Differential Calculus MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Differential Calculus - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

• ऐसी समस्याएँ जहाँ दो या दो से अधिक मात्राएँ समय के साथ बदलती हैं।
• सूत्र   है, जहाँ आयतन है, त्रिज्या है, और ऊँचाई है।
• दिया गया है , त्रिज्या और ऊंचाई आनुपातिक हैं, इसलिए ,  के संदर्भ में व्यक्त करें।
• समय के सापेक्ष का अवकलन करके यह ज्ञात करें कि आयतन बढ़ने पर ऊँचाई कितनी तेजी से बदलती है।

गणना:

दिया गया है,

ऊँचाई और त्रिज्या का संबंध: अतः

शंकु का आयतन:

⇒ प्रतिस्थापित करने पर  :

⇒

⇒

दोनों पक्षों को के संबंध में अवकलित करने पर:

और प्रतिस्थापित करने पर:

⇒

⇒

⇒

⇒

ऊंचाई की दर से बढ़ती है।

⇒ 96πh = 2

अतः 2 सही उत्तर है।

गणना:

दिया गया,

और  

के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करत हैं:

बायाँ पक्ष :

दायाँ पक्ष (गुणन नियम):

शब्दों को एकत्र करने और उपयोग करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करते हैं

सामान्य कारक को रद्द करने के बाद, आपको प्राप्त होता है:

∴

अतः, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है,

के संबंध में अंतर्निहित रूप से अवकलन करते हैं:

एकत्रित करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

सरलीकरण के लिए प्रयोग करते हैं:

∴ , और से स्वतंत्र है।

अतः, सही उत्तर विकल्प 4 है।

संकल्पना:

माना कि हमारे पास दो फलन f(x) और g(x) है और वे दोनों अवकलनीय हैं। ​

• गुणनफल नियम:
• Division rule: 

सूत्र:

गणना:

= 

= 

= 

⇒ 

⇒

= 

संकल्पना:

एक बिंदु (a, b) पर वक्र y = f(x) की स्पर्शरेखा का समीकरण (y - b) = m(x - a) द्वारा दिया जाता है, जहाँ m = y'(b) = f'(a) [बिंदु (a, b) पर अवकलज का मूल्य]।

गणना:

y = f(x) = x3

गणना:

दिया हुआ, 

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है

⇒ f'(x) = 1 - 

= 1 + 

x = -1 रखने पर

⇒ f'(-1) = 1 +  = 1 + 1 = 2

∴ f'(-1) = 2

संकल्पना:

अवकलज का प्रयोग करके निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरण है। 

• फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए। 
• 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करेगा। 
• अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है: यदि f"(x), 0 से बड़ा है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है। 

गणना:

f(x) = x2 - x + 2

f'(x) = 2x - 1

0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

f'(x) = 2x - 1 = 0

⇒ x = 

अब, f''(x) = 2 > 0

इसलिए, हमें x =  पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है 

f() = ()² - + 2 =

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

माना कि हमारे पास दो फलन f(x) और g(x) हैं और वे दोनों अवकलनीय हैं। 

• श्रृंखला नियम:​ 
• गुणनफल नियम: 

गणना:

y = x^x

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ log y = log x^x                          (∵ log mⁿ = n log m)

⇒ log y = x log x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

x = 1 रखने पर 

                (∵ log 1 = 0)

संकल्पना:

'x' के परिवर्तन की दर को  द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दिया गया है कि, y = 2x – x² और  = 3 इकाई/सेकेंड

तो, वक्र का ढलान, = 2 - 2x = m

⇒  = 0 - 2 × 

= -2(3)

= प्रति सेकेंड -6 इकाई

इसलिए, जब x प्रति सेकेंड 3 इकाई की दर से बढ़ता है, तो वक्र का ढलान प्रति सेकेंड 6 इकाई की दर से बढ़ता है। 

अतः विकल्प (2) सही है। 

संकल्पना:

मान लीजिए कि हमारे पास दो फलन f(x) और g(x) हैं और वे दोनों अवकलनीय हैं।

• श्रृंखला नियम: 

गणना:

दिया हुआ:

y = sin x°

हम जानते हैं कि,

180° = π रेडियन

∴ 1° =  रेडियन

अब, x° =  रेडियन

⇒ y = 

x के संबंध में अवकलित करते हुए हम प्राप्त करते हैं

गणना:

दिया है: x = t² , y = t³

⇒   

पुनः x के सापेक्ष अवकलित करने पर :

⇒ 

⇒   (∵ )

∴  

सही उत्तर  है। 

संकल्पना:

अवकलजों का शृंखला नियम:

।

= e^x

गणना:

यह दिया गया है कि y = ।

∴ y =

x के संबंध में दोनों पक्षों को अवकलित करके और श्रृंखला नियम का उपयोग करना, हमें मिलता है:

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

संकल्पना:

गणना:

दिया गया है:  y = e^{log (log x)}

ज्ञात करना है: 

चूँकि हम जानते हैं कि, e^{log x} = x

∴ e^{log (log x)} = log x

अब, y = log x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है