Cauchy - riemann Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Cauchy - riemann Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

1. कौशी-रीमान (CR) समीकरण:

किसी फलन f(z) = u(x, y) + iv(x, y) के पूर्णसममितिक (सम्मिश्र अवकलनीय) होने के लिए, इसके वास्तविक (u) और काल्पनिक (v) भागों को निम्न को संतुष्ट करना होगा:

\(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \)

2. प्रसंवादी फलन की स्थिति:

कोई फलन u(x, y) (या v(x, y)) प्रसंवादी होता है यदि यह लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करता है:

\(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \)

इसी प्रकार, v(x, y) भी प्रसंवादी होता है यदि यह समान समीकरण को संतुष्ट करता है

एक पूर्णसममितिक फलन में, u और v दोनों हमेशा प्रसंवादी होते हैं।

व्याख्या:

हमें विश्लेषिक और प्रसंवादी फलनों की जाँच करने की आवश्यकता है:

(A). log z

log z = \( log(re^{iθ}) \) = log r + iθ, जहाँ \(z = re^{iθ} \) ध्रुवीय रूप में है

कोण θ के कारण log z एक बहु-मान फलन है।

लघुगणक की एक विशिष्ट शाखा के लिए (θ के परिसर को प्रतिबंधित करना),

यह ऋणात्मक वास्तविक अक्ष और मूल (z = 0) को छोड़कर सम्मिश्र समतल में विश्लेषिक है।

प्रसंवादिता: log z का वास्तविक भाग log r = (1/2)log(x² + y²) है, जिसका हम भाग (C) में विश्लेषण करेंगे।

काल्पनिक भाग θ = arctan(y/x) है।

वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करते हैं, जिससे log z वहाँ प्रसंवादी बन जाता है जहाँ यह विश्लेषिक है।

हालांकि, चूँकि यह ऋणात्मक वास्तविक अक्ष और मूल पर विश्लेषिक नहीं है, इसलिए यह वहाँ प्रसंवादी नहीं है।

मिलान: log z के लिए यहाँ सबसे अच्छा मिलान (III) है जो z = 0 को छोड़कर विश्लेषिक फलन है।

हालांकि यह वहाँ भी प्रसंवादी है जहाँ यह विश्लेषिक है।

(B). eˣ

eˣ एक वास्तविक चर x का फलन है।

हम इसे z के फलन के रूप में मान सकते हैं जहाँ z = x + iy, इसलिए f(z) = eˣ = \(e^{Re(z)} \)

विश्लेष्यता: f(z) = eˣ संपूर्ण सम्मिश्र समतल में विश्लेषिक नहीं है।

यह कौशी-रीमान समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है।

यदि f(z) = u + iv, तो u = eˣ और v = 0

कौशी-रीमान समीकरण ∂u/∂x = ∂v/∂y और ∂u/∂y = -∂v/∂x है,

यहाँ, ∂u/∂x = eˣ और ∂v/∂y = 0, इसलिए पहला समीकरण तब तक संतुष्ट नहीं होता जब तक कि eˣ = 0, जो असंभव है।

प्रसंवादिता: ∂²u/∂x² = eˣ और ∂²u/∂y² = 0

इस प्रकार, ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = eˣ सामान्य रूप से ≠ 0

इसलिए, u = eˣ प्रसंवादी नहीं है।

मिलान: (I) प्रसंवादी फलन नहीं है सही मिलान है।

(C). (1/2) log (x² + y²)

मान लीजिए u(x, y) = (1/2) log (x² + y²). यह log z का वास्तविक भाग है।

प्रसंवादिता:

∂u/∂x = x / (x² + y²)

∂²u/∂x² = (y² - x²) / (x² + y²)²

∂u/∂y = y / (x² + y²)

∂²u/∂y² = (x² - y²) / (x² + y²)²

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

इस प्रकार, u(x, y) (0, 0) को छोड़कर हर स्थान पर प्रसंवादी है।

मिलान: (IV) प्रसंवादी फलन है सही मिलान है।

(D). xy + iy

मान लीजिए f(z) = xy + iy, जहाँ z = x + iy है। तब u(x, y) = xy और v(x, y) = y

विश्लेष्यता:

∂u/∂x = y, ∂v/∂y = 1. पहले कौशी-रीमान समीकरण के मान्य होने के लिए, y = 1

∂u/∂y = x, ∂v/∂x = 0. दूसरे कौशी-रीमान समीकरण के मान्य होने के लिए, x = 0

कौशी-रीमान समीकरण केवल बिंदु (0, 1) पर संतुष्ट होते हैं, किसी प्रतिवेश में नहीं, इसलिए फलन विश्लेषिक नहीं है।

मिलान: (II) विश्लेषिक फलन नहीं है सही मिलान है।

इसलिए

(A) - (III)
(B) - (I)
(C) - (IV)
(D) - (II)

अतः सही उत्तर विकल्प 2 है।

अवधारणा:
सांतत्य: फलन \(f(z) = |z|^2 = x^2 + y^2 \) x और y में एक बहुपद है,

जो संतत फलन हैं।

इसलिए, f(z) सम्मिश्र समतल में हर जगह सतत है।

अवकलनीयता: अवकलनीयता की जाँच करने के लिए, हम कौशी-रीमान समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं:
∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x

व्याख्या:

यहाँ, \( u(x,y) = x^2 + y^2 \) और \(v(x,y) = 0 \) (चूँकि f(z) वास्तविक मान वाला है)।

आंशिक अवकलजों की गणना:
∂u/∂x = 2x
∂u/∂y = 2y
∂v/∂x = 0
∂v/∂y = 0
कौशी-रीमान समीकरण केवल मूलबिंदु (0,0) पर संतुष्ट होते हैं।

इसलिए, f(z) केवल मूलबिंदु पर अवकलनीय है।

विकल्प 2: सभी स्थानों पर संतत लेकिन केवल मूलबिंदु (Z = 0) पर अवकलनीय:

ऊपर दिए गए विश्लेषण के आधार पर यह विकल्प सही है।

विकल्प 3: मूलबिंदु पर असंतत और मूलबिंदु (Z = 0) को छोड़कर सभी स्थानों पर अवकलनीय:

यह गलत है क्योंकि f(z) सभी स्थानों पर संतत है, जैसा कि पहले बताया गया है।

विकल्प 4: कहीं भी अवकलनीय नहीं और कहीं भी सतत नहीं:

यह भी गलत है क्योंकि f(z) सभी स्थानों पर संतत है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2: सभी स्थानों पर संतत लेकिन केवल मूलबिंदु (Z = 0) पर अवकलनीय है।

अवधारणा:

1. कौशी रीमान (C-R) समीकरण:
C-R समीकरण एक सम्मिश्र फलन के आंशिक अवकलजों से जुड़े समीकरणों का एक युग्म हैं।

\(f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \) , जहाँ z = x + i y.

समीकरण हैं:

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x

2. एक सम्मिश्र फलन की अवकलनीयता:

एक सम्मिश्र फलन f(z) को किसी बिंदु z₀ पर अवकलनीय कहा जाता है यदि अंतर भागफल की सीमा का h → 0 के रूप में अस्तित्व है:
\(lim_{h→0} \frac{[f(z₀ + h) - f(z₀)]} {h} \)

C-R समीकरणों और अवकलनीयता के बीच संबंध:
यह पता चलता है कि एक सम्मिश्र फलन के अवकलनीय होने के लिए C-R समीकरण एक आवश्यक प्रतिबंध हैं।

दूसरे शब्दों में, यदि कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय है, तो उसके आंशिक अवकलजों को उस बिंदु पर C-R समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए।

हालाँकि, C-R समीकरण अवकलनीयता के लिए पर्याप्त नहीं हैं।

हमें एक अतिरिक्त प्रतिबंध की भी आवश्यकता है जिसे कौशी रीमान प्रतिबंध के रूप में जाना जाता है, जो यह सुनिश्चित करती है कि आंशिक अवकलज संतत हैं।

व्याख्या:
विकल्प 1: C-R समीकरण केवल अचर फलनों द्वारा ही संतुष्ट होते हैं:

यह सत्य नहीं है।

कई अचरेतर फलन, जैसे बहुपद, घातीय फलन और त्रिकोणमितीय फलन,

C-R समीकरणों को संतुष्ट करते हैं और अपने प्रांत में अवकलनीय हैं।

विकल्प 3: C-R समीकरण केवल वास्तविक मान वाले फलनों के लिए उपयोग किए जाते हैं:

C-R समीकरण विशेष रूप से सम्मिश्र मान वाले फलनों के लिए हैं।

विकल्प 4: C-R समीकरण केवल बहुपदों पर लागू होते हैं: फिर से,

C-R समीकरण फलनों की एक व्यापक श्रेणी पर लागू होते हैं, जिसमें विश्लेषिक फलन शामिल हैं,

जिसमें बहुपद शामिल हैं लेकिन कई अन्य फलन भी शामिल हैं।

इसलिए, एकमात्र सही कथन है:

C-R समीकरण एक सम्मिश्र फलन की अवकलनीयता के लिए एक आवश्यक प्रतिबंध हैं।

इसलिए विकल्प (2) सही उत्तर है।

स्पष्टीकरण -

हमें प्राप्त है \(\rm f(z)=|\operatorname{Re}(z) \operatorname{Im}(z)|^{\frac{1}{2}}\)

मान लीजिए \(z= x+iy\) यहाँ Re(z) = x और Im(z) = y

इसलिए हमे प्राप्त होता है - \(f(z) = |xy|^{\frac{1}{2}}\)

स्पष्टतः \(u(x,y) =|xy|^{\frac{1}{2}} \ \ and \ \ v(x,y) =0\)

हम जानते हैं कि C-R समीकरण - \(u_x=v_y \ \ and \ \ u_y = -v_x\)

इसलिए f(z), z = 0 पर C-R समीकरण को संतुष्ट करता है। लेकिन यह 0 पर अवकलनीय नहीं है।

अतः, विकल्प (iii) सही है।

अवधारणा-  ML असमिका का उपयोग करने पर,

यदि कोई फलन f(z), लंबाई I के समोच्च C पर सतत है और यदि M, C पर f(z) की ऊपरी सीमा है, तो ∫f(z)dz ≤ ML​ 

व्याख्या -  फलन f(z) लंबाई I की समोच्च C पर सतत है और यदि M, C पर f(z) की ऊपरी सीमा है, तो ∫f(z)dz ≤ ML 

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 1 है।

व्याख्या:

f अवकलनीय है, \(\rm\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\) = 0

अब, f(z) = ||z|2 − 1|2

= (|z|2 − 1) \(\rm(\overline{|z|^2−1})\) (∵|z|2 = z.z̅)

= (zz̅ − 1) \(\rm\overline{(z\bar{z} − 1)}\)

= (zz̅ − 1) (z̅z − 1)

⇒ f(z) = (zz̅ − 1)2

अवकलनीय होने के लिए, \(\rm\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\) = 0

⇒2(zz̅ − 1) (z) = 0

⇒ z = 0 or |z|2 − 1 = 0 ⇒ z = 1

∴ केवल z ∈ {0, 1} के लिए, f सम्मिश्र अवकलनीय है। 

अतः सही उत्तर विकल्प (4) है। 

अवधारणा:

यदि कोई फलन f(z) = u(x, y) + i v(x, y) किसी बिंदु z = x + iy पर अवकलनीय होता है, तो आंशिक अवकलज u_x, v_x, u_y और v_y का अस्तित्व होना चाहिए और C-R समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए अर्थात

u_x  = v _y और u _y = - v _x

गणना:

दिया गया है: f(z) एक अचरेतर सर्वत्र वैश्लेषिक फलन है इसका तात्पर्य है कि f(z) वैश्लेषिक है और C - R समीकरण को संतुष्ट करता है।  

