Gravitational potential energy MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Gravitational potential energy - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए:

v² = 0 + 2g(S - x)

⇒ v² = 2g(S - x)

उस बिंदु पर, स्थितिज ऊर्जा (U) = mgx

गतिज ऊर्जा (K) = (1/2)mv²

दिया गया है: mgx = (1/3) x (1/2)mv² ⇒ mgx = (1/3) x g(S - x)

⇒ gx = (1/3) x g(S - x)

⇒ 3gx = g(S - x)

⇒ x = S / 4

अब, v = √[2g(S - x)] = √[2g(S - S/4)] = √[2g(3S/4)] = √[(3gS) / 2]

अंतिम उत्तर: विकल्प 4) S/4 , √(3gS / 2)

परिकलन:

(A) G = F r² / m²

[G] = (M L T⁻²) L² / M² = M⁻¹ L³ T⁻² ⇒ (IV)

(B) स्थितिज ऊर्जा = m g h = M L T⁻² L = M L² T⁻² ⇒ (III)

(C) गुरुत्वीय विभव = G M / r

= (M⁻¹ L³ T⁻²) M / L = L² T⁻² ⇒ (II)

(D) गुरुत्वीय त्वरण = g = L T⁻² ⇒ (I)

सही उत्तर: A-IV, B-III, C-II, D-I

प्रयुक्त अवधारणा:

पृथ्वी की सतह से ऊपर एक पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा (U) इस प्रकार दी जाती है:

U = m x g x h

m: पिंड का द्रव्यमान

g: गुरुत्वीय त्वरण

h: पृथ्वी की सतह से ऊँचाई

गणना:

मान लीजिए ऊँचाइयाँ h₁ और h₂ हैं।

दिया गया है: h₁ : h₂ = 2 : 1

स्थितिज ऊर्जा के सूत्र से:

U₁ = m x g x h₁

U₂ = m x g x h₂

स्थितिज ऊर्जाओं का अनुपात लेने पर:

U₁ / U₂ = (m x g x h₁) / (m x g x h₂)

⇒ U₁ / U₂ = h₁ / h₂

⇒ U₁ / U₂ = 2 / 1

⇒ U₁ : U₂ = 2 : 1

इसलिए, उनकी स्थितिज ऊर्जा का अनुपात 2:1 है।

संप्रत्यय:

गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन:

जब \(m\) द्रव्यमान के एक पिंड को पृथ्वी की सतह से \(nR\) ऊँचाई तक उठाया जाता है, तो गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन की गणना गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।

पृथ्वी के केंद्र से r दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा का सूत्र निम्न द्वारा दिया जाता है:

\( U = -\frac{GMm}{r} \)

जहाँ:

\( G \)  सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है।

\( M \)  पृथ्वी का द्रव्यमान है।

\( m \)  पिंड का द्रव्यमान है।

\( r \)  पृथ्वी के केंद्र से दूरी है।

गणना:

दिया गया है,

पृथ्वी की सतह से ऊँचाई, \( h = nR \)

पृथ्वी की सतह पर प्रारंभिक गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा, \( U_i = -\frac{GMm}{R} \)

nR ऊँचाई पर अंतिम गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा, \( U_f = -\frac{GMm}{R + nR} = -\frac{GMm}{R(1 + n)} \)

गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन, \( \Delta U = U_f - U_i \)

⇒ \( \Delta U = -\frac{GMm}{R(1 + n)} - (-\frac{GMm}{R}) \)

⇒ \( \Delta U = -\frac{GMm}{R(1 + n)} + \frac{GMm}{R} \)

⇒ \( \Delta U = \frac{GMm}{R} \left(1 - \frac{1}{1 + n}\right) \)

⇒ \( \Delta U = \frac{GMm}{R} \left(\frac{(1 + n) - 1}{1 + n}\right) \)

⇒ \( \Delta U = \frac{GMm}{R} \left(\frac{n}{1 + n}\right) \)

संबंध GM=gR2" id="MathJax-Element-29-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">GM=gR2GM=gR2 $GM = gR^2$ का उपयोग करने पर,

