Infinitely Many Solutions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Infinitely Many Solutions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

11x + y + λz = -5

2x + 3y + 5z = 3

8x - 19y - 39z = µ

अब, अनंत हल के लिए D = 0

⇒ $\mathrm{D}=\left|\begin{array}{ccc}11& 1& \lambda \\ 2& 3& 5\\ 8& -19& -39\end{array}\right|=0$

⇒ 11(-117 + 95) -1(-78 - 40) + λ(-38 - 24)

⇒ 11(-22) + 118 - λ(62) = 0

⇒ 62λ = 118 - 242

⇒ λ = $\frac{-124}{62}=-2$

इसके अलावा, ${\mathrm{D}}_1=\left|\begin{array}{ccc}-5& 1& -2\\ 3& 3& 5\\ \mu & -19& -39\end{array}\right|=0$

⇒ -5(-117 + 95) -1(-117 - 5μ) -2(-57 - 3μ) = 0

⇒ -5(-22) + 117 + 5μ + 114 + 6μ = 0

⇒ 11μ = -110 - 231 = -341

⇒ μ = - 31

∴ λ⁴ - μ = (- 2)⁴ - (- 31)

= 16 + 31 = 47

∴ λ4 - µ का मान 49 है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा:

माना दो समीकरण निम्न है:

a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0

तो,

• अद्वितीय हल के लिए, $\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$
• अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए, $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

• कोई हल नहीं के लिए, $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$

प्रयुक्त सूत्र:

किसी भी द्विघात समीकरण के लिए, ax2 + bx + c = 0, द्विघात सूत्र है:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

गणना:

दिए गए समीकरण हैं:

kx + 3y - k + 3 = 0 and 12x + ky = k 

समीकरणों की तुलना ax + by + c = 0 से करने पर, हमें प्राप्त होता है

a1 = k, b1 = 3, c1 = -k + 3

a2 = 12, b2 = k, c2 = -k

इसलिए, अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए,

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

$\Rightarrow \frac{k}{(12)}=\frac{3}{k}=\frac{-k+3}{-k}$

हल करने पर, $\frac{k}{12}=\frac{3}{k}$

k2 = 36

⇒ k = 6

हल करने पर, $\frac{3}{k}=\frac{-k+3}{-k}$

⇒ -3k = -k2 + 3k

⇒ k2 - 6k = 0

⇒ k2 = 6k

k = 6

अत: k = 6.

अवधारणा:

माना दो समीकरण निम्न है:

a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0

तो,

• अद्वितीय हल के लिए, $\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$
• अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए, $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

• कोई हल नहीं के लिए, $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$

प्रयुक्त सूत्र:

किसी भी द्विघात समीकरण के लिए, ax2 + bx + c = 0, द्विघात सूत्र है:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

गणना:

दिए गए समीकरण हैं:

kx + 3y - k + 3 = 0 and 12x + ky = k 

समीकरणों की तुलना ax + by + c = 0 से करने पर, हमें प्राप्त होता है

a1 = k, b1 = 3, c1 = -k + 3

a2 = 12, b2 = k, c2 = -k

इसलिए, अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए,

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

$\Rightarrow \frac{k}{(12)}=\frac{3}{k}=\frac{-k+3}{-k}$

हल करने पर, $\frac{k}{12}=\frac{3}{k}$

k2 = 36

⇒ k = 6

हल करने पर, $\frac{3}{k}=\frac{-k+3}{-k}$

⇒ -3k = -k2 + 3k

⇒ k2 - 6k = 0

⇒ k2 = 6k

k = 6

अत: k = 6.

स्पष्टीकरण:

यदि दोनों समीकरण a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0 के अनंत हल हैं तो आरेख संपाती रेखा का युग्म होगा और दोनों समीकरणों के गुणांकों के बीच संबंध निम्न है

${\displaystyle \frac{a_1}{a_2}}={\displaystyle \frac{b_1}{b_2}}={\displaystyle \frac{c_1}{c_2}}$

