Heat Conduction Through Plane and Composite Walls MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Heat Conduction Through Plane and Composite Walls - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सिद्धांत:

ठोस प्लेट के माध्यम से प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊष्मा स्थानांतरण की दर की गणना फूरियर के नियम का उपयोग करके की जाती है:

\( q = \frac{k \cdot \Delta T}{L} \)

जहाँ,

• \( q \) = प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊष्मा स्थानांतरण दर (W/m²)
• \( k \) = ऊष्मा चालकता (W/m°C)
• \( \Delta T \) = प्लेट के आर-पार तापमान अंतर (°C)
• \( L \) = प्लेट की मोटाई (m)

दिया गया है:

\( k = 370~\text{W/m}^\circ\text{C}, \quad \Delta T = 350 - 50 = 300^\circ\text{C}, \quad L = 45~\text{mm} = 0.045~\text{m} \)

गणना:

\( q = \frac{370 \cdot 300}{0.045} = \frac{111000}{0.045} = 2466666.67~\text{W/m}^2 \)

\( q \approx 2.466 \times 10^6~\text{W/m}^2 \)

संप्रत्यय:

एक संयुक्त दीवार के माध्यम से ऊष्मा स्थानांतरण तापीय प्रतिरोध द्वारा नियंत्रित होता है। कुल तापीय प्रतिरोध व्यक्तिगत परतों के प्रतिरोधों और अंतराफलक पर तापीय संपर्क प्रतिरोध का योग होता है।

कुल तापीय प्रतिरोध इस प्रकार दिया गया है:

\( R_{\text{total}} = R_A + R_B + R_{\text{contact}} \)

ऊष्मा स्थानांतरण दर फूरियर के नियम का उपयोग करके गणना की जाती है:

\( Q = \frac{T_1 - T_2}{R_{\text{total}}} \)

दिया गया है:

• पदार्थ A की मोटाई: \(L_A = 100 mm = 0.1 m\)
• पदार्थ A की तापीय चालकता: \(k_A = 50 W/m·K\)
• पदार्थ B की मोटाई: L_B = 10 mm = 0.01 m
• पदार्थ B की तापीय चालकता: \(k_B = 2 W/m·K\)
• तापीय संपर्क प्रतिरोध: \(R_{\text{contact}} = 0.003 ~m²K/W\)
• तापमान अंतर: \(T_1 = 300^\circ C ,~ T_2 = 50^\circ C\)
• अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल: A = 1 m²

गणना:

चरण 1: प्रत्येक पदार्थ का तापीय प्रतिरोध ज्ञात करें

पदार्थ A का तापीय प्रतिरोध:

\( R_A = \frac{L_A}{k_A A} = \frac{0.1}{50 \times 1} = 0.002~K/W\)

पदार्थ B का तापीय प्रतिरोध:

\( R_B = \frac{L_B}{k_B A} = \frac{0.01}{2 \times 1} = 0.005~K/W\)

चरण 2: कुल तापीय प्रतिरोध ज्ञात करें

\( R_{\text{total}} = R_A + R_B + R_{\text{contact}} \)

\( R_{\text{total}} = 0.002 + 0.005 + 0.003 = 0.01~K/W\)

चरण 3: ऊष्मा स्थानांतरण दर ज्ञात करें

\( Q = \frac{T_1 - T_2}{R_{\text{total}}} \)

\( Q = \frac{300 - 50}{0.01} = \frac{250}{0.01} = 25,000~W\)

\( Q = 25~kW\)

व्याख्या:

एक समतल दीवार के माध्यम से एक-आयामी स्थिर-अवस्था ऊष्मा चालन

परिभाषा: एक समतल दीवार के माध्यम से एक-आयामी स्थिर-अवस्था ऊष्मा चालन उस प्रक्रिया को संदर्भित करता है जहाँ ऊष्मा दीवार की मोटाई के माध्यम से दीवार की सतहों के लंबवत दिशा में स्थानांतरित होती है। इस परिदृश्य में, तापमान वितरण समय के साथ नहीं बदलता है (स्थिर-अवस्था), और ऊष्मा स्थानांतरण केवल एक आयाम में होता है (दीवार की सतहों के लंबवत)।