⇒ \( \Delta U = \frac{mgR^2}{R} \left(\frac{n}{1 + n}\right) \)

⇒ \( \Delta U = mgR \left(\frac{n}{1 + n}\right) \)

∴ जब m द्रव्यमान के एक पिंड को पृथ्वी की सतह से nR ऊँचाई तक उठाया जाता है, तो गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन [nn+1]" id="MathJax-Element-30-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">[nn+1][nn+1] $\left[\frac{n}{n+1}\right]$ mgR होगा।

अवधारणा:

इस प्रश्न में, हमें एकसमान घनत्व वाले दो ठोस गोलाकार पिंड दिए गए हैं, जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान M और त्रिज्या R है। पहले गोले के लिए, सतह से केंद्र तक एक सुरंग बनाई गई है, जबकि दूसरे गोले के लिए, R/4 त्रिज्या का एक गोलाकार गुहा बनाई गई है। द्रव्यमान m के समान कणों को गुहाओं में गिराया जाता है, और इन कणों द्वारा अनुभव किए गए बलों की गणना की जाती है।

गोलाकार पिंड के अंदर गुरुत्वाकर्षण बल की गणना गोले के विभिन्न क्षेत्रों (अंदर और बाहर) के लिए गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र समीकरणों का उपयोग करके की जा सकती है। एकसमान गोले के अंदर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र E केंद्र से दूरी के साथ रैखिक रूप से बदलता है और बल इस क्षेत्र के अनुक्रमानुपाती होता है। कणों पर बल गोले के अंदर बनाए गए गुहा या सुरंग की ज्यामिति पर निर्भर करते हैं।

गणना:

• (गोला-1):
  • पहले क्षुद्रग्रह के लिए, गोले के अंदर क्षेत्र E इस प्रकार दिया गया है:
  • E = GM / R³ x
  • यहाँ, x गोले के केंद्र से दूरी का प्रतिनिधित्व करता है।
  • T₁= 2π/4 √ (R³/GM)
• (गोला-2):
  • R/4 त्रिज्या के गोलाकार गुहा वाले दूसरे गोले के लिए, क्षेत्र E_II है:
  • E_II = GM / R³ x (R / 4)
  • F₁/ F₂ का अनुपात = 4x/R
• गोलाकार गुहा की त्रिज्या गोले की त्रिज्या का एक-चौथाई है, इसलिए कण पर कार्यरत गुरुत्वाकर्षण बल के लिए प्रभावी त्रिज्या तदनुसार समायोजित की जाती है:

• R = (1/2) × GM/R3 × (R/4)× T2II

• ⇒ TII = 2 × √(2R³ / GM)

• ⇒ T1/T2 का अनुपात π/(4√2) के बराबर है। 

अवधारणा:

• एक बल कार्य तब होता है जब एक निकाय बल की दिशा मे कुछ दूरी पर विस्थापित हो जाए।
• चूँकि F की दिशा में निकाय को विस्थापित किया जा रहा है, इसलिए निकाय द्वारा विस्थापित करने वाले बल द्वारा दूरी s पर कार्य करता है।

\(W = \vec F \cdot \vec s\)

अथवा W = Fs cos θ

•  इस प्रकार एक बल द्वारा किया गया कार्य बल और निकाय के विस्थापन के अदिश या बिन्दु गुणनफल के बराबर होता है।

व्याख्या:

• वेग और गुरुत्वाकर्षण बल की दिशा के बीच का कोण 90° होता है।
• गुरुत्वाकर्षण पृथ्वी के केंद्र की ओर कार्य करता है। इसलिए यदि उपग्रह पृथ्वी के केंद्र के साथ एक वृत्ताकार कक्षा में घूमता है तो किसी भी बिंदु पर किया गया कार्य शून्य होता है।
• इसलिए, जब कोई उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर 40,000 किमी की कक्षा में घूमता है, तो गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य (0j) शून्य होगा I तो विकल्प 1 सही है।

अवधारणा:

गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा:

• एक बिंदु पर निकाय की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा को गुरुत्वाकर्षण बल के खिलाफ निकाय को अनंत से उस बिंदु तक लाने में किए गए कार्य की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है ।
• पृथ्वी की सतह से ऊंचाई h पर एक निकाय की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार है-

