Controllability MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Controllability - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 12, 2025
Latest Controllability MCQ Objective Questions
Controllability Question 1:
नियंत्रकता की गणना हेतु प्रयुक्त मैट्रिक्स है
Answer (Detailed Solution Below)
Controllability Question 1 Detailed Solution
Controllability Question 2:
नियंत्रणीयता और प्रेक्षणीयता के संबंध में कथनों को पढ़ें और उत्तर को सत्य और असत्य के रूप में चिह्नित करें।
- एक प्रणाली को नियंत्रणीय होने के लिए, |Qc| = 0
- प्रणाली को प्रेक्षणीय होने के लिए, |Q0| = 0
- प्रणाली को नियंत्रणीय और प्रेक्षणीय होने के लिए, |Qc|≠ 0 और |Qo|≠ 0
Answer (Detailed Solution Below)
Controllability Question 2 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प '2' है
अवधारणा:
नियंत्रणीयता:
एक प्रणाली को नियंत्रणीय कहा जाता है यदि प्रणाली स्थिति को किसी भी प्रारंभिक अवस्था x(t0) से किसी भी वांछित अवस्था x(t) में एक नियंत्रण सदिश u(t) द्वारा निर्दिष्ट परिमित समय अंतराल में स्थानांतरित करना संभव है।
नियंत्रणीयता के लिए काल्मन परीक्षण:
ẋ = Ax + Bu
Qc = {B AB A2B … An-1 B]
Qc = नियंत्रणीयता आव्यूह
यदि |Qc| = 0, प्रणाली नियंत्रणीय नहीं है
यदि |Qc|≠ 0, प्रणाली नियंत्रणीय है
प्रेक्षणीयता:
एक प्रणाली को प्रेक्षणीय कहा जाता है यदि प्रत्येक अवस्था x(t0) को एक परिमित समय अंतराल पर निर्गम y(t) के मापन द्वारा पूरी तरह से पहचाना जा सकता है।
प्रेक्षणीयता के लिए काल्मन परीक्षण:
Q0 = [CT ATCT (AT)2CT …. (AT)n-1 CT]
Q0 = प्रेक्षणीयता परीक्षण आव्यूह
यदि |Q0| = 0, प्रणाली प्रेक्षणीय नहीं है
यदि |Q0| ≠ 0, प्रणाली प्रेक्षणीय है
Controllability Question 3:
एकल इनपुट प्रणाली के लिए
ẋ = Ax + Bu
y = Cx
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - 1}&{ - 2} \end{array}} \right],\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right],\;C = \left[ {1\;1} \right]\)
उपरोक्त प्रणाली निम्न में से क्या है?Answer (Detailed Solution Below)
Controllability Question 3 Detailed Solution
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - 1}&{ - 2} \end{array}} \right],\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right],\;C = \left[ {1\;1} \right]\)
\(AB = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - 1}&{ - 2} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 2} \end{array}} \right]\)
नियंत्रणीयता आव्यूह,\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&{ - 2} \end{array}} \right]\)
|M| = -1 ≠ 0
दी गयी प्रणाली नियन्त्रणीय है।
\(CA = \left[ {1\;1} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - 1}&{ - 2} \end{array}} \right]\)
= [-1 -1]
प्रेक्षणीयता आव्यूह,\(N = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} C\\ {CA} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ { - 1}&{ - 1} \end{array}} \right] = 0\)
प्रणाली अवकलनीय नहीं है।
Controllability Question 4:
एक प्रणाली को x = Ax + Bu के रूप में अवस्था स्थान में दर्शाया गया है, जहाँ \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&10\\ {\rm{β }}&8\end{array}} \right]\) और \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right]\)। β का मान क्या है जिसके लिए प्रणाली नियंत्रणीय नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Controllability Question 4 Detailed Solution
संकल्पना:
कल्मन की नियंत्रणीयता के परीक्षण के अनुसार
नियंत्रणीयता आव्यूह,
M = [B AB A2B ----]nxn
गणना:
\( B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right]\)
\(AB = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5\\ {\rm{\alpha }}&4 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { {\rm{\alpha }}} \end{array}} \right]\)
\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 0&{ {\rm{\alpha }}} \end{array}} \right]\)
प्रणाली नियंत्रणीय नहीं है।