मान्यताएँ: इस ऊष्मा चालन समस्या के विश्लेषण कई प्रमुख मान्यताओं पर आधारित है:

• दीवार के भीतर कोई ऊष्मा उत्पन्न नहीं: दीवार में कोई आंतरिक ऊष्मा स्रोत नहीं है।
• स्थिर तापीय चालकता: दीवार सामग्री की तापीय चालकता पूरी दीवार में स्थिर रहती है।
• स्थिर-अवस्था की स्थिति: तापमान वितरण समय के साथ नहीं बदलता है।
• एक-आयामी ऊष्मा स्थानांतरण: ऊष्मा चालन केवल दीवार की सतहों के लंबवत दिशा में होता है।

ऊष्मा चालन समीकरण:

दी गई मान्यताओं के तहत, एक समतल दीवार के माध्यम से ऊष्मा चालन को फूरियर के ऊष्मा चालन के नियम द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

q = \(kA\frac{dT}{dx}\)

जहाँ:

• q ऊष्मा अभिवाह (प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में ऊष्मा स्थानांतरण की मात्रा) है।
• k दीवार सामग्री की तापीय चालकता है।
• A वह अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है जिसके माध्यम से ऊष्मा का संचालन होता है।
• dT/dx ऊष्मा स्थानांतरण की दिशा में तापमान प्रवणता है।

मोटाई L वाली एक समतल दीवार के माध्यम से एक-आयामी ऊष्मा चालन के लिए, तापमान वितरण को फूरियर के नियम को समाकलित करके निर्धारित किया जा सकता है। परिणामी तापमान वितरण, T(x), रैखिक समीकरण द्वारा दिया गया है:

\(\frac{{T - {T_1}}}{{{T_2} - {T_1}}} = \frac{x}{L}\)

जहाँ:

• T₁ दीवार की एक सतह पर तापमान है (x = 0 पर)।
• T₂ दीवार की दूसरी सतह पर तापमान है (x = L पर)।

यह समीकरण दर्शाता है कि दीवार के पार तापमान वितरण रैखिक है, जिसका अर्थ है कि तापमान एक सतह पर T₁ से दूसरी सतह पर T₂ तक रैखिक रूप से बदलता है।

Important Points 

विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: दीवार के पार तापमान स्थिर रहता है।

यह विकल्प गलत है क्योंकि यह दर्शाता है कि दीवार के पार कोई तापमान प्रवणता नहीं है, जो ऊष्मा स्थानांतरण की स्थिति का खंडन करता है। ऊष्मा चालन के लिए, दीवार की दो सतहों के बीच तापमान अंतर होना चाहिए।

विकल्प 3: दीवार के पार तापमान घातांकीय रूप से बढ़ता है।

यह विकल्प गलत है क्योंकि यह एक घातांकीय तापमान वितरण का सुझाव देता है, जो स्थिर तापीय चालकता के साथ एक समतल दीवार के माध्यम से एक-आयामी स्थिर-अवस्था ऊष्मा चालन की विशेषता नहीं है। इसके बजाय, तापमान वितरण रैखिक है।

विकल्प 4: तापमान वितरण घातांकीय है।

विकल्प 3 के समान, यह विकल्प गलत है क्योंकि यह एक घातांकीय तापमान वितरण का वर्णन करता है। जैसा कि व्युत्पन्न किया गया है, दीवार के पार तापमान परिवर्तन रैखिक है, घातांकीय नहीं।

संकल्पना:

एक आयाम में किसी ऊष्मा उत्पादन के बिना एक स्लैब में अस्थिर ऊष्मा चालन के लिए सामान्य समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(\rm \frac{\partial^2T}{\partial x^2}=\frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t}\)

ऊष्मा उत्पन्न करते समय स्थिर-अवस्था की स्थिति को संतुष्ट करने के लिए स्लैब में उत्पन्न सभी ऊष्मा का स्लैब के दोनों ओर के द्रव में संवहन करना चाहिए।

• एक दिशा चालन, केवल T = f(x)
• एकसमान चालकता, k = C
• सर्वत्र एकसमान ऊष्मा उत्पादन, \(\dot q = C\)

• ऊष्मा स्थानांतरण क्षणिक है।

अस्थिर-अवस्था ऊष्मा स्थानांतरण 

• अस्थिर-अवस्था वाले ऊष्मा स्थानांतरण में, तापमान प्रणाली में समय व स्थान के साथ भिन्न होता है।
• T = f(x, y, z, t) और \(\frac{{\partial T}}{{\partial t}} \ne 0\)
• अस्थिर अवस्था या क्षणिक ऊष्मा स्थानांतरण के दौरान ऊष्मा स्थानांतरण की दर प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के कारण समय के साथ भिन्न होता है। अधिकांश वास्तविक ऊष्मा स्थानांतरण प्रक्रियाएँ प्रकृति में अस्थिर होती है, लेकिन उनमें से कुछ को उनके विश्लेषण को सरलीकृत करने के लिए स्थिर-अवस्था में लिया जाता है।

स्पष्टीकरण

दीवार की चालकता, k = k₀ + bT

और T₂ > T₁

चूंकि चालकता तापमान का एक फलन है, जैसे-जैसे हम बाएं से दाएं की ओर बढ़ते हैं, तापमान में वृद्धि होती जाती है। इस प्रकार दीवार की तापीय चालकता में भी वृद्धि होती है।

ऊष्मा चालन के फुरियर नियम का उपयोग करके

\(Q = kA\left( {\frac{{dT}}{{dx}}} \right)\)

ऊष्मीय चालकता के रूप में, k में वृद्धि हो रही है इसलिए ऊष्मा अंतरण को स्थिर रखने के लिए तापमान प्रवणता \(\left( {\frac{{dT}}{{dx}}} \right)\)  घटाई जानी चाहिए।

संकल्पना:

• दीवार के एक तरफ से दीवार के दूसरी तरफ ऊष्मा का स्थानांतरण होता है। इसलिए,

कुल ऊष्मा अंतरण = केवल इस स्थिति में चालन द्वारा ऊष्मा स्थानांतरण।

∴ ऊष्मा अंतरण = \(\frac{{Total\;temperature\;difference}}{{Total\;resistance}}\)  = \(\frac{{{T_1} - \;{T_2}}}{{\frac{t}{{kA}}}}\)

जहाँ T1 और T2 दीवार के किनारों पर तापमान हैं, K = ऊष्मा चालकता, A = दीवार का क्षेत्रफल।

गणना:

दिया गया है:

लंबाई, L = 5 m, चौड़ाई, b = 10 m, मोटाई, t= 0.25 m, ऊष्मा चालकता, K = 1 W/mK, T1 = 25° C, T2 = 15° C, समय = 10 hours, लागत बिजली = Rs 10/KWh।

उष्मा ह्रास, Q = \(\frac{{25 - 15}}{{\frac{{0.25}}{{1\; × 5\; × 10}}}}\) = 2000 W = 2 KW

बिजली की लागत = उष्मा ह्रास × समय × बिजली की लागत = 2 × 10 × 10 = 200

तो, बिजली की लागत रुपये में 200 है।

संकल्पना:

एक आयाम में किसी ऊष्मा उत्पादन के बिना एक स्लैब में अस्थिर ऊष्मा चालन के लिए सामान्य समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}} = \frac{1}{α }\times \frac{{\partial T}}{{\partial \tau }}\)

गणना:

दिया गया है:

T = 4 -10x + 20x2 + 10x3, α = 2 × 10-3 m2/hr

\( \frac{{\partial T}}{{\partial x }}= -10 +40x+30x^2\)

\(\frac {\partial^2T}{\partial x^2} = 40 + 60x\)

अब दीवार के दूसरे मुख पर x = 1,

 \(\frac {\partial^2T}{\partial x^2} = 100\)

हमारे पास हैं,

\(\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}} = \frac{1}{α }\times \frac{{\partial T}}{{\partial \tau }}\)

\( \frac{{\partial T}}{{\partial \tau }}=α\times( \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}}) =100 × 2 × 10^{-3} = 0.2 °C/hr \)

दीवार के दूसरे मुख पर तापमान के परिवर्तन की दर 0.2°C/hr है।

स्पष्टीकरण:

ऊष्मा प्रवाह की विद्युत प्रवाह के साथ समरुपता होती है।

ओम का नियम कहता है कि एक तार के माध्यम से प्रवाहित होने वाली धारा ‘I’ विद्युत प्रतिरोध Re द्वारा विभाजित वोल्टेज विभव (E1 – E2) के बराबर होता है।

\(I = \frac{{{E_1} - {E_2}}}{{{R_e}}}\)

चूंकि चालन में तापमान अंतर और ऊष्मा फ्लक्स क्रमशः विभवांतर और विद्युत धारा के समान होते हैं, इसलिए दीवार के माध्यम से ऊष्मा चालन की दर को निम्नानुसार लिखा जा सकता है

\(Q = \frac{{{T_1} - {T_2}}}{{x/kA}} = \frac{{{T_1} - {T_2}}}{{{R_{th}}}}\)

 Rth = \(\frac{x}{kA}\) दीवार द्वारा प्रस्तुत ऊष्मा प्रवाह से चालकीय तापीय प्रतिरोध है। 

जहाँ , x = दीवार की मोटाई, k = तापीय चालकता, A = दीवार का क्षेत्रफल

 Important Points

Explanation:

The temperature distribution for various types of geometry with constant thermal conductivity and no internal heat generation is given in the table below:

संकल्पना

तापीय प्रतिरोध:

• तापीय प्रतिरोध को सामग्री के दो फलकों के बीच तापमान अंतर और प्रति इकाई क्षेत्रफल में प्रवाह की दर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

\({\bf{i}}.{\bf{e}}.\;{{\bf{R}}_{{\bf{thermal}}}} = \frac{{{\bf{\Delta T}}}}{{\bf{Q}}}\)

• इसकी इकाई K/W है 
• समग्र परत की समस्याओं को हल करने के लिए तापीय प्रतिरोध की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

एक ठोस प्लेट के लिए, तापीय प्रतिरोध इस प्रकार है:

\({{\bf{R}}_{{\bf{thermal}}}} = \frac{{\bf{L}}}{{{\bf{kA}}}} \)

श्रृंखला में जुड़े प्लेट की संख्या के लिए,

RTotal = R1 + R2 + R3

\( {R_{Total}} = \frac{{{l_1}}}{{{A_1}{k_1}}} + \frac{{{l_2}}}{{{A_2}{k_2}}} + \frac{{{l_3}}}{{{A_3}{k_3}}}\)

गणना:

दिया गया है:

l1 = 200 mm = 0.2 m,  l2 = 10 mm = 0.01 m,  l3 = 150 mm = 0.15 m

k1 = 4.5 kcal/m-hr-°C,  k2 = 15 kcal/m-hr-°C,  k3 = 1.75 kcal/m-hr-°C

A1 = A2 = A3 = 1 m2 

RTotal = R1 + R2 + R3

\( {R_{Total}} = \frac{{{l_1}}}{{{A_1}{k_1}}} + \frac{{{l_2}}}{{{A_2}{k_2}}} + \frac{{{l_3}}}{{{A_3}{k_3}}}\)

\( {R_{Total}} = \frac{{0.2}}{{4.5}} + \frac{{0.01}}{{15}} + \frac{{0.15}}{{1.75}}\)

RTotal = 0.13 °C-hr/kcal

संकल्पना:

ऊष्मा के फूरियर के ऊष्मा चालन के नियम के अनुसार, एक सजातीय ठोस के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर Q सीधे ऊष्मा प्रवाह की दिशा में समकोण पर खंड के क्षेत्र A और ऊष्मा प्रवाह के पाथ के अनुदिश तापमान अंतराल dT के आनुपातिक होती है।

\(Q = \frac{{kAdT}}{{dx}}\)

जहां k तापीय चालकता है जो निकाय की सामग्री पर निर्भर करता है।

फूरियर समीकरण की धारणाएं:

• स्थिर-अवस्था का ऊष्मा चालन
• एक दिशात्मक ऊष्मा प्रवाह
• परिसीमा सतहों के लक्षण समतापी हैं जो स्थिर हैं और दो पृष्ठों पर एकसमान तापमानों को बनाए रखा जाता है
• समदैशिक और सजातीय सामग्री और तापीय चालकता 'k' स्थिर है
• स्थिर तापमान प्रवणता और रैखिक तापमान रूपरेखा
• कोई आंतरिक ऊष्मा का उत्पादन नहीं होता है 

स्पष्टीकरण:

समग्र ऊष्मा अंतरण गुणांक (U): यह वह प्राचल (parameter) है जो एक इकाई में ऊष्मा अंतरण गुणांक की सभी विधियों को शामिल करता है।

Q = UA (T₁ - T₂) ................ (1)

फोरियर का ऊष्मा चालन का नियम:
\(Q = \frac{kA(T_1 - T_2)}{x} = \frac{T_1 - T_2}{R_{th}}\)

जहाँ k = तापीय चालकता, A = शिला (slab) का क्षेत्रफल, x = शिला (slab) की मोटाई, T1, T2 = क्रमशः सतह 1 और 2 पर शिला (slab) का ताप

तापीय प्रतिरोध:

 \(R_{th} = \frac{T_1\ -\ T_2}{Q} = \frac{x}{kA}\)

समग्र स्लैब के माध्यम से ऊष्मा चालन

समग्र स्लैब का कुल तापीय प्रतिरोध

 \(R_{th} = \frac{x_1}{k_1A} +\ \frac{x_2}{k_2A}\ +\ \frac{x_3}{k_3A}\)

समग्र दीवार के माध्यम से चालन

 \(Q = \frac{(T_1 - T_2)}{ \frac{x_1}{k_1A} +\ \frac{x_2}{k_2A}\ +\ \frac{x_3}{k_3A}}\). ...............(2)

समीकरण 1 और 2 की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

\( \frac{1}{U} = { \frac{x_1}{k_1} +\ \frac{x_2}{k_2}\ +\ \frac{x_3}{k_3}}\)

संकल्पना:

फॉरियर के ऊष्मा चालन नियम से\(Q = \; - kA\frac{{dT}}{{dx}}\)

k = तापीय चालकता (W/m-k), A = अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल (m²), dT प्लेट के दो छोर के बीच तापमान अंतर है और dx प्लेट की मोटाई है। 

गणना:

दिया गया है, k = 0.5 W/mK, लम्बाई = 4 m ऊंचाई = 3 m, dx = 0.2 m, T₁ = 150°C और T₂ = 90°C,

A = 3m × 4 m = 12 m²

dT = 90 -150 = -60°C 

\(Q = - kA\frac{{dT}}{{dx}} =- 0.5 × 12 × \frac{{\left( { - 60} \right)}}{{0.2}} = 1800\;W\)

Concept:

Rate of heat transfer through a slab is given by:

\(\dot Q = \frac{{{\rm{\Delta T}}}}{{\sum \frac{{\rm{L}}}{{{\rm{K}} \times {\rm{A}}}}}}\)

where L = thickness of the wall, k = thermal conductivity, A = surface area of the wall

Calculation:

Given:

आंतरिक दीवार का तापमान = 1840°C, Outer wall temperature = 340°C, K₁ = 0.6 W/m°C, K₂ = 0.4 W/m.°C, K₃ = 0.1 W/m.°C, A = 1 m²

Δ T = 1840 – 340 = 1500°C  

The rate of heat transfer through this wall is

\(\dot Q = \frac{{{\rm{\Delta T}}}}{{\sum \frac{{\rm{L}}}{{{\rm{K}} \times {\rm{A}}}}}}\)

\(\dot Q = \frac{{1500}}{{\frac{{0.3}}{{0.6}} + \frac{{0.2}}{{0.4}} + \frac{{0.1}}{{0.1}}}} = \frac{{1500}}{{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1}} = 750\;W = 0.75\;kW\)