\(⇒ U=-\frac{GMm}{r}\)

जहाँ M = पृथ्वी का द्रव्यमान, m = निकाय का द्रव्यमान, r = पृथ्वी से दूरी

• गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा की इकाई Nm है।
  गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा का आयाम [ML2T-2] है

गणना:

• प्रारंभिक गुरुत्वीय स्थितिज उर्जा है

\(⇒ U_i=-\frac{GMm}{R}\)     ------- (1)

• अंतिम गुरुत्वीय स्थितिज उर्जा है

\(⇒ U_f=-\frac{GMm}{2R}\)     ------- (2)

• स्थितिज ऊर्जा वृद्धि होगी

⇒ ΔU = U_f - U_i

\(\Rightarrow \Delta U=(-\frac{GMm}{2R})-(-\frac{GMm}{R})=\frac{GMm}{2R}\)

जैसा कि हम जानते हैं-

\(\Rightarrow g = \frac{GM}{R^2}\)

\(\Rightarrow \Delta U=\frac{1}{2}mgR\)

अवधारणा :

• गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा: किसी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में उसकी स्थिति के कारण किसी वस्तु की ऊर्जा है।

\(U=-\frac{Gm_1m_2}{r} \)

जहाँ U स्थितिज ऊर्जा है, m₁ पहली वस्तु का द्रव्यमान है, m₂ दूसरी वस्तु का द्रव्यमान है, r पृथ्वी और वस्तु के बीच की दूरी है, और G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है।

• अनंत पर स्थितिज ऊर्जा (r = ∞) शून्य (U = 0) है।

व्याख्या:

गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा को निम्न द्वारा दिया जाता है

\(U=-\frac{Gm_1m_2}{r} \)

यदि वस्तुओं के बीच की दूरी r बढ़ती है तो \(\frac{1}{r} \) घट जाएगा।

यदि \(\frac{1}{r} \) घटता है तो \(\frac{Gm_1m_2}{r} \) भी घट जाएगा।

अगर \(\frac{Gm_1m_2}{r} \) घटता है तो \(U=-\frac{Gm_1m_2}{r} \) -ve चिन्ह के कारण बढ़ेगा।

• इसलिए जैसे-जैसे दो वस्तुओं के बीच की दूरी बढ़ती जाएगी उनकी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज बढ़ेगी।
• इसलिए सही उत्तर विकल्प 1 है।

सही उत्तर पृथ्वी के केंद्र में है।

Key Points 

• पृथ्वी एक उपयुक्त वृत्त नहीं होता है। भूमध्य रेखा पर इसकी त्रिज्या ध्रुवों से अधिक होती है। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण इसकी त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
• अत: ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण सबसे अधिक होता है।
• अत: संबंध W = mg से यह स्पष्ट है कि ध्रुवों पर भार सबसे अधिक होता है।
• हम जानते हैं कि पिंड का भार गुरुत्वाकर्षण के कारण द्रव्यमान और त्वरण का गुणनफल है और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण अक्षांश के साथ बढ़ता है।
• अब अक्षांश भूमध्य रेखा पर न्यूनतम और ध्रुवों पर अधिकतम होता है इसलिए, गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण और इसलिए भार ध्रुवों पर अधिकतम और भूमध्य रेखा पर न्यूनतम होता है।
• गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण g पृथ्वी की सतह पर थोड़ा भिन्न होता है, इसलिए किसी वस्तु का भार उसके स्थान पर निर्भर करता है और वस्तु का आंतरिक गुण नहीं होता है।
• जब किसी वस्तु को पृथ्वी के केंद्र में रखा जाता है तो उसका भार न्यूनतम होता है क्योंकि जब कोई वस्तु केंद्र में होती है, तो वह सभी दिशाओं से गुरुत्वाकर्षण खिंचाव का अनुभव करती है और पृथ्वी पर किसी वस्तु का भार ध्रुवों पर अधिकतम होता है। अत: विकल्प 3 सही है।

Additional Information 

अवधारणा:

• गुरुत्वाकर्षण विभव: गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के अंदर किसी भी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण विभव अनंत दूरी से इसके केंद्र से एक निश्चित दूरी r तक एक इकाई द्रव्यमान लाने में किए गए कार्य के बराबर है।

इस प्रकार, इसे व्यक्त किया जा सकता है

\(V = - \frac{{GM}}{r}\)

यहां V गुरुत्वाकर्षण विभव है, G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, M ग्रह का द्रव्यमान है और r द्रव्यमान M और अनंत से लाए गए अन्य निकाय के बीच की दूरी है।

व्याख्या:

• खोखले गोले के अंदर, विभव गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में सतह के हर बिंदु पर समान रूप से वितरित है। तो किसी भी बिंदु पर, विभव शून्य होगा।
• इस प्रकार केंद्र पर भी विभव शून्य हो जाएगा, यह भी शून्य है क्योंकि केंद्र में बल सभी दिशाओं में बराबर है इसलिए वे एक दूसरे को रद्द कर देंगे।

इसलिए विकल्प 3 सही है।

सही उत्तर विकल्प 1) है अर्थात् 1 : r

संकल्पना:

• सार्वभौमिक गुरुत्वीय नियम: यह कहता है कि सभी वस्तुएं एक-दूसरे को एक बल से आकर्षित करती हैं जो दो वस्तुओं के द्रव्यमान के समानुपाती होती हैं और उनके केंद्रों को पृथक करने वाली दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती हैं।

गणितीय रुप से इसे निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(F = \frac{Gm_1m_2}{R^2}\)

जहाँ m1 और m2 दो वस्तुओं के द्रव्यमान हैं, G गुरुत्वीय स्थिरांक है और R उनके केन्द्रों के बीच की दूरी है।

• गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा: यह एक निश्चित बिंदु पर निकाय द्वारा धारण की जाने वाली ऊर्जा है जब वस्तु को अनंत से उस बिंदु तक लाने में गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा कार्य किया जाता है।

द्रव्यमान M के कारण गुरुत्वाकर्षण से दूरी r पर द्रव्यमान m की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा निम्नानुसार है:

U = \(-\frac{GMm}{r}\)

जहाँ G गुरुत्वीय स्थिरांक है।

गणना:

m₁ और m₂ के बीच गुरुत्वीय बल, \(F = \frac{Gm_1m_2}{r^2}\)

 दूरी r पर द्रव्यमान m1 की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा  , U = 

परिमाणों का अनुपात = \(\frac{F}{U}\) = \(\frac{\frac{Gm_1m_2}{r^2}}{\frac{Gm_1m_2}{r}}\) = \(\frac{1}{r}\)

अवधारणा:

• दूरी R में दो द्रव्यमान M और m के बीच स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार होगी-

\(U=- {GMm \over R}\)

जहां M और m द्रव्यमान है, R द्रव्यमानों के बीच दूरी है और G  गुरुत्वाकर्षण नियतांक है

• एक संरक्षी बल द्वारा निकाय पर किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है।

अनंत पर R = ∞ इसलिए U = 0

गणना :

दिया गया है

m = 1 Kg

• एक संरक्षी बल द्वारा एक निकाय पर किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है ।

\(W=[0-(- {GMm \over R})]={GMm \over R}\)

चूंकि m = 1 Kg

इस प्रकार \(W={GMm \over R} ={GM \over R} \)

तो सही उत्तर विकल्प 2 है।

अवधारणा:

• गुरुत्वाकर्षणस्थितिज ऊर्जा: किसी अन्य वस्तु के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के संबंध में उसकी स्थिति के कारण किसी वस्तु की ऊर्जा है।

\(U=-\frac{GMm}{r} \)

जहां U स्थितिज ऊर्जा है, M पृथ्वी का द्रव्यमान है, m एक वस्तु का द्रव्यमान है, r पृथ्वी और वस्तु के बीच की दूरी है, और G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है।

• अनंत पर स्थितिज ऊर्जा (r = ∞) शून्य (U = 0) है।

व्याख्या:

• अनंत से द्रव्यमान लाने में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र द्वारा कार्य (+ ve) किया जाता है और

