Inverse Discrete Fourier Transform MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Inverse Discrete Fourier Transform - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

e-at u(t) के फोरियर ट्रांसफार्म को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

x(t) = e-at u(t)

\(x(j\omega) = {1 \over s+a}\)

यदि x(t) में to का समय-स्थानांतरण होता है, तो फोरियर ट्रांसफार्म निम्न है:

x(t - to) = e-a(t - to) u(t - to)

\(e^{-j\omega}x(j\omega) = {e^{-j\omega} \over s+a}\)

गणना:

दिया गया है, \(x(j\omega) = \frac{e^{-j\omega}}{2+j \omega}\)

e-2t u(t) = \({1\over 2+j \omega}\)

\(e^{-2(t-1)} u(t-1)= \frac{e^{-j\omega}}{2+j \omega}\)

\(\frac{e^{-j\omega}}{2+j \omega}\) का इनवर्स फोरियर ट्रांसफार्म e-2(t-1)(t - 1) है। 

संप्रत्यय: व्युत्क्रम विविक्त समय फूरियर रूपांतरण सूत्र द्वारा दिया गया है

x(n) = \(\frac{1}{{2π }}\int\limits_{ - π }^π { \times \left( {{e^{jw}}} \right)} \,\,{e^{jwn}}\,dw\)

गणना: दिया गया DTFT

अर्थात x(e^jn) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\left| \Omega \right| < w} \\ 0&{w\, < \,\,\left| \Omega \right| \leqslant π } \end{array}} \right.\)

व्युत्क्रम DTFT के लिए सूत्र लागू करने पर हमें प्राप्त होता है

x[n] = \(\frac{1}{{2π }}\int\limits_{ - π }^π { \times \left( {{e^{j\Omega }}} \right)} \,\,{e^{j\Omega n}}\,d\Omega \)

= \(\frac{1}{{2π }}\int\limits_{ - w}^w {{e^{j\Omega n}}\,d\Omega } \,\,\)

= \(\frac{{{e^{j\Omega n}}}}{{2π jn}}\int_{ - w}^w {} = \,\frac{{{e^{jwn}} - {e^{ - jwn}}}}{{\left( {2j} \right)π n}}\,\, = \,\,\frac{{\sin \,(wn)}}{{π n}}\)

sinc फलन में परिवर्तित करना:

x[n] = \(\frac{sin(Wn)}{Wn} .\frac{Wn}{πn}\) = \(\frac{{\sin π \frac{{Wn}}{π }}}{{π \,.\frac{{Wn}}{π }}}\,\,.\,\,\frac{{π \frac{{Wn}}{π }}}{{π n}}\)

x [n] = \(\frac{w}{π} sinc(\frac{w}{π}n)\)

अवधारणा:

व्युत्क्रम असतत-समय फूरियर रूपांतरण निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(x[n]={1\over N}{\sum_{-π}^{π}}x(\Omega)e^{-j\Omega n}\)

जहाँ, N = एक पूर्ण चक्र की समयावधि

गणना:

दी गई आकृति में -π से +π तक एक पूरा चक्र बनता है। तो, समय अवधि 2π है।

\(x[n]={1\over 2\pi}({-j\over 2}e^{j\Omega_1 n}+{j\over 2}e^{-j\Omega_1 n})\)

\(x[n]={1\over 2\pi}\times {-j\over 2}(e^{j\Omega_1 n}-e^{-j\Omega_1 n})\)

अंश और हर को 2j से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

\(x[n]={2j\over 2\pi}\times {-j\over 2}({e^{j\Omega_1 n}-e^{-j\Omega_1 n}\over 2j})\)

\(\rm x[n]=\frac{1}{2\pi}\sin (\Omega_1n)\)

अवधारणा:

समय डोमेन में सिग्नल का फूरियर रूपांतरण इस प्रकार दिया गया है:

\(X\left( \omega \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){e^{ - j\omega t}}\)

फूरियर रूपांतरण का अवकलन गुण:

\(\frac{{d\left[ {f\left( x \right)} \right]}}{{dx}}\;\mathop \longleftrightarrow \limits^{Fourier\;transform} \;j\omega \;F\left( \omega \right)\)

\(xf\left( x \right)\mathop \longleftrightarrow \limits^{Fourier\;transform} \frac{{jd\left[ {F\left( \omega \right)} \right]}}{{d\omega }}\)