विकल्प 1: ux = vy और uy = - v_x 

ये C-R समीकरण हैं। इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

विकल्प 2: uy = vx और ux = - v_y

जोकि सही नहीं है क्योंकि ux = vy और uy = -vx 

विकल्प 3 और 4:

f(z) = u + iv

|f^'(z)|² = u ²_x + v²_x

C- R समीकरणों का प्रयोग करने पर,  

अब ux = vy और uy = - vx 

|f'(z)|2 = u²y + v_y²

स्पष्टीकरण -

हमें प्राप्त है \(\rm f(z)=|\operatorname{Re}(z) \operatorname{Im}(z)|^{\frac{1}{2}}\)

मान लीजिए \(z= x+iy\) यहाँ Re(z) = x और Im(z) = y

इसलिए हमे प्राप्त होता है - \(f(z) = |xy|^{\frac{1}{2}}\)

स्पष्टतः \(u(x,y) =|xy|^{\frac{1}{2}} \ \ and \ \ v(x,y) =0\)

हम जानते हैं कि C-R समीकरण - \(u_x=v_y \ \ and \ \ u_y = -v_x\)

इसलिए f(z), z = 0 पर C-R समीकरण को संतुष्ट करता है। लेकिन यह 0 पर अवकलनीय नहीं है।

अतः, विकल्प (iii) सही है।

हल- दिया गया है, f(z) = u +iv प्रांत D में एक विश्लेषणात्मक फलन है, तो वक्र u = नियत, v = नियत

हम जानते हैं कि दो वक्र लंबकोणीय होते हैं, जब उनकी प्रवणताओं का गुणनफल -1 होता है, यहाँ m1.m2 = -1

इसलिए हमें यह सिद्ध करने की आवश्यकता है कि इन दोनों वक्रों की प्रवणता -1 है।

u =  \(c_1, v = c_2 \) और du = 0 , dv = 0

हम जानते हैं कि,

\(du =\frac{ \partial{u}}{\partial {x}} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy \) -------- (1)

और \(dv = \frac{\partial v}{\partial x}dx + \frac{\partial v }{\partial y} dy \) ------- (2) 

हमारे पास है du =0 और dv = 0 

इन मानों को समीकरण 1) और 2) में रखने पर,

इसलिए, 1) से हमें प्राप्त होता है, \(\frac{dy}{dx} = -\frac{ \frac{\partial u}{\partial x}}{\frac{\partial u }{\partial y}}\) मान लीजिए m1 

इसलिए, 2) से हमें प्राप्त होता है \(\frac{dy}{dx} = -\frac {\frac{\partial v}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial y}}\)  मान लीजिए m2 

C-R समीकरण \(u_x = v_y , u_y = - v_x \) का उपयोग करने पर,

तब हमें प्राप्त होता है, m1 . m2 = -1  

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 2 है। 

अवधारणा-  ML असमिका का उपयोग करने पर,

यदि कोई फलन f(z), लंबाई I के समोच्च C पर सतत है और यदि M, C पर f(z) की ऊपरी सीमा है, तो ∫f(z)dz ≤ ML​ 

व्याख्या -  फलन f(z) लंबाई I की समोच्च C पर सतत है और यदि M, C पर f(z) की ऊपरी सीमा है, तो ∫f(z)dz ≤ ML 

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 1 है।

अवधारणा:

1. कौशी-रीमान (CR) समीकरण:

किसी फलन f(z) = u(x, y) + iv(x, y) के पूर्णसममितिक (सम्मिश्र अवकलनीय) होने के लिए, इसके वास्तविक (u) और काल्पनिक (v) भागों को निम्न को संतुष्ट करना होगा:

\(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \)

2. प्रसंवादी फलन की स्थिति:

कोई फलन u(x, y) (या v(x, y)) प्रसंवादी होता है यदि यह लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करता है:

\(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \)

इसी प्रकार, v(x, y) भी प्रसंवादी होता है यदि यह समान समीकरण को संतुष्ट करता है

एक पूर्णसममितिक फलन में, u और v दोनों हमेशा प्रसंवादी होते हैं।

व्याख्या:

हमें विश्लेषिक और प्रसंवादी फलनों की जाँच करने की आवश्यकता है:

(A). log z

log z = \( log(re^{iθ}) \) = log r + iθ, जहाँ \(z = re^{iθ} \) ध्रुवीय रूप में है

कोण θ के कारण log z एक बहु-मान फलन है।

लघुