है
X को X = {xi} ∪ {xi}c के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए X संयोजित नहीं है।
(3) सत्य है
X एक असतत मीट्रिक समष्टि है इसलिए प्रत्येक फलन f : X → ℝ सतत होना चाहिए।
(4) असत्य है
Metric Spaces Question 3:
p ∶ \(\mathbb{R}\)2 → \(\mathbb{R}\) को निम्न से परिभाषित करें
\(p(x, y)=\left\{\begin{array}{lll} |x| & \text { if } & x \neq 0 \\ |y| & \text { if } & x=0 . \end{array}\right.\)
तब निम्न कथनों में से कौन से सत्य नहीं हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
p(x,y) = 0 ⇒ |x| = 0 ⇒ x = 0, जब x ≠ 0
और |y| = 0 ⇒ y=0 जब x=0
∴ p(x,y) = 0 यदि और केवल यदि x = y = 0.
विकल्प (1) सही है।
चूँकि, |x| ≥ 0, |y| ≥ 0 सभी x, y के लिए इसलिए सभी x, y के लिए p(x, y) ≥ 0
विकल्प (2) सही है।
x ≠ 0 के लिए, p(αx, αy) = |α x| = |α||x| = |α|p(x,y)
x = 0 के लिए, p(αx, αy) = |α y| = |α||y| = |α|p(x,y)
इसलिए, सभी α ∈ \(\mathbb{R}\) और सभी x, y के लिए p(αx, αy) = |α| p(x, y)
विकल्प (3) सही है।
विकल्प (4) के लिए एक प्रति उदाहरण:
मान लीजिये (x1, y1) = (5,10), (x2, y2) = (-5,20) तब (x1+x2,y1+y2) = (0,30)
इसलिए p(x1+x2,y1+y2) = 30 क्योंकि x1+x2 = 0
और p(x1, y1) + p(x2, y2) = |5| + |-5| = 5 + 5 = 10
चूँकि \(30 \nleq 10\) इसलिए p(x1+x2,y1+y2) \(\nleq\) p(x1+x2,y1+y2)
विकल्प (4) सही नहीं है।
Metric Spaces Question 4:
गलत कथन है -
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
हम जानते हैं कि
(i) एक संहत दूरीक समष्टि अनुक्रमतः संहत होती है।
(ii) संहत दूरीक समष्टि का संवृत उपसमुच्चय संहत होता है।
(iii) एक संहत दूरीक समष्टि बोलजानो-वाइअरस्ट्रास गुणधर्म का पालन करती है।
(iv) एक दूरीक समष्टि में प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय संहत होता है।
इसलिए, विकल्प (3) गलत है।
Metric Spaces Question 5:
यदि एक प्रतिचित्रण d : R2 × R2 → R, d(x, y) = |x1 - y1| + |x2 - y2| द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ ℝ2 है, तब निम्न में से कौन सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 5 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
d : R2 × R2 → R को d(x, y) = |x1 - y1| + |x2 - y2| द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ ℝ2
(i) चूँकि सभी x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ ℝ2 के लिए, |x1 - y1| ≥ 0, |x2 - y2| ≥ 0
इसलिए, सभी x, y ∈ ℝ के लिए d(x, y) ≥ 02
(ii) d(x, y) = 0
⇔ |x1 - y1| + |x2 - y2| = 0
⇔ x1 = y1, x2 = y2
⇔ सभी x, y ∈ ℝ2 के लिए, x = y
(iii) d(y, x) = |y1 - x1| + |y2 - x2|
= |x1 - y1| + |x2 - y2|
= सभी x, y ∈ ℝ2 के लिए, d(x, y)
(iv) मान लीजिए x = (x1, x2), y = (y1, y2), z = (z1, z2) ∈ ℝ2
तब d(x, y) = |x1 - y1| + |x2 - y2|
= |x1 - z1 + z1 - y1| + |x2 - z2 + z2- y2|
≤ |x1 - z1| + |z1 - y1| + |x2 - z2| + |z2- y2|
= d(x, z) + d(z, y)
अर्थात, सभी x, y, z ∈ ℝ2 के लिए, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
∴ d, R2 पर एक दूरीक है।
अतः विकल्प (1) सत्य है।
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किन्हीं भी दो दूरीक समष्टियों (X, dX), (Y, dY) के लिए प्रतिचित्र f ∶ X → Y को संवृत प्रतिचित्र कहते हैं यदि जब भी F के X में संवृत होने पर, f(F) भी Y में संवृत हो। दूरीक समष्टि के उपसमुच्चय B के लिए, B को प्रेरित दूरीक देते हैं। X x Y पर दूरीक को d((x, y), (x', y')) = max{dX(x, x'), dY(y, y')} से दर्शाते हैं। निम्न में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
विकल्प (1) और (4) के लिए:
मान लीजिये A = (0, 1) ⊆ ℝ
i : (0, 1) → ℝ संवृत नहीं है क्योंकि (0, 1) स्वयं में संवृत है लेकिन ℝ में नहीं। i संवृत गोलों को संवृत गोलों में ले जाता है, फिर भी यह संवृत फलन नहीं है।
इसलिए विकल्प (1) और (4) असत्य हैं।
विकल्प (2) के लिए:
मान लीजिये X = Y = ℝ
और A = {(x, y) ∈ ℝ2 | xy = 1}.
A, \(y=\frac{1}{x}\) का आलेख है, इसलिए यह संवृत है।
हालांकि P1[A] = ℝ - {0} जो ℝ में संवृत नहीं है।
इसलिए विकल्प (2) असत्य है।
विकल्प (3) के लिए:
मान लीजिये A ⊆ f[X] संवृत है।
तब A = f [f-1(A)].
चूँकि f संतत है, f -1[A] X में संवृत है।
इसलिए, g[A] = g [f [f-1(A)]] संवृत है, क्योंकि g o f = (g o f) [f-1[A]] मान्यतानुसार संवृत है।
इसलिए विकल्प (3) सत्य है।
Metric Spaces Question 7:
यदि x में बिंदुओं के प्रत्येक युग्म के बीच कम से कम एक कल्पांतरी पथ होता है। तब (x , d) को ______________ कहा जाता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 7 Detailed Solution
व्याख्या -
यदि दूरीक समष्टि (X, d) में बिंदुओं के प्रत्येक युग्म के बीच कम से कम एक कल्पांतरी पथ होता है, तो (X, d) को कल्पांतरी दूरीक समष्टि या कल्पांतरी समष्टि कहा जाता है।
"कल्पांतरी" किसी समष्टि में दो बिंदुओं के बीच का सबसे छोटा पथ होता है, जो समष्टि की दूरीक के सापेक्ष होता है। उदाहरण के लिए, एक सपाट तल पर, दो बिंदुओं के बीच का कल्पांतरी पथ एक सीधी रेखा में होता है, जबकि एक गोले (पृथ्वी की सतह की तरह) पर, कल्पांतरी पथ एक विस्तृत वृत्त पथ होता है।
अतः विकल्प (i) सही है।
Metric Spaces Question 8:
एक फलन एक दूरीक समष्टि से दूसरे f: A → B तक सतत है, यदि सभी Є > 0 के लिए, ∂ > 0 विद्यमान है इस प्रकार की ______________।
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 8 Detailed Solution
व्याख्या:
एक दूरीक समष्टि से दूसरे f तक एक फलन: A → B, p ∈ A पर सतत है, यदि सभी Є > 0 के लिए, ∂ > 0 विद्यमान है जैसे कि d_A(x, p) < ∂ का तात्पर्य है d_B(f(x), f (p)) <Є
इस स्थिति में, A में बिंदु p से x की दूरी ∂ से कम है और f के अंतर्गत x के प्रतिबिंब की B में f के अंतर्गत p के प्रतिबिंब से दूरी Є से कम होनी चाहिए।
Metric Spaces Question 9:
एक आव्यूह समष्टि (E, d) इस प्रकार है कि (E, d) में प्रत्येक कॉची अनुक्रम अभिसारी है, तब आव्यूह समष्टि है