विश्लेषण:

माना, x1(t) = te-2tu(t)

\({x_1}\left( {\rm{t}} \right) = {\rm{\;t}}{{\rm{e}}^{ - 2{\rm{t}}}}{\rm{u}}\left( {\rm{t}} \right) \overset{CTFT}{\longleftrightarrow } \;{X_1}\left( \omega \right) = \frac{1}{{{{(2 + j\omega )}^2}}}\)

दिया गया: \(X\left( \omega \right) = \frac{{j\omega }}{{{{\left( {2 + j\omega } \right)}^2}}}\)

\(X\left( \omega \right) = \frac{{j\omega }}{{{{\left( {2 + j\omega } \right)}^2}}} = j\omega {X_1}\left( \omega \right)\)

\(\frac{{dy\left( t \right)}}{{dt}}\; \overset{CTFT}{\longleftrightarrow } \;j\omega Y\left( \omega \right)\)

तो, \(x\left( t \right) = \frac{{d{x_1}\left( t \right)}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}\left[ {t{e^{ - 2t}}u\left( t \right)} \right]\)

= e-2tu(t) – 2te-2tu(t) + te-2tδ (t)

= (1 – 2t)e-2t u(t)    [∵ te-2tδ(t) = 0]

अवधारणा:

समय डोमेन में सिग्नल का फूरियर रूपांतरण इस प्रकार दिया गया है:

\(X\left( \omega \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){e^{ - j\omega t}}\)

फूरियर रूपांतरण का अवकलन गुण:

\(\frac{{d\left[ {f\left( x \right)} \right]}}{{dx}}\;\mathop \longleftrightarrow \limits^{Fourier\;transform} \;j\omega \;F\left( \omega \right)\)

\(xf\left( x \right)\mathop \longleftrightarrow \limits^{Fourier\;transform} \frac{{jd\left[ {F\left( \omega \right)} \right]}}{{d\omega }}\)

विश्लेषण:

\({x_1}\left( {\rm{t}} \right) = {\rm{\;t}}{{\rm{e}}^{ - 2{\rm{t}}}}{\rm{u}}\left( {\rm{t}} \right) \overset{CTFT}{\longleftrightarrow } \;{X_1}\left( \omega \right) = \frac{1}{{{{(2 + j\omega )}^2}}}\)

दिया गया: \(X\left( \omega \right) = \frac{{j\omega }}{{{{\left( {2 + j\omega } \right)}^2}}}\)

\(X\left( \omega \right) = \frac{{j\omega }}{{{{\left( {2 + j\omega } \right)}^2}}} = j\omega {X_1}\left( \omega \right)\)

\(\frac{{dy\left( t \right)}}{{dt}}\; \overset{CTFT}{\longleftrightarrow } \;j\omega Y\left( \omega \right)\)

तो, \(x\left( t \right) = \frac{{d{x_1}\left( t \right)}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}\left[ {t{e^{ - 2t}}u\left( t \right)} \right]\)

= e-2tu(t) – 2te-2tu(t) + te-2tδ (t)

= (1 – 2t)e-2t u(t)    [∵ te-2tδ(t) = 0]

अवधारणा:

परिमित-लंबाई अनुक्रम असतत फूरियर रूपांतरण से व्युत्क्रम असतत फूरियर रूपांतरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(x\left( n \right) = \frac{1}{N}\mathop \sum \limits_{k = 0}^{N - 1} X\left( k \right){e^{\frac{{j2\pi nk}}{N}}}\)

जहां n = 0, 1, …, N – 1

गणना:

दिया गया क्रम Y(k) = {1, 0, 1, 0} है।

अनुक्रम की लंबाई, N = 4

\(y\left( 0 \right) = \frac{1}{4}\mathop \sum \limits_{k = 0}^3 X\left( k \right){e^{\frac{{j2\pi nk}}{4}}} = \frac{1}{4}\left( {1 + 0 + 1 + 0} \right) = 0.5\)

\(y\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\mathop \sum \limits_{k = 0}^3 X\left( k \right){e^{\frac{{j2\pi nk}}{4}}} = \frac{1}{4}\left( {1 + 0 + {e^{i\pi }} + 0} \right) = 0\)

\(y\left( 2 \right) = \frac{1}{4}\mathop \sum \limits_{k = 0}^3 X\left( k \right){e^{\frac{{j2\pi nk}}{4}}} = \frac{1}{4}\left( {1 + 0 + {e^{i2\pi }} + 0} \right) = 0.5\)

