Method of Separation of Variables MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Method of Separation of Variables - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 3, 2025
Latest Method of Separation of Variables MCQ Objective Questions
Method of Separation of Variables Question 1:
मान लीजिए u(x,y) आंशिक अवकलन समीकरण (PDE)
\({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + 3{y^2}u = 0\) जहाँ u (x, 0) = e 1/x को हल करता है।
निम्नलिखित कथनों में से कौन सा सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Method of Separation of Variables Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
द्वितीय कोटि के समघात रैखिक आंशिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप है
Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu + G = 0
इसलिए, x2uxy + 3y2u = 0 भी रैखिक है (A = 0, B = x2, C =0, D = 0, E = 0, F = 3y2, G = 0)
विकल्प 1 सही नहीं है:
मान लीजिये u(x, y) = X(x)Y(y) दिए गए आंशिक अवकल समीकरण का एक हल है
x2uxy + 3y2u = 0, प्रारंभिक प्रतिबंध u(x,0) = e1/x के साथ
तब, x2X'Y' + 3y2u = 0
⇒ x2X'Y' = - 3y2u
⇒ x2 \(\frac{X'}{X} = -3y^2\frac{Y}{Y'} = k\)
⇒ \(\frac{X'}{X} = \frac{k}{x^2}\) और \(-3y^2 \frac{Y}{Y'} = k\)
⇒ \(\ln X = -\frac{k}{x} + C_1\) और \(-\frac{3y^2}{k} =\frac{Y'}{Y}\)
⇒ \(X= C_1 e^{-\frac{k}{x}}\) और \(Y = C_2e^{-\frac{y^3}{k}}\)
⇒ \(u(x, y) = C_1e^\frac{-k}{x}\cdot C_2 e^\frac{-y^3}{k} = Ce^{-\frac{k}{x}}\cdot e^{-\frac{y^3}{k}}\)
जहाँ \(C = C_1 C_2\)
अब, u(x,0) = e1/x का उपयोग करते हुए
C = 1, k = -1
\(\therefore u(x, y) = e^{\frac{1}{x}}\cdot e^{y^3} \)
इसलिए \(u(1,1) = e^1\cdot e^{1^{3}} = e^2\)
विकल्प 2 सही है और विकल्प 3 गलत है।
चरों के पृथक्करण की विधि का उपयोग किया गया है।
विकल्प 4 सही है:
सही उत्तर विकल्प 2 और 4 हैं।
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Method of Separation of Variables Question 2:
मान लीजिए u(x,y) आंशिक अवकलन समीकरण (PDE)
\({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + 3{y^2}u = 0\) जहाँ u (x, 0) = e 1/x को हल करता है।
निम्नलिखित कथनों में से कौन सा सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Method of Separation of Variables Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
द्वितीय कोटि के समघात रैखिक आंशिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप है
Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu + G = 0
इसलिए, x2uxy + 3y2u = 0 भी रैखिक है (A = 0, B = x2, C =0, D = 0, E = 0, F = 3y2, G = 0)
विकल्प 1 सही नहीं है:
मान लीजिये u(x, y) = X(x)Y(y) दिए गए आंशिक अवकल समीकरण का एक हल है
x2uxy + 3y2u = 0, प्रारंभिक प्रतिबंध u(x,0) = e1/x के साथ
तब, x2X'Y' + 3y2u = 0
⇒ x2X'Y' = - 3y2u
⇒ x2 \(\frac{X'}{X} = -3y^2\frac{Y}{Y'} = k\)
⇒ \(\frac{X'}{X} = \frac{k}{x^2}\) और \(-3y^2 \frac{Y}{Y'} = k\)
⇒ \(\ln X = -\frac{k}{x} + C_1\) और \(-\frac{3y^2}{k} =\frac{Y'}{Y}\)
⇒ \(X= C_1 e^{-\frac{k}{x}}\) और \(Y = C_2e^{-\frac{y^3}{k}}\)
⇒ \(u(x, y) = C_1e^\frac{-k}{x}\cdot C_2 e^\frac{-y^3}{k} = Ce^{-\frac{k}{x}}\cdot e^{-\frac{y^3}{k}}\)
जहाँ \(C = C_1 C_2\)
अब, u(x,0) = e1/x का उपयोग करते हुए
C = 1, k = -1
\(\therefore u(x, y) = e^{\frac{1}{x}}\cdot e^{y^3} \)
इसलिए \(u(1,1) = e^1\cdot e^{1^{3}} = e^2\)
विकल्प 2 सही है और विकल्प 3 गलत है।
चरों के पृथक्करण की विधि का उपयोग किया गया है।
विकल्प 4 सही है:
सही उत्तर विकल्प 2 और 4 हैं।