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 9 Detailed Solution
संकल्पना:
एक आव्यूह समष्टि (E, d) को पूर्ण कहा जाता है यदि (E, d) में प्रत्येक कॉची अनुक्रम (E, d) में अभिसरण होता है।
स्पष्टीकरण:
एक पूर्ण आव्यूह समष्टि में,
प्रत्येक कॉची अनुक्रम की एक ही स्थान के भीतर एक सीमा होती है (अर्थात, एक बिंदु पर परिवर्तित होती है)।
यह गुणधर्म विश्लेषण में मौलिक है और इसका उपयोग कार्यों और अनुक्रमों के विभिन्न समष्टियों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जैसे कि बानाच समष्टि और हिल्बर्ट समष्टि, जहाँ कुछ अनुक्रमों के अभिसरण के लिए पूर्णता आवश्यक है।
Metric Spaces Question 10:
माना (X, d) एक दशांश समष्टि है और माना f, g : X → \(\mathbb R\) सतत फलन है, जहाँ \(\mathbb R\) सामान्य दशांश से सुसज्जित है। यदि f और g, x ∈ M पर सतत हैं
निम्नलिखित में से कौन-सा x ∈ M पर सतत है
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 10 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
दशांश समष्टि के परिणाम से, यदि (X, d) एक दशांश समष्टि है और f, g : X → \(\mathbb R\) सतत फलन है, जहाँ \(\mathbb R\) सामान्य दशांश से इस प्रकार सुसज्जित है कि f और g, x ∈ M पर सतत हैं, तब f + g, f - g, fg, x ∈ M पर सतत है
अतः, सभी विकल्प सही हैं
(4) सही है
Metric Spaces Question 11:
माना X एक दूरीक समष्टि है और {xn}, X में एक अनुक्रम है तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही है
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 11 Detailed Solution
संकल्पना:
हम जानते हैं कि यदि X एक दूरीक समष्टि है और {xn}, X में एक अनुक्रम है
(i) यदि {xn} संसृत है तो {xn} एक कॉची अनुक्रम है।
(ii) यदि {xn} एक कॉची अनुक्रम है तो {xn} परिबद्ध है।
(iii) यदि {xn} एक कॉची अनुक्रम है और यदि {xn} का संसृत अनुवर्ती है तो {xn} संसृत है।
स्पष्टीकरण:
प्रत्यक्ष परिणामों द्वारा,
केवल विकल्प (1) सही है
Metric Spaces Question 12:
आव्यूह समष्टि (E, d) के बिन्दुओं का अनुक्रम इस प्रकार है कि प्रत्येक ∈ > 0 है, एक प्राकृत संख्या n∈ इस प्रकार विद्यमान है कि m, n∈N और m, n ≥ n∈ ⇒ d(xm, xn) < ∈
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 12 Detailed Solution
अवधारणा:
कॉची प्रतिबंध: आव्यूह समष्टि (E,d) के बिंदुओं का क्रम इस प्रकार है कि किसी भी धनात्मक मान के लिए ∈ एक प्राकृत संख्या n∈ इस प्रकार विद्यमान है कि n∈ से परे अनुक्रम के किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी ∈ से कम है।
स्पष्टीकरण:
आव्यूह समष्टि (E,d) के बिंदुओं का क्रम इस प्रकार है कि किसी भी धनात्मक मान ∈ के लिए एक प्राकृत संख्या n∈ इस प्रकार विद्यमान है कि n∈ से परे अनुक्रम के किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी ∈ से कम है।
इस गुणधर्म को आव्यूह समष्टि में अभिसरण के लिए "कॉची प्रतिबंध" के रूप में जाना जाता है।
Metric Spaces Question 13:
वास्तविक रेखा R पर सामान्य आव्यूह के लिये खुले अन्तरालों के अनुक्रमों ] - 1/n, 1/n [, n = 1, 2, 3 _______ का प्रतिच्छेदन है
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 13 Detailed Solution
संकल्पना:
(i) क्योंकि n → ∞ तब \(\frac{1}{n}\) → 0
(ii) प्रत्येक एकल समुच्चय सदैव बंद रहता है।
स्पष्टीकरण:
आइए इन सभी अंतरालों के प्रतिच्छेदन पर विचार करता हैं:
\(\cap_{n=1}^{\infty}(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})\), n = 1, 2, 3
किसी भी n के लिए, अंतराल \((-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})\) में \(-\frac{1}{n}\) और \(\frac{1}{n}\) के बीच की सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल होती हैं क्योंकि n → ∞ तब \(\frac{1}{n}\)→ 0, इसलिए, अंतराल स्वैच्छिक रूप से छोटे हो जाते हैं। इन सभी अंतरालों का प्रतिच्छेदन उन सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जो स्वैच्छिक रूप से शून्य के समीप हैं।
अर्थात S = \(\cap_{n=1}^{\infty}(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})\) = {x ∈ \(\mathbb{R}\) | x स्वैच्छिक रूप से 0 के समीप है, लेकिन \(x \neq 0\)}
⇒ S = {0} (एकल)
प्रत्येक एकल समुच्चय सदैव बंद रहता है।
Metric Spaces Question 14:
निम्नलिखित में से कौन-सा C = {f: [0, 1] → R एक सतत फलन है} पर दूरीक समष्टि नहीं है
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 14 Detailed Solution
संकल्पना:
एक दूरीक समष्टि एक क्रमित युग्म (M, d) है जहाँ एम एक समुच्चय है और d, M पर एक दूरीक है, अर्थात, एक फलन डी: M × M → \(\mathbb {R}\) सभी बिंदुओं x, y, z ∈ M के लिए निम्नलिखित सिद्धांतों को संतुष्ट करता है
(i) d(x,x)=0
(ii) x ≠ y तब d(x,y) > 0
(iii) d(x, y)=d(y, x)
(iv) d(x,z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
स्पष्टीकरण:
विकल्प (1), (3), (4) के लिए
दूरीक समष्टि के लिए सभी प्रतिबंध पूर्ण होते हैं और वे एक दूरीक समष्टि बनाते हैं।
(2): d(f, g) = inf(|f(x) - g(x)| : x ∈ [0, 1])
माना f(x) = \(|x- \frac{1}{2}|\) और g(x) = \(|x- \frac{1}{3}|\), x ∈ [0, 1]
यहाँ d(f, g) = inf(|f(x) - g(x)| : x ∈ [0, 1]) = 0
लेकिन f(x) ≠ g(x)
इसलिए यह एक दूरीक समष्टि नहीं बनाता है।
(2) सही विकल्प है
Metric Spaces Question 15:
माना X = R² और d : X × x → R को d [(x1, x2) (y1, y2)]1/2 द्वारा परिभाषित किया जाता है। तो वृत्त के अंदर बिंदु ______________ पर केन्द्रित होते हैं।
Answer (Detailed Solution Below)
Metric Spaces Question 15 Detailed Solution
व्याख्या:
मानक यूक्लिडीय दूरीक, जो मूल बिंदु से तल में बिंदुओं तक की दूरी को मापता है। उस स्थिति में, मूल बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त में वे सभी बिंदु निहित होते हैं, जो मूलबिंदु (0, 0) से एक निश्चित दूरी (वृत्त की त्रिज्या) या उससे कम पर होते हैं।