\(y\left( 3 \right) = \frac{1}{4}\mathop \sum \limits_{k = 0}^3 X\left( k \right){e^{\frac{{j2\pi nk}}{4}}} = \frac{1}{4}\left( {1 + 0 + {e^{i3\pi }} + 0} \right) = 0\)

संकल्पना:

e-at u(t) के फोरियर ट्रांसफार्म को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

x(t) = e-at u(t)

\(x(j\omega) = {1 \over s+a}\)

यदि x(t) में to का समय-स्थानांतरण होता है, तो फोरियर ट्रांसफार्म निम्न है:

x(t - to) = e-a(t - to) u(t - to)

\(e^{-j\omega}x(j\omega) = {e^{-j\omega} \over s+a}\)

गणना:

दिया गया है, \(x(j\omega) = \frac{e^{-j\omega}}{2+j \omega}\)

e-2t u(t) = \({1\over 2+j \omega}\)

\(e^{-2(t-1)} u(t-1)= \frac{e^{-j\omega}}{2+j \omega}\)

\(\frac{e^{-j\omega}}{2+j \omega}\) का इनवर्स फोरियर ट्रांसफार्म e-2(t-1)(t - 1) है। 

संप्रत्यय: व्युत्क्रम विविक्त समय फूरियर रूपांतरण सूत्र द्वारा दिया गया है

x(n) = \(\frac{1}{{2π }}\int\limits_{ - π }^π { \times \left( {{e^{jw}}} \right)} \,\,{e^{jwn}}\,dw\)

गणना: दिया गया DTFT

अर्थात x(e^jn) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\left| \Omega \right| < w} \\ 0&{w\, < \,\,\left| \Omega \right| \leqslant π } \end{array}} \right.\)

व्युत्क्रम DTFT के लिए सूत्र लागू करने पर हमें प्राप्त होता है

x[n] = \(\frac{1}{{2π }}\int\limits_{ - π }^π { \times \left( {{e^{j\Omega }}} \right)} \,\,{e^{j\Omega n}}\,d\Omega \)

= \(\frac{1}{{2π }}\int\limits_{ - w}^w {{e^{j\Omega n}}\,d\Omega } \,\,\)

= \(\frac{{{e^{j\Omega n}}}}{{2π jn}}\int_{ - w}^w {} = \,\frac{{{e^{jwn}} - {e^{ - jwn}}}}{{\left( {2j} \right)π n}}\,\, = \,\,\frac{{\sin \,(wn)}}{{π n}}\)

sinc फलन में परिवर्तित करना:

x[n] = \(\frac{sin(Wn)}{Wn} .\frac{Wn}{πn}\) = \(\frac{{\sin π \frac{{Wn}}{π }}}{{π \,.\frac{{Wn}}{π }}}\,\,.\,\,\frac{{π \frac{{Wn}}{π }}}{{π n}}\)

x [n] = \(\frac{w}{π} sinc(\frac{w}{π}n)\)

अवधारणा:

व्युत्क्रम असतत-समय फूरियर रूपांतरण निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(x[n]={1\over N}{\sum_{-π}^{π}}x(\Omega)e^{-j\Omega n}\)

जहाँ, N = एक पूर्ण चक्र की समयावधि

गणना:

दी गई आकृति में -π से +π तक एक पूरा चक्र बनता है। तो, समय अवधि 2π है।

\(x[n]={1\over 2\pi}({-j\over 2}e^{j\Omega_1 n}+{j\over 2}e^{-j\Omega_1 n})\)

\(x[n]={1\over 2\pi}\times {-j\over 2}(e^{j\Omega_1 n}-e^{-j\Omega_1 n})\)

अंश और हर को 2j से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

\(x[n]={2j\over 2\pi}\times {-j\over 2}({e^{j\Omega_1 n}-e^{-j\Omega_1 n}\over 2j})\)

\(\rm x[n]=\frac{1}{2\pi}\sin (\Omega_1n)\)

संकल्पना:

एक N - बिंदु वाले DFT को निम्न रूप में आव्यूह गुणन के रूप में लागू किया जा सकता है:

X = W.x

जहाँ W, ‘N’/‘N’ DFT आव्यूह है।

N = 4 के लिए ‘W’ आव्यूह निम्न रूप में दिया गया है:

\(\Rightarrow {W_{4 \times 4}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 1&{ - j}&{ - 1}&j\\ 1&{ - 1}&1&{ - 1}\\ 1&j&{ - 2}&{ - j} \end{array}} \right]\)

इसलिए, दिए गए इनपुट सिग्नल का N बिंदु वाला DFT निम्न होगा:

F(k) = W. x

आव्यूह रूप में:

\({\left[ F \right]_{4 \times 1}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 1&{ - j}&{ - 1}&j\\ 1&{ - 1}&1&{ - 1}\\ 1&j&{ - 1}&{ - j} \end{array}} \right]_{4 \times 4}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( 0 \right)}\\ {x\left( 1 \right)}\\ {x\left( 2 \right)}\\ {x\left( 3 \right)} \end{array}} \right]_{4 \times 1}}\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {F\left( 0 \right)}\\ {F\left( 1 \right)}\\ {F\left( 2 \right)}\\ {F\left( 3 \right)} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 1&{ - j}&{ - 1}&j\\ 1&{ - 1}&1&{ - 1}\\ 1&j&{ - 1}&{ - j} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} j\\ { - 2}\\ { - j}\\ 1 \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {F\left( 0 \right)}\\ {F\left( 1 \right)}\\ {F\left( 2 \right)}\\ {F\left( 3 \right)} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {j - 2 - j + 1}\\ {j + 2j + j + j}\\ {j + 2 - j - 1}\\ {j - 2j + j - j} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {5j}\\ 1\\ { - j} \end{array}} \right]\)

अवधारणा:

समय डोमेन में सिग्नल का फूरियर रूपांतरण इस प्रकार दिया गया है:

\(X\left( \omega \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){e^{ - j\omega t}}\)

फूरियर रूपांतरण का अवकलन गुण:

\(\frac{{d\left[ {f\left( x \right)} \right]}}{{dx}}\;\mathop \longleftrightarrow \limits^{Fourier\;transform} \;j\omega \;F\left( \omega \right)\)

\(xf\left( x \right)\mathop \longleftrightarrow \limits^{Fourier\;transform} \frac{{jd\left[ {F\left( \omega \right)} \right]}}{{d\omega }}\)

विश्लेषण:

\({x_1}\left( {\rm{t}} \right) = {\rm{\;t}}{{\rm{e}}^{ - 2{\rm{t}}}}{\rm{u}}\left( {\rm{t}} \right) \overset{CTFT}{\longleftrightarrow } \;{X_1}\left( \omega \right) = \frac{1}{{{{(2 + j\omega )}^2}}}\)

दिया गया: \(X\left( \omega \right) = \frac{{j\omega }}{{{{\left( {2 + j\omega } \right)}^2}}}\)

\(X\left( \omega \right) = \frac{{j\omega }}{{{{\left( {2 + j\omega } \right)}^2}}} = j\omega {X_1}\left( \omega \right)\)

\(\frac{{dy\left( t \right)}}{{dt}}\; \overset{CTFT}{\longleftrightarrow } \;j\omega Y\left( \omega \right)\)

तो, \(x\left( t \right) = \frac{{d{x_1}\left( t \right)}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}\left[ {t{e^{ - 2t}}u\left( t \right)} \right]\)

= e-2tu(t) – 2te-2tu(t) + te-2tδ (t)

= (1 – 2t)e-2t u(t)    [∵ te-2tδ(t) = 0]

अवधारणा:

परिमित-लंबाई अनुक्रम असतत फूरियर रूपांतरण से व्युत्क्रम असतत फूरियर रूपांतरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(x\left( n \right) = \frac{1}{N}\mathop \sum \limits_{k = 0}^{N - 1} X\left( k \right){e^{\frac{{j2\pi nk}}{N}}}\)

जहां n = 0, 1, …, N – 1

गणना:

दिया गया क्रम Y(k) = {1, 0, 1, 0} है।

अनुक्रम की लंबाई, N = 4

\(y\left( 0 \right) = \frac{1}{4}\mathop \sum \limits_{k = 0}^3 X\left( k \right){e^{\frac{{j2\pi nk}}{4}}} = \frac{1}{4}\left( {1 + 0 + 1 + 0} \right) = 0.5\)

