Continuous Random Variable and Probability Density Function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Continuous Random Variable and Probability Density Function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

प्रायिकता है कि एक यादृच्छिक चर 'x' अंतराल में एक मान लेता है [a, b] एक फलन के समाकलन द्वारा दिया जाता है जिसे प्रायिकता घनत्व फलन f_x (x) कहा जाता है: -

\(\Rightarrow P\left( a\le x\le b \right)=\mathop{\int }_{a}^{b}{{f}_{x}}\left( x \right)dx\)

गणना:

f(z) = e-z, o < z < ∞के रूप में परिभाषित प्रायिकता घनत्व फलन f(z) के साथ एक यादृच्छिक चर दिया गया है, 0 < z < 2 की प्रायिकता इस प्रकार प्राप्त की जाएगी:

\(\Rightarrow P\left( a\le z\le b \right)=\mathop{\int }_{0}^{2}{{f}_{z}}\left( z \right)dz\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{2}{{e}^{-z}}dz\)

\(=\left. -{{e}^{-z}} \right|_{0}^{2}\)

= - [e^-2 - 1]

= 1 – e^-2

= 1 – 0.134

संकल्पना:

pdf (प्रायिकता घनत्व फलन) के तहत क्षेत्रफल = 1, यानि

\(\smallint {f_x}\left( x\right)dx= 1\)

गणना:

\(\mathop \smallint \limits_0^A \sin xdx = 1\)

\(\Rightarrow - \left( {\cos x} \right)_0^A = 1\)

1 - cos A = 1

cos A = 0

A = π/2

संकल्पना:

शून्य-माध्य गाऊसी चर का प्रायिकता घनत्व फलन इस प्रकार दिखाया गया है:

गणितीय रूप से, एक गाऊसी यादृच्छिक चर के घनत्व फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi {\sigma ^2}} }}\;{e^{-\frac{{{{\left( {x - \mu } \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}\)

दिया गया वितरण शून्य माध्य अर्थात μ = 0 है, इसलिए उपरोक्त वितरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi {\sigma ^2}} }}\;{e^{-\frac{{{x^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}\)

गाऊसी वितरण का फूरियर रूपांतरण इस प्रकार दिखाया गया है:

\(F\left( \omega \right) = \sqrt {2{\sigma ^2}\pi } \;{e^{\frac{{2{\sigma ^2}{\omega ^2}}}{4}}}\)

स्पष्ट रूप से, कला स्पेक्ट्रम स्थिर है और दिए गए दो यादृच्छिक संकेतों के लिए समान मानक विचलन के साथ, कला -π से +π तक एकसमान है।

संकल्पना:

1) एक सतत यादृच्छिक चर का प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन या PDF एक निरंतरता में किसी भी परिणाम की सापेक्ष संभावना देता है।

2) असतत यादृच्छिक चर के मामले के विपरीत, एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, किसी एकल परिणाम के होने की प्रायिकता शून्य होती है।

3) हम हमेशा एक सतत चर के मामले में किसी भी संभावना की घटना की सीमा को परिभाषित करते हैं।

अवलोकन:

एक निरंतर वितरित यादृच्छिक चर के लिए एक बिंदु पर प्रायिकता को परिभाषित नहीं किया जा सकता है

∴ P(x = 4) = 0

हम जानते हैं, \(\rm{\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {f_X}\left( x \right) = 1}\)

तो,

\(\rm{\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty \left( {M{e^{ - 2\left| x \right|}} + N{e^{ - 3\left| x \right|}}} \right)dx = 1}\)

\(\rm{2\mathop \smallint \limits_0^\infty \left( {M{e^{ - 2x}} + N{e^{ - 3x}}} \right)dx = 1}\)

\(\rm{\left[ {\frac{{M{e^{ - 2x}}}}{{ - 2}}} \right]_0^\infty + \left[ {\frac{{N{e^{ - 3x}}}}{{ - 3}}} \right]_0^\infty = \frac{1}{2}}\)

\(\rm{\frac{M}{2} + \frac{N}{3} = 1/2}\)

\(\rm{M + \frac{2}{{3}}N = 1}\)

संकल्पना:

शून्य-माध्य गाऊसी चर का प्रायिकता घनत्व फलन इस प्रकार दिखाया गया है:

गणितीय रूप से, एक गाऊसी यादृच्छिक चर के घनत्व फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi {\sigma ^2}} }}\;{e^{-\frac{{{{\left( {x - \mu } \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}\)

दिया गया वितरण शून्य माध्य अर्थात μ = 0 है, इसलिए उपरोक्त वितरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi {\sigma ^2}} }}\;{e^{-\frac{{{x^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}\)

गाऊसी वितरण का फूरियर रूपांतरण इस प्रकार दिखाया गया है:

\(F\left( \omega \right) = \sqrt {2{\sigma ^2}\pi } \;{e^{\frac{{2{\sigma ^2}{\omega ^2}}}{4}}}\)

स्पष्ट रूप से, कला स्पेक्ट्रम स्थिर है और दिए गए दो यादृच्छिक संकेतों के लिए समान मानक विचलन के साथ, कला -π से +π तक एकसमान है।

