Geometric Progressions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Geometric Progressions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

समांतर श्रेढ़ी (AP):

• यदि क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर हो तो पद AP में होते हैं।
• सार्व अंतर इस प्रकार दिया जाता है:

गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP):

• यदि क्रमागत पदों के बीच का अनुपात स्थिर हो तो पद GP में होते हैं।
• सार्व अनुपात इस प्रकार दिया जाता है:

गणना:

दिया गया है

p = ln(x),

q = ln(x3) = 3 lnx

और r = ln(x5) = 5 lnx

स्पष्ट रूप से, q - p = r - q =

⇒ p, q, r समांतर श्रेढ़ी में हैं। 

साथ ही,

∴ p, q, r कभी भी गुणोत्तर श्रेढ़ी में नहीं हो सकते है। 

∴ विकल्प (c) सही है।

दिया गया है:

गुणोत्तर श्रेणी (GP) के पहले तीन पदों का योग और गुणनफल क्रमशः 78 और 5832 है।

प्रयुक्त संकल्पना:

गुणोत्तर श्रेणी के पहले तीन पद a, ar, ar²......

गणना:

माना कि अवरोही गुणोत्तर श्रेणी निम्न है

ar², ar, a, a/r .....

प्रश्न के अनुसार,

a × ar × ar² = 5832

a³r³ = 5832

ar = 18      -----(1)

ar + a + ar² = 78

⇒ 18 + a + 18r = 78

⇒ a + 18r = 78 - 18 = 60

समीकरण (1) से, a = 18/r

⇒ 18/r + 18r = 60    

⇒ 3/r + 3r = 10

⇒ 3r² - 10r + 3 = 0 

⇒ 3r² - 9r - r + 3 = 0 

⇒ 3r(r - 3) - 1(r - 3) = 0

⇒ (r - 3)(3r - 1) = 0

⇒ r = 3, 1/3

समीकरण (1) से,

यदि r = 3 तब a = 6 

इसलिए, चौथा पद

a/r = 6/3 = 2

∴ अभीष्ट उत्तर 2 है। 

Additional Informationयदि r = 1/3 तब a = 54   

a/r = 54/1/3 = 162

जो कि किसी भी विकल्प में नहीं दिया गया है।

गणना

a₁ .a₅ = 28 ⇒ a.ar⁴ = 28 ⇒ a² r⁴ = 28 …(1)

a₂ + a₄ = 29 ⇒ ar + ar³ = 29

⇒ ar(1 + r²) = 29

a² r² (1 + r²)² = (29)² …(2)

समीकरण (1) और (2) से

⇒

∵ a² r⁴ = 28 ⇒ a² x (28)² = 28

⇒

इसलिए, 

अतः विकल्प 3 सही है। 

गणना:

⇒

यह अब एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसका प्रथम पद और सार्व अनुपात है।

एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग द्वारा दिया जाता है, बशर्ते .

योग = 1 +

योग

∴ श्रेणी का योग है।

अतः विकल्प 1 सही है। 

संकल्पना:

ज्यामितीय श्रेणी में पांच पद:

यदि एक ज्यामितीय श्रेणी में पहला पद a है और सार्व अनुपात r है, तो ज्यामितीय श्रेणी में पांच क्रमागत पद रूप  के हैं।

गणना:

माना कि हम सार्व अनुपात r वाली एक सामान्य ज्यामितीय श्रेणी लेते हैं। 

माना कि ज्यामितीय श्रेणी में पांच पद  हैं। 

यह दिया गया है कि तीसरा पद 9 है। 

इसलिए, a = 9.

अब पांच पदों का गुणनफल निम्न दिया गया है:

लेकिन हम जानते हैं कि a = 9

अतः गुणनफल  है। 

संकल्पना:

माना कि अनुक्रम a1, a2, a3 …. an एक गुणोत्तर श्रेढी है। 

• सार्व-अनुपात = r = 
• गुणोत्तर श्रेढी का nवाँ पद an = arn−1 है। 
• गुणोत्तर श्रेढी के n पदों का योगफल = sn = ; जहाँ r >1
• गुणोत्तर श्रेढी के n पदों का योगफल = sn = ; जहाँ r
• अनंत गुणोत्तर श्रेढी का योगफल =  ; |r|

गणना:

दी गयी शृंखला 5, 10, 20, ... है।  

यहाँ, a = 5, r = 2

n संख्याओं का योगफल = sn = 1275

ज्ञात करना है: चूँकि हम जानते हैं कि, गुणोत्तर श्रेढी के n पदों का योगफल = sn = ; जहाँ r >1

∴ sn = 

1275 = 5 × (2n - 1)

⇒ 255 = (2n - 1)

⇒ 2n = 256

⇒ 2n = 28

∴ n = 8

अवधारणा :

यदि a, b और c गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो b² = ac

गणना:

दिया गया है: संख्याएँ - 2/7, x, - 7/2 गुणोत्तर श्रेणी में हैं

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि a, b और c गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो b2 = ac

यहाँ, a = - 2/7, b = x और c = - 7/2

⇒ x2 = (-2/7) × (-7/2) = 1

⇒ x = ± 1

अत: सही विकल्प 3 है।

संकल्पना:

माना कि अनुक्रम a1, a2, a3 …. an ज्यामितीय श्रेणी है। 

• सार्व अनुपात = r = 
• ज्यामितीय श्रेणी का nवां पद an = arn−1 है। 

Sin18o =   

गणना:

हम जानते हैं कि यदि ज्यामितीय श्रेणी का पहला पद 'a' और सार्व अनुपात 'r' है, तो इस स्थिति में ज्यामितीय श्रेणी = a, ar, ar²............ 