Additional Information

A = [aij]m × n = आव्यूह का गुणांक, X = चरों का स्तंभ आव्यूह

B = स्थिरांकों का स्तंभ आव्यूह

प्रणाली AX = B में निम्न है

1) एक अद्वितीय हल, यदि A की रैंक = रैंक [A|B] और चरों की संख्या के बराबर है।

2) असीम रूप से अनेक हल, यदि A की रैंक = [A|B] की रैंक < चरों की संख्या

3) कोई हल नहीं, यदि A की रैंक ≠ [A|B] की रैंक यानी A की रैंक < [A|B] की रैंक।

संप्रत्यय:

यदि 3 × 3 समघात आव्यूह का कोटि 3 से कम है, तो संगत समीकरणों का अतुच्छ हल होगा।

व्याख्या:

अतुच्छ हल के लिए

$\left|\begin{array}{ccc}p& q& r\\ q& r& p\\ r& p& q\end{array}\right|=0$

R1 = R1 + R2 + R3

$\left|\begin{array}{ccc}p+q+r& q+r+p& r+p+q\\ q& r& p\\ r& p& q\end{array}\right|=0$

$\left(p+q+r\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ q& r& p\\ r& p& q\end{array}\right|=0$

∴ p + q + r = 0

या

$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ q& r& p\\ r& p& q\end{array}\right|=0$

संकल्पना:

यदि 3 × 3 सजातीय आव्यूह की रैंक 3 से कम है तो संबंधित समीकरणों में गैर-नगण्य समाधान होगा

स्पष्टीकरण:

गैर-नगण्य समाधान के लिए

$\left|\begin{array}{ccc}p& q& r\\ q& r& p\\ r& p& q\end{array}\right|=0$

R1 = R1 + R2 + R3

$\left|\begin{array}{ccc}p+q+r& q+r+p& r+p+q\\ q& r& p\\ r& p& q\end{array}\right|=0$

$\left(p+q+r\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ q& r& p\\ r& p& q\end{array}\right|=0$

∴ p + q + r = 0

या

$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ q& r& p\\ r& p& q\end{array}\right|=0$

अवधारणा:

माना दो समीकरण निम्न है:

a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0

तो,

• अद्वितीय हल के लिए, $\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$
• अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए, $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

• कोई हल नहीं के लिए, $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$

प्रयुक्त सूत्र:

किसी भी द्विघात समीकरण के लिए, ax2 + bx + c = 0, द्विघात सूत्र है:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

गणना:

दिए गए समीकरण हैं:

kx + 3y - k + 3 = 0 and 12x + ky = k 

समीकरणों की तुलना ax + by + c = 0 से करने पर, हमें प्राप्त होता है

a1 = k, b1 = 3, c1 = -k + 3

a2 = 12, b2 = k, c2 = -k

इसलिए, अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए,

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

$\Rightarrow \frac{k}{(12)}=\frac{3}{k}=\frac{-k+3}{-k}$

हल करने पर, $\frac{k}{12}=\frac{3}{k}$

k2 = 36

⇒ k = 6

हल करने पर, $\frac{3}{k}=\frac{-k+3}{-k}$

⇒ -3k = -k2 + 3k

⇒ k2 - 6k = 0

⇒ k2 = 6k

k = 6

अत: k = 6.

कथन I:

यदि m < n तो ऐसी सभी प्रणालियों का एक समाधान है [गलत]

मान लीजिए कि m = 2, n = 3

x + y + z = 3

x + y + z = 5

यहाँ, यह कोई समाधान नहीं देगा। क्योंकि, जब हमारे पास 3 चरों के साथ 2 समीकरण होते हैं, तो हम इसके लिए समाधान नहीं ढूंढ सकते हैं।

कथन II:

यदि m > n है तो इनमें से किसी भी प्रणाली का कोई समाधान नहीं है [गलत]

मान लीजिए कि m = 3, n = 2

समीकरण की प्रणाली इस प्रकार होगी:

x + 2y = 2

x + y = 1

2x + 5y = 5

लेकिन यहां हम आसानी से x और y का मान पा सकते हैं।

कथन III:

यदि m = n तो एक प्रणाली मौजूद है जिसका एक समाधान है [सही]

मान लीजिए कि m = 2, n = 2

समीकरण की प्रणाली इस प्रकार होगी:

x + 2y = 3

2x + 4y = 4

संकल्पना:

समरूप प्रणाली के लिए, AX = O 

[A] गुणांक आव्यूह है।

[A/O] संवर्धित आव्यूह है।

[O] रिक्त आव्यूह है और

n = चरों की कुल संख्या

स्थिति 1: ρ(A) = ρ(A/O) = n

इस स्थिति में प्रणाली में केवल शून्य हल (या नगण्य हल) अर्थात् विशिष्ट हल हैं।

स्थिति 2: ρ(A) = ρ(A/O) < n

इस स्थिति में प्रणाली में गैर-शून्य हलों (या गैर-नगण्य हल) की अनंत संख्या है।

स्थिति 3: ρ(A) = ρ(A/O)

इसलिए, भिन्नता उत्पन्न नहीं होती है, हालाँकि शून्य हल सदैव इसके लिए हल होता है।

दिया गया है:

गणना:

2x1 + x2 + x3 = 0

x2 – x3 = 0

x1 + x2 = 0

यहाँ n = 3

अब, हम जानते हैं कि

समरूप प्रणाली के लिए, AX = O

संवर्धित आव्यूह निम्न है:

$\left[A/O\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& 1& -1\\ 1& 1& 0\end{array}|\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

R₃ → R₃ - (R₁/2)

$\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& 1& -1\\ 0& 1/2& -1/2\end{array}|\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

R3 → R3 - (R₂/2)

$\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}|\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

चूँकि, ρ(A) = ρ(A/O) = 2 < 3

∴ प्रणाली संगत है और इसमें हलों की अनंत संख्या होगी।

गणना:

दिया गया है,

11x + y + λz = -5

2x + 3y + 5z = 3

8x - 19y - 39z = µ

अब, अनंत हल के लिए D = 0

⇒ $\mathrm{D}=\left|\begin{array}{ccc}11& 1& \lambda \\ 2& 3& 5\\ 8& -19& -39\end{array}\right|=0$

⇒ 11(-117 + 95) -1(-78 - 40) + λ(-38 - 24)

⇒ 11(-22) + 118 - λ(62) = 0

⇒ 62λ = 118 - 242

⇒ λ = $\frac{-124}{62}=-2$

इसके अलावा, ${\mathrm{D}}_1=\left|\begin{array}{ccc}-5& 1& -2\\ 3& 3& 5\\ \mu & -19& -39\end{array}\right|=0$

⇒ -5(-117 + 95) -1(-117 - 5μ) -2(-57 - 3μ) = 0

⇒ -5(-22) + 117 + 5μ + 114 + 6μ = 0

⇒ 11μ = -110 - 231 = -341

⇒ μ = - 31

∴ λ⁴ - μ = (- 2)⁴ - (- 31)

= 16 + 31 = 47

∴ λ4 - µ का मान 49 है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

संकल्पना:

माना 

[A] गुणांक आव्यूह है। 

[A/B] संवर्धित आव्यूह है। 

n = चरों की कुल संख्या

स्थिति 1: ρ(A) = ρ(A/B) = n

इस स्थिति में, निकाय सुसंगत रहेगा और इसका एक अद्वितीय हल होगा। 

स्थिति 2: ρ(A) = ρ(A/B) < n

इस स्थिति में, निकाय सुसंगत रहेगा और इसके अनंत हल होंगे।

स्थिति 3: ρ(A) < ρ(A/B)

इस स्थिति में, निकाय सुसंगत रहेगा और इसका कोई हल नहीं होगा।

गणना:

दिया गया है:

x  + 2y + z = 4

2x + y + 2z = 5

x – y + z = 1

यहाँ n = 3

संवर्धित आव्यूह है:

$\left[A/B\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& 2\\ 1& -1& 1\end{array}|\begin{array}{c}4\\ 5\\ 1\end{array}\right]$

R₂ → R₂ – 2R₁ और R₃ → R₃ – R₁

_{$\left[A/B\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -3& 0\\ 0& -3& 0\end{array}|\begin{array}{c}4\\ -3\\ -3\end{array}\right]$}

R₃ → R₃ – R₂

$\$\left[A/B\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -3& 0\\ 0& 0& 0\end{array}|\begin{array}{c}4\\ -3\\ 0\end{array}\right]$