\(y\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\mathop \sum \limits_{k = 0}^3 X\left( k \right){e^{\frac{{j2\pi nk}}{4}}} = \frac{1}{4}\left( {1 + 0 + {e^{i\pi }} + 0} \right) = 0\)

\(y\left( 2 \right) = \frac{1}{4}\mathop \sum \limits_{k = 0}^3 X\left( k \right){e^{\frac{{j2\pi nk}}{4}}} = \frac{1}{4}\left( {1 + 0 + {e^{i2\pi }} + 0} \right) = 0.5\)

\(y\left( 3 \right) = \frac{1}{4}\mathop \sum \limits_{k = 0}^3 X\left( k \right){e^{\frac{{j2\pi nk}}{4}}} = \frac{1}{4}\left( {1 + 0 + {e^{i3\pi }} + 0} \right) = 0\)

संकल्पना:

e-at u(t) के फोरियर ट्रांसफार्म को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

x(t) = e-at u(t)

\(x(j\omega) = {1 \over s+a}\)

यदि x(t) में to का समय-स्थानांतरण होता है, तो फोरियर ट्रांसफार्म निम्न है:

x(t - to) = e-a(t - to) u(t - to)

\(e^{-j\omega}x(j\omega) = {e^{-j\omega} \over s+a}\)

गणना:

दिया गया है, \(x(j\omega) = \frac{e^{-j\omega}}{2+j \omega}\)

e-2t u(t) = \({1\over 2+j \omega}\)

\(e^{-2(t-1)} u(t-1)= \frac{e^{-j\omega}}{2+j \omega}\)

\(\frac{e^{-j\omega}}{2+j \omega}\) का इनवर्स फोरियर ट्रांसफार्म e-2(t-1)(t - 1) है। 

संप्रत्यय: व्युत्क्रम विविक्त समय फूरियर रूपांतरण सूत्र द्वारा दिया गया है

x(n) = \(\frac{1}{{2π }}\int\limits_{ - π }^π { \times \left( {{e^{jw}}} \right)} \,\,{e^{jwn}}\,dw\)

गणना: दिया गया DTFT

अर्थात x(e^jn) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\left| \Omega \right| < w} \\ 0&{w\, < \,\,\left| \Omega \right| \leqslant π } \end{array}} \right.\)

व्युत्क्रम DTFT के लिए सूत्र लागू करने पर हमें प्राप्त होता है

x[n] = \(\frac{1}{{2π }}\int\limits_{ - π }^π { \times \left( {{e^{j\Omega }}} \right)} \,\,{e^{j\Omega n}}\,d\Omega \)

= \(\frac{1}{{2π }}\int\limits_{ - w}^w {{e^{j\Omega n}}\,d\Omega } \,\,\)

= \(\frac{{{e^{j\Omega n}}}}{{2π jn}}\int_{ - w}^w {} = \,\frac{{{e^{jwn}} - {e^{ - jwn}}}}{{\left( {2j} \right)π n}}\,\, = \,\,\frac{{\sin \,(wn)}}{{π n}}\)

sinc फलन में परिवर्तित करना:

x[n] = \(\frac{sin(Wn)}{Wn} .\frac{Wn}{πn}\) = \(\frac{{\sin π \frac{{Wn}}{π }}}{{π \,.\frac{{Wn}}{π }}}\,\,.\,\,\frac{{π \frac{{Wn}}{π }}}{{π n}}\)

x [n] = \(\frac{w}{π} sinc(\frac{w}{π}n)\)

अवधारणा:

व्युत्क्रम असतत-समय फूरियर रूपांतरण निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(x[n]={1\over N}{\sum_{-π}^{π}}x(\Omega)e^{-j\Omega n}\)

जहाँ, N = एक पूर्ण चक्र की समयावधि

गणना:

दी गई आकृति में -π से +π तक एक पूरा चक्र बनता है। तो, समय अवधि 2π है।

\(x[n]={1\over 2\pi}({-j\over 2}e^{j\Omega_1 n}+{j\over 2}e^{-j\Omega_1 n})\)

\(x[n]={1\over 2\pi}\times {-j\over 2}(e^{j\Omega_1 n}-e^{-j\Omega_1 n})\)

अंश और हर को 2j से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

\(x[n]={2j\over 2\pi}\times {-j\over 2}({e^{j\Omega_1 n}-e^{-j\Omega_1 n}\over 2j})\)

\(\rm x[n]=\frac{1}{2\pi}\sin (\Omega_1n)\)