चूँकि हमें दिया गया हैं a = ar + ar² 

अब, 1= r + r² 

⇒ r² + r - 1 = 0 

हल करने के बाद हमें r =    = 2 × = 2 Sin18° प्राप्त होता है। 

संकल्पना:

ज्यामितीय श्रेणी (GP):

• संख्याओं की वह श्रृंखला जहाँ किसी दो क्रमागत पदों का अनुपात समान होता है, उसे ज्यामितीय श्रेणी कहा जाता है।
• पहला पद a और सार्व अनुपात r के साथ n पदों की ज्यामितीय श्रेणी को निम्न रूप में दर्शाया गया है:

  a, ar, ar2, ar3, ..., arn-2, arn-1।

• GP के पहले n पदों का योग है: S _n = ।
• GP के ∞ का योग, जब |r| ∞ = ।

गणना:

हम अनंत श्रृंखला  पर विचार करते हैं।

यहां, a = और r = ।

∴ S∞ = ।

अब, P = ।

∴ P = ।

अवधारणा:

माना कि अनुक्रम a1, a2, a3 …. an G.P. है

• n पद का योग = s = ; जहाँ r >1
• n पद का योग = s = ; जहाँ r

गणना:

पूर्वजों की आवयश्क संख्या

= 2 + 4 + 6 + 8 + ... 8 पदों तक

जैसा कि हम जानते हैं कि G.P. का योग,

S =

जहां, a = 2, r = 2 और n = 8

⇒ पूर्वजों की आवश्यक संख्या = = = 510

∴ पूर्वजों की आवश्यक संख्या 510 है।

सही विकल्प 4 है।

संकल्पना:

आइए अनुक्रम a1, a2, a3 …. an पर विचार करें, जो कि G.P. है

सार्व अनुपात = r = = =

गणना​:

विचार करना,

(a = 3) G.P श्रृंखला का तीसरा पद हो

तो, हम पाँच शब्दों को इस प्रकार लिख सकते हैं,

, ,a, ar, ar2

तो, पाँच पदों (P) का गुणनफल होगा,

P = ×  × a × ar × ar2 = a5

तब से,

a = 3,

∴ पहले पाँच पदों का गुणनफल (P) = 35 = 243

अवधारणा:

ज्यामितीय श्रेणी (GP): संख्याओं की वह श्रृंखला जहाँ किन्हीं दो क्रमागत पदों का अनुपात समान हो, ज्यामितीय श्रेणी कहलाती है।

• प्रथम पद a और सार्व अनुपात r के साथ n पदों की एक ज्यामितीय श्रेणी को इस प्रकार दर्शाया गया है:

  a, ar, ar2, ar3, ..., arn-2, arn-1

• ज्यामितीय श्रेणी के पहले n पदों का योग है:

  Sn =  if r > 1  या Sn =  if r

गणना:

दी गई ज्यामितीय श्रेणी 1 + 3 + 32 + ... के लिए हमारे पास a = 1 और r = 3 हैं।

माना प्रथम n पदों का योग 3280 के बराबर है।

∴ Sn = = 3280

⇒  = 3280

⇒ 3n - 1 = 3280 × 2

⇒ 3n - 1 = 6560

⇒ 3n = 6561 = 38

⇒ n = 8.

संकल्पना:

माना कि अनुक्रम a1, a2, a3 …. an एक ज्यामितीय श्रेणी है। 

• सार्व अनुपात = r = 
• ज्यामितीय श्रेणी का nवां पद an = arn−1 है। 
• ज्यामितीय श्रेणी के n पदों का योग = sn = ; जहाँ r >1
• ज्यामितीय श्रेणी के n पदों का योग = sn = ; जहाँ r
• अनंत ज्यामितीय श्रेणी का योग =  ; |r|

गणना:

दी गयी श्रृंखला 4, 8, 16, ... है।

यहाँ, a = 4, r = 2

n संख्याओं का योग = s_n = 2044

ज्ञात करना है: चूँकि हम जानते हैं कि, ज्यामितीय श्रेणी के n पदों का योग = sn = ; जहाँ r >1

∴ sn = 

2044 = 4 × (2ⁿ - 1)

⇒ 511 = (2n - 1)

⇒ 2ⁿ = 512

⇒ 2n = 2⁹

∴ n = 9

संकल्पना:

ज्यामितीय माध्य को n संख्याओं के गुणनफल के nवें मूल के रूप में परिभाषित किया गया है। 

एक आकड़ों के समूह  का ज्यामितीय माध्य निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

गणना:

निम्न का मान ज्ञात करने के लिए: 6, 8, 16 और 27 का ज्यामितीय माध्य

यहाँ n = 4

अब,