ρ(A) = ρ(A/B)  = 2 < 3

∴ निकाय सुसंगत होगा और इसके अनंत हल होंगे।

स्पष्टीकरण:

c1, c2, … cn अदिश हैं अर्थात सभी शून्य नहीं हैं। $\sum _{i=1}^n{c}_i{a}_i=0$ । यहाँ c_i अदिश और a_i सदिश है।

और जब एक अदिश को सदिश से गुणा किया जाता है, तो परिणाम शून्य होगा, अदिश का मान शून्य होगा।

c1a1 + c2 a2 + … + cn an = 0 तो, यहाँ c_i मान 0 होगा।

यहाँ हम कह सकते हैं कि A रैखिक रूप से निर्भर है, और A का सारणिक 0 है। (रैखिक रूप से निर्भर: सदिशों का रैखिक रूप से स्वतंत्र होने का अर्थ है कि वे आपके सदिश स्थानों में स्वतंत्र दिशाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि रैखिक रूप से निर्भर सदिश का अर्थ है कि वे ऐसा नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए। आपके पास सदिश {v1, v2, v3, v4, v5} का एक समुच्चय है और आप v1 दिशा में कुछ दूरी पर चल सकते हैं, फिर v2 में अंतर और फिर दिशा v3 में अंतर। यदि अंत में आप बिंदु पर वापस आ गए हैं जहां आपने शुरू किया था तब सदिश रैखिक रूप से निर्भर होते हैं अन्यथा नहीं)। A= [a1, a2, a3, … an]

b = $\sum _{i=1}^n{a}_i$

Ax = b

a1x1 + a2 x2 + … + an xn = a1 + a2 + … + an

x1 = x2 = x3 = … = xn = 1 (यह अनंत समाधानों में से एक है) और अन्य सभी समाधान उसी रेखा पर हैं।

स्पष्टीकरण:

यदि दोनों समीकरण a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0 के अनंत हल हैं तो आरेख संपाती रेखा का युग्म होगा और दोनों समीकरणों के गुणांकों के बीच संबंध निम्न है

${\displaystyle \frac{a_1}{a_2}}={\displaystyle \frac{b_1}{b_2}}={\displaystyle \frac{c_1}{c_2}}$

Additional Information

A = [aij]m × n = आव्यूह का गुणांक, X = चरों का स्तंभ आव्यूह

B = स्थिरांकों का स्तंभ आव्यूह

प्रणाली AX = B में निम्न है

1) एक अद्वितीय हल, यदि A की रैंक = रैंक [A|B] और चरों की संख्या के बराबर है।

2) असीम रूप से अनेक हल, यदि A की रैंक = [A|B] की रैंक < चरों की संख्या

3) कोई हल नहीं, यदि A की रैंक ≠ [A|B] की रैंक यानी A की रैंक < [A|B] की रैंक।

हम जानते हैं कि,

a₁x + b₁y = c₁

a₂x + b₂y = c₂ 

माना कि $\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|$और ${\mathrm{\Delta }}_1=\left|\begin{array}{cc}{c}_1& b_1\\ c_2& b_2\end{array}\right|$ हैं

इसलिए,

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{cc}3& 6\\ 6& 12\end{array}\right|=0\\ \mathrm{\Delta }=36-36=0\\ {\mathrm{\Delta }}_1=\left|\begin{array}{cc}9& 6\\ 18& 12\end{array}\right|\\ {\mathrm{\Delta }}_1=108-108=0\end{array}$

हम जानते हैं कि उत्तर हलों की अपरिमित संख्या होगी, यदि

$\mathrm{\Delta }=0,{\mathrm{\Delta }}_1=0$

संकल्पना:

यदि 3 × 3 सजातीय आव्यूह की रैंक 3 से कम है तो संबंधित समीकरणों में गैर-नगण्य समाधान होगा

स्पष्टीकरण:

गैर-नगण्य समाधान के लिए

$\left|\begin{array}{ccc}p& q& r\\ q& r& p\\ r& p& q\end{array}\right|=0$

R1 = R1 + R2 + R3

$\left|\begin{array}{ccc}p+q+r& q+r+p& r+p+q\\ q& r& p\\ r& p& q\end{array}\right|=0$

$\left(p+q+r\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ q& r& p\\ r& p& q\end{array}\right|=0$

∴ p + q + r = 0

या

$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ q& r& p\\ r& p& q\end{array}\right|=0$