∴ |M| = 0
⇒ (β × 1) - (4 × 0) = 0
⇒ β = 0Controllability Question 5:
एक प्रणाली को x = Ax + Bu के रूप में अवस्था स्थान में दर्शाया गया है, जहाँ \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5\\ {\rm{\alpha }}&4\end{array}} \right]\) और \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right]\)। α का मान क्या है जिसके लिए प्रणाली नियंत्रणीय नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Controllability Question 5 Detailed Solution
कल्मन की नियंत्रणीयता के परीक्षण के अनुसार
नियंत्रणीयता आव्यूह, M = [B AB A2B ----]nxn
\( B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right]\)
\(AB = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5\\ {\rm{\alpha }}&4 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { {\rm{\alpha }}} \end{array}} \right]\)
\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 0&{ {\rm{\alpha }}} \end{array}} \right]\)
प्रणाली नियंत्रणीय नहीं है।
∴ |M| = 0
⇒ (α × 1) - (2 × 0) = 0
⇒ α = 0Top Controllability MCQ Objective Questions
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2\\ 0&2 \end{array}} \right],\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right]\)के साथ तंत्र Ẋ = AX + Bu ___________है।
Answer (Detailed Solution Below)
Controllability Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFदी गयी प्रणाली है
Ẋ = AX + Bu
जहाँ ,
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2\\ 0&2 \end{array}} \right]\:and\:B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right]\)
स्थिरता के निर्धारण के लिए हम एक विशेष समीकरण का उपयोग करते हैं (अर्थात तंत्र के ध्रुव या अभिलाक्षणिक मान )|
|sI - A| = 0
\(\left| {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} s&0\\ 0&s \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2\\ 0&2 \end{array}} \right]} \right| = 0\)
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {s + 1}&{ - 2}\\ 0&{s - 2} \end{array}} \right| = 0\)
( s + 1 )( s - 2 ) = 0
s = -1 तथा s = 2
अर्थात तंत्र का एक ध्रुव s-तल के दाहिने भाग में है |
अतः, यह तंत्र अस्थिर है |
अब,नियंत्रणीयता आव्यूह द्वारा दिया गया है:
CM = [ B AB ]
जहाँ
\(\left[ {AB} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2\\ 0&2 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 2 \end{array}} \right]\)
इसलिए,
\({C_M} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&2\\ 1&2 \end{array}} \right]\)
| CM | = -2 ≠ 0
अत,यह तंत्र नियंत्रणीय है |
एक रेखीय समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली को स्थिति चर मॉडल द्वारा वर्णित किया गया है।
\(\begin{bmatrix}{x'_1} \\ x'_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{x_1} \\ x_2 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} u\;\)
\(y(t)=\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{x_1} \\ x_2 \end{bmatrix} \;\)
Answer (Detailed Solution Below)
Controllability Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
स्थिती-स्थान प्रतिनिधित्व:
X(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
y(t) आउटपुट है
u(t) इनपुट है
x(t) एक स्थिति सदिश है
A एक प्रणाली आव्यूह है
यह प्रतिनिधित्व निरंतर समय-भिन्न है।
नियंत्रणीयता:
एक प्रणाली को नियंत्रणीय कहा जाता है यदि प्रणाली स्थिति को किसी भी प्रारंभिक अवस्था x(t0) से किसी भी वांछित अवस्था x(t) में एक नियंत्रण सदिश u(t) द्वारा निर्दिष्ट परिमित समय अंतराल में स्थानांतरित करना संभव है।
नियंत्रणीयता के लिए कलमन का परीक्षण:
X = Ax + Bu
Qc = [B AB A2B....An-1 B]
Qc = नियंत्रणीयता आव्यूह
यदि IQcl = 0, प्रणाली नियंत्रणीय नहीं है
यदि |Qcl ≠ 0, प्रणाली नियंत्रणीय है
अवलोकनीयता:
एक प्रणाली को अवलोकनीय कहा जाता है यदि प्रत्येक स्थिति x(t0) को एक सीमित समय अंतराल पर आउटपुट y(t) के मापन द्वारा पूरी तरह से पहचाना जा सकता है।
अवलोकनीयता के लिए कलमन का परीक्षण:
Qo = [CT ATCT (AT)2CT .... (AT)n-1CT]
Qo = अवलोकनीयता परीक्षण आव्यूह
यदि |Qo| = 0, प्रणाली अवलोकनीय नहीं है।
यदि |Qo| ≠ 0, प्रणाली अवलोकनीय है।
गणना:
मान लें कि
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0\\ 0&{ 2} \end{array}} \right], B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right], C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \end{array}} \right]\)
नियंत्रणीयता आव्यूह, C = [B AB]
\(C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 1&{ 2} \end{array}} \right]\)
\(\left| C \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 1&{ 2} \end{array}} \right| = 0\)
इसलिए, यह नियंत्रणीय नहीं है
अवलोकनीयता आव्यूह, \(O = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} C\\ {CA} \end{array}} \right]\)
\(O = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ { - 1}&{ 4} \end{array}} \right]\)
\(\left| O \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ { - 1}&{ 4} \end{array}} \right| = 4 - \left( { - 2} \right) = 6 \ne 0\)
इसलिए, यह प्रणाली अवलोकनीय है।
नियंत्रकता की गणना हेतु प्रयुक्त मैट्रिक्स है
Answer (Detailed Solution Below)
Controllability Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFControllability Question 9:
\(\dot{x} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&2\\ 3&2 \end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right]u\) and y = [1 0]x प्रणाली के लिए नियन्त्रणीय और अवलोकन योग्य होने की जाँच करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Controllability Question 9 Detailed Solution
संकल्पना
नियंत्रणीयता:
एक प्रणाली को नियंत्रणीय कहा जाता है यदि किसी नियंत्रण अवस्था सदिश u(t) द्वारा निर्दिष्ट परिमित समय अंतराल में किसी भी प्रारंभिक अवस्था x(t0) से किसी भी वांछित स्थिति x(t) में प्रणाली अवस्था को स्थानांतरित करना संभव है।
नियंत्रणीयता के लिए कैलमन का परीक्षण:
ẋ = Ax + Bu
Qc = {B AB A2B … An-1 B]
Qc = नियंत्रणीयता आव्यूह
यदि |Qc| = 0 तो प्रणाली नियंत्रणीय नहीं है
यदि |Qc|≠ 0 तो प्रणाली नियंत्रणीय है
अवलोकनीयता:
एक प्रणाली को अवलोकनीय कहा जाता है कि यदि प्रत्येक अवस्था x(t0) को एक निश्चित समय अंतराल पर आउटपुट y(t) के माप से पूरी तरह पहचाना जा सकता है।
अवलोकनीयता के लिए कैलमन का परीक्षण:
Q0 = [CT ATCT (AT)2CT …. (AT)n-1 CT]
Q0 = अवलोकनीयता परीक्षण आव्यूह
यदि |Q0| = 0 तो प्रणाली अवलोकनीय नहीं है
यदि |Q0| ≠ 0 तो प्रणाली अवलोकनीय है
विश्लेषण:
नियन्त्रणीय
\(AB = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&2\\ 3&2 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\0 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 3 \end{array}} \right]\)
\({Q_c} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} B&{AB} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&3 \end{array}} \right]\)
|Qc| ≠ 0
∴ प्रणाली नियन्त्रणीय है
अवलोकन करने योग्य:
\({A^T}{C^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&3\\ 2&2 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 2 \end{array}} \right]\)
\({Q_0} = \left[ {{C^T}{A^T}{C^T}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&2 \end{array}} \right]\)
|Q0| ≠ 0
∴ प्रणाली अवलोकन योग्य भी है।Controllability Question 10:
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2\\ 0&2 \end{array}} \right],\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right]\)के साथ तंत्र Ẋ = AX + Bu ___________है।
Answer (Detailed Solution Below)
Controllability Question 10 Detailed Solution
दी गयी प्रणाली है
Ẋ = AX + Bu
जहाँ ,
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2\\ 0&2 \end{array}} \right]\:and\:B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right]\)
स्थिरता के निर्धारण के लिए हम एक विशेष समीकरण का उपयोग करते हैं (अर्थात तंत्र के ध्रुव या अभिलाक्षणिक मान )|
|sI - A| = 0
\(\left| {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} s&0\\ 0&s \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2\\ 0&2 \end{array}} \right]} \right| = 0\)
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {s + 1}&{ - 2}\\ 0&{s - 2} \end{array}} \right| = 0\)
( s + 1 )( s - 2 ) = 0
s = -1 तथा s = 2
अर्थात तंत्र का एक ध्रुव s-तल के दाहिने भाग में है |
अतः, यह तंत्र अस्थिर है |
अब,नियंत्रणीयता आव्यूह द्वारा दिया गया है:
CM = [ B AB ]
जहाँ
\(\left[ {AB} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2\\ 0&2 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 2 \end{array}} \right]\)
इसलिए,
\({C_M} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&2\\ 1&2 \end{array}} \right]\)
| CM | = -2 ≠ 0
अत,यह तंत्र नियंत्रणीय है |
Controllability Question 11:
यदि Qc = नियंत्रणीयता आव्यूह और Q0 = अवलोकनीयता आव्यूह है तो प्रणाली ______ पर नियंत्रणीय और अवलोकनीय है।
Answer (Detailed Solution Below)
Controllability Question 11 Detailed Solution
नियंत्रणीयता:
एक प्रणाली को नियंत्रणीय कहा जाता है यदि किसी नियंत्रण अवस्था सदिश u(t) द्वारा निर्दिष्ट परिमित समय अंतराल में किसी भी प्रारंभिक अवस्था x(t0) से किसी भी वांछित स्थिति x(t) में प्रणाली अवस्था को स्थानांतरित करना संभव है।
नियंत्रणीयता के लिए कैलमन का परीक्षण:
ẋ = Ax + Bu
Qc = {B AB A2B … An-1 B]
Qc = नियंत्रणीयता आव्यूह
यदि |Qc| = 0 तो प्रणाली नियंत्रणीय नहीं है
यदि |Qc|≠ 0 तो प्रणाली नियंत्रणीय है
अवलोकनीयता:
एक प्रणाली को अवलोकनीय कहा जाता है कि यदि प्रत्येक अवस्था x(t0) को एक निश्चित समय अंतराल पर आउटपुट y(t) के माप से पूरी तरह पहचाना जा सकता है।
अवलोकनीयता के लिए कैलमन का परीक्षण:
Q0 = [CT ATCT (AT)2CT …. (AT)n-1 CT]
Q0 = अवलोकनीयता परीक्षण आव्यूह
यदि |Q0| = 0 तो प्रणाली अवलोकनीय नहीं है
यदि |Q0| ≠ 0 तो प्रणाली अवलोकनीय है
Controllability Question 12:
यदि Qc = नियंत्रणीयता आव्यूह और Q0 = अवलोकनीयता आव्यूह है तो प्रणाली ______ पर नियंत्रणीय और अवलोकनीय है।
Answer (Detailed Solution Below)
Controllability Question 12 Detailed Solution
नियंत्रणीयता:
एक प्रणाली को नियंत्रणीय कहा जाता है यदि किसी नियंत्रण अवस्था सदिश u(t) द्वारा निर्दिष्ट परिमित समय अंतराल में किसी भी प्रारंभिक अवस्था x(t0) से किसी भी वांछित स्थिति x(t) में प्रणाली अवस्था को स्थानांतरित करना संभव है।
नियंत्रणीयता के लिए कैलमन का परीक्षण:
ẋ = Ax + Bu
Qc = {B AB A2B … An-1 B]
Qc = नियंत्रणीयता आव्यूह
यदि |Qc| = 0 तो प्रणाली नियंत्रणीय नहीं है
यदि |Qc|≠ 0 तो प्रणाली नियंत्रणीय है
अवलोकनीयता:
एक प्रणाली को अवलोकनीय कहा जाता है कि यदि प्रत्येक अवस्था x(t0) को एक निश्चित समय अंतराल पर आउटपुट y(t) के माप से पूरी तरह पहचाना जा सकता है।
अवलोकनीयता के लिए कैलमन का परीक्षण:
Q0 = [CT ATCT (AT)2CT …. (AT)n-1 CT]
Q0 = अवलोकनीयता परीक्षण आव्यूह
यदि |Q0| = 0 तो प्रणाली अवलोकनीय नहीं है
यदि |Q0| ≠ 0 तो प्रणाली अवलोकनीय है
Controllability Question 13:
एक रेखीय समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली को स्थिति चर मॉडल द्वारा वर्णित किया गया है।
\(\begin{bmatrix}{x'_1} \\ x'_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{x_1} \\ x_2 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} u\;\)
\(y(t)=\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{x_1} \\ x_2 \end{bmatrix} \;\)
Answer (Detailed Solution Below)
Controllability Question 13 Detailed Solution
संकल्पना:
स्थिती-स्थान प्रतिनिधित्व:
X(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
y(t) आउटपुट है
u(t) इनपुट है
x(t) एक स्थिति सदिश है
A एक प्रणाली आव्यूह है
यह प्रतिनिधित्व निरंतर समय-भिन्न है।
नियंत्रणीयता:
एक प्रणाली को नियंत्रणीय कहा जाता है यदि प्रणाली स्थिति को किसी भी प्रारंभिक अवस्था x(t0) से किसी भी वांछित अवस्था x(t) में एक नियंत्रण सदिश u(t) द्वारा निर्दिष्ट परिमित समय अंतराल में स्थानांतरित करना संभव है।
नियंत्रणीयता के लिए कलमन का परीक्षण:
X = Ax + Bu
Qc = [B AB A2B....An-1 B]
Qc = नियंत्रणीयता आव्यूह
यदि IQcl = 0, प्रणाली नियंत्रणीय नहीं है
यदि |Qcl ≠ 0, प्रणाली नियंत्रणीय है
अवलोकनीयता:
एक प्रणाली को अवलोकनीय कहा जाता है यदि प्रत्येक स्थिति x(t0) को एक सीमित समय अंतराल पर आउटपुट y(t) के मापन द्वारा पूरी तरह से पहचाना जा सकता है।
अवलोकनीयता के लिए कलमन का परीक्षण:
Qo = [CT ATCT (AT)2CT .... (AT)n-1CT]
Qo = अवलोकनीयता परीक्षण आव्यूह
यदि |Qo| = 0, प्रणाली अवलोकनीय नहीं है।
यदि |Qo| ≠ 0, प्रणाली अवलोकनीय है।
गणना:
मान लें कि
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0\\ 0&{ 2} \end{array}} \right], B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right], C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \end{array}} \right]\)
नियंत्रणीयता आव्यूह, C = [B AB]
\(C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 1&{ 2} \end{array}} \right]\)
\(\left| C \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 1&{ 2} \end{array}} \right| = 0\)
इसलिए, यह नियंत्रणीय नहीं है
अवलोकनीयता आव्यूह, \(O = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} C\\ {CA} \end{array}} \right]\)
\(O = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ { - 1}&{ 4} \end{array}} \right]\)
\(\left| O \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ { - 1}&{ 4} \end{array}} \right| = 4 - \left( { - 2} \right) = 6 \ne 0\)
इसलिए, यह प्रणाली अवलोकनीय है।
Controllability Question 14:
एक प्रणाली को x = Ax + Bu के रूप में अवस्था स्थान में दर्शाया गया है, जहाँ \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&10\\ {\rm{β }}&8\end{array}} \right]\) और \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right]\)। β का मान क्या है जिसके लिए प्रणाली नियंत्रणीय नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Controllability Question 14 Detailed Solution
संकल्पना:
कल्मन की नियंत्रणीयता के परीक्षण के अनुसार
नियंत्रणीयता आव्यूह,
M = [B AB A2B ----]nxn
गणना:
\(\begin{array}{l} B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right]\\ AB = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5\\ {\rm{\alpha }}&4 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { {\rm{\alpha }}} \end{array}} \right]\\ M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 0&{ {\rm{\alpha }}} \end{array}} \right] \end{array}\)
प्रणाली नियंत्रणीय नहीं है।
∴|M| = 0
⇒ (β x 1) - (4 x 0) = 0
⇒ β = 0Controllability Question 15:
नियंत्रणीयता और प्रेक्षणीयता के संबंध में कथनों को पढ़ें और उत्तर को सत्य और असत्य के रूप में चिह्नित करें।
- एक प्रणाली को नियंत्रणीय होने के लिए, |Qc| = 0
- प्रणाली को प्रेक्षणीय होने के लिए, |Q0| = 0
- प्रणाली को नियंत्रणीय और प्रेक्षणीय होने के लिए, |Qc|≠ 0 और |Qo|≠ 0
Answer (Detailed Solution Below)
Controllability Question 15 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प '2' है
अवधारणा:
नियंत्रणीयता:
एक प्रणाली को नियंत्रणीय कहा जाता है यदि प्रणाली स्थिति को किसी भी प्रारंभिक अवस्था x(t0) से किसी भी वांछित अवस्था x(t) में एक नियंत्रण सदिश u(t) द्वारा निर्दिष्ट परिमित समय अंतराल में स्थानांतरित करना संभव है।
नियंत्रणीयता के लिए काल्मन परीक्षण:
ẋ = Ax + Bu
Qc = {B AB A2B … An-1 B]
Qc = नियंत्रणीयता आव्यूह
यदि |Qc| = 0, प्रणाली नियंत्रणीय नहीं है
यदि |Qc|≠ 0, प्रणाली नियंत्रणीय है
प्रेक्षणीयता:
एक प्रणाली को प्रेक्षणीय कहा जाता है यदि प्रत्येक अवस्था x(t0) को एक परिमित समय अंतराल पर निर्गम y(t) के मापन द्वारा पूरी तरह से पहचाना जा सकता है।
प्रेक्षणीयता के लिए काल्मन परीक्षण:
Q0 = [CT ATCT (AT)2CT …. (AT)n-1 CT]
Q0 = प्रेक्षणीयता परीक्षण आव्यूह
यदि |Q0| = 0, प्रणाली प्रेक्षणीय नहीं है
यदि |Q0| ≠ 0, प्रणाली प्रेक्षणीय है