संकल्पना:

प्रायिकता है कि एक यादृच्छिक चर 'x' अंतराल में एक मान लेता है [a, b] एक फलन के समाकलन द्वारा दिया जाता है जिसे प्रायिकता घनत्व फलन f_x (x) कहा जाता है: -

\(\Rightarrow P\left( a\le x\le b \right)=\mathop{\int }_{a}^{b}{{f}_{x}}\left( x \right)dx\)

गणना:

f(z) = e-z, o < z < ∞के रूप में परिभाषित प्रायिकता घनत्व फलन f(z) के साथ एक यादृच्छिक चर दिया गया है, 0 < z < 2 की प्रायिकता इस प्रकार प्राप्त की जाएगी:

\(\Rightarrow P\left( a\le z\le b \right)=\mathop{\int }_{0}^{2}{{f}_{z}}\left( z \right)dz\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{2}{{e}^{-z}}dz\)

\(=\left. -{{e}^{-z}} \right|_{0}^{2}\)

= - [e^-2 - 1]

= 1 – e^-2

= 1 – 0.134

संकल्पना:

1) एक सतत यादृच्छिक चर का प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन या PDF एक निरंतरता में किसी भी परिणाम की सापेक्ष संभावना देता है।

2) असतत यादृच्छिक चर के मामले के विपरीत, एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, किसी एकल परिणाम के होने की प्रायिकता शून्य होती है।

3) हम हमेशा एक सतत चर के मामले में किसी भी संभावना की घटना की सीमा को परिभाषित करते हैं।

अवलोकन:

एक निरंतर वितरित यादृच्छिक चर के लिए एक बिंदु पर प्रायिकता को परिभाषित नहीं किया जा सकता है

∴ P(x = 4) = 0

संकल्पना:

शून्य-माध्य गाऊसी चर का प्रायिकता घनत्व फलन इस प्रकार दिखाया गया है:

गणितीय रूप से, एक गाऊसी यादृच्छिक चर के घनत्व फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi {\sigma ^2}} }}\;{e^{-\frac{{{{\left( {x - \mu } \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}\)

दिया गया वितरण शून्य माध्य अर्थात μ = 0 है, इसलिए उपरोक्त वितरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi {\sigma ^2}} }}\;{e^{-\frac{{{x^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}\)

गाऊसी वितरण का फूरियर रूपांतरण इस प्रकार दिखाया गया है:

\(F\left( \omega \right) = \sqrt {2{\sigma ^2}\pi } \;{e^{\frac{{2{\sigma ^2}{\omega ^2}}}{4}}}\)

स्पष्ट रूप से, कला स्पेक्ट्रम स्थिर है और दिए गए दो यादृच्छिक संकेतों के लिए समान मानक विचलन के साथ, कला -π से +π तक एकसमान है।

हम जानते हैं, \(\rm{\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {f_X}\left( x \right) = 1}\)

तो,

\(\rm{\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty \left( {M{e^{ - 2\left| x \right|}} + N{e^{ - 3\left| x \right|}}} \right)dx = 1}\)

\(\rm{2\mathop \smallint \limits_0^\infty \left( {M{e^{ - 2x}} + N{e^{ - 3x}}} \right)dx = 1}\)

\(\rm{\left[ {\frac{{M{e^{ - 2x}}}}{{ - 2}}} \right]_0^\infty + \left[ {\frac{{N{e^{ - 3x}}}}{{ - 3}}} \right]_0^\infty = \frac{1}{2}}\)

\(\rm{\frac{M}{2} + \frac{N}{3} = 1/2}\)

\(\rm{M + \frac{2}{{3}}N = 1}\)

संकल्पना:

प्रायिकता है कि एक यादृच्छिक चर 'x' अंतराल में एक मान लेता है [a, b] एक फलन के समाकलन द्वारा दिया जाता है जिसे प्रायिकता घनत्व फलन f_x (x) कहा जाता है: -

\(\Rightarrow P\left( a\le x\le b \right)=\mathop{\int }_{a}^{b}{{f}_{x}}\left( x \right)dx\)

गणना:

f(z) = e-z, o < z < ∞के रूप में परिभाषित प्रायिकता घनत्व फलन f(z) के साथ एक यादृच्छिक चर दिया गया है, 0 < z < 2 की प्रायिकता इस प्रकार प्राप्त की जाएगी:

\(\Rightarrow P\left( a\le z\le b \right)=\mathop{\int }_{0}^{2}{{f}_{z}}\left( z \right)dz\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{2}{{e}^{-z}}dz\)

\(=\left. -{{e}^{-z}} \right|_{0}^{2}\)

= - [e^-2 - 1]

= 1 – e^-2

= 1 – 0.134

संकल्पना:

pdf (प्रायिकता घनत्व फलन) के तहत क्षेत्रफल = 1, यानि

\(\smallint {f_x}\left( x\right)dx= 1\)

गणना:

\(\mathop \smallint \limits_0^A \sin xdx = 1\)

\(\Rightarrow - \left( {\cos x} \right)_0^A = 1\)

1 - cos A = 1

cos A = 0

A = π/2