स्थितिज ऊर्जा = - किया गया कार्य

इसलिए पृथ्वी की सतह पर स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक है

• दूसरे शब्दों में, यदि निकाय कोपृथ्वीके गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से दूर ले जाना पड़े। तो निकाय पर कार्य करना पड़ता है
• यदि कार्यनिकाय पर नहीं है तो इसे दूर करने के लिए यह प्रणाली के लिए बाध्य होगा।
• तो, ऋणात्मक ऊर्जा का मतलब है कि निकाय किसी प्रणाली से बंधा हुआ है , और बंधन (या प्रणाली) से बाहर आने के लिए कुछ ऊर्जा की आवश्यकता होती है।

उदाहरण:

• मान लीजिए आप कुएं में गिरते हैं। तब आपके पास पृथ्वी के संबंध में ऋणात्मक ऊर्जा होती है। और आप कुएं से बंधे हुए हैं और कुएं से बाहर आने के लिए कुछ ऊर्जा की आवश्यकता होती है।
• उसी तरह जब आप पृथ्वी से चिपके रहते हैं और उससे निकलने के लिए रॉकेट (ईंधन से ऊर्जा) की आवश्यकता होती है, तो इसका मतलब है कि आपके पास ऋणात्मक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा है।
• इसलिए सही उत्तर विकल्प 1 है।

अवधारणा:

किसी भी बिंदु पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा को द्रव्यमान m के निकाय को अनंत दूरी से उसके वर्तमान स्थान पर लाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

इसलिए कुछ दूरी r पर द्रव्यमान M और m की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा इस रूप में व्यक्त की जा सकती है-

\(U = - \frac{{GMm}}{r}\)

यहाँ r = R + h, यदि उपग्रह सतह और R से कुछ ऊँचाई पर है, तो ग्रह की त्रिज्या है

इसलिए ग्रह की सतह पर कुछ दूरी R पर द्रव्यमान M और m की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा है

\(U = - \frac{{GMm}}{R}\)

यहाँ,

r = ग्रह के केंद्र से उपग्रह के बीच की दूरी

h = ग्रह के केंद्र से उपग्रह के बीच की दूरी

M = ग्रह का द्रव्यमान

m = उपग्रह का द्रव्यमान

G = गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक

व्याख्या:

उपरोक्त स्पष्टीकरण से हम देख सकते हैं कि पृथ्वी के केंद्र (r) से कुछ ऊँचाई पर गुरुत्वाकर्षण विभव को इसप्रकार व्यक्त किया जा सकता है

\(U = - \frac{{GMm}}{r}\)

इसलिए विकल्प 4 सभी के बीच सही है

सही उत्तर विकल्प 4) है अर्थात उपरोक्त सभी

अवधारणा:

• गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण: यह एक निश्चित बिंदु पर किसी पिंड के पास मौजूद ऊर्जा है जब वस्तु को अनंत से उस बिंदु तक लाने में गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा कार्य किया जाता है।
  • r  दूरी पर रखे गए दो द्रव्यमान m₁ और m₂ के बीच गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा निम्न द्वारा दी गई है:

\(U = -\frac{Gm_1m_2}{r}\)

व्याख्या:

हम जानते है कि, \(U = -\frac{Gm_1m_2}{r}\) है। स्पष्ट रूप से, यह परस्पर क्रिया करने वाली वस्तुओं के द्रव्यमान पर निर्भर है।

• गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु के पास गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में उसकी स्थिति के कारण होती है। इसलिए, यह गुरुत्वाकर्षण बल से प्रभावित होता है और इस प्रकार, यह गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण पर भी निर्भर करती है।
• जब कोई वस्तु पृथ्वी की सतह से एक निश्चित ऊंचाई पर होती है, तो उसमें स्थितिज ऊर्जा होती है। चूँकि वस्तु को गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध कार्य करके ऊँचाई पर रखा जाता है, इसलिए इसे गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा कहते हैं।
• इस प्रकार, किसी वस्तु की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा उपरोक्त सभी मापदंडों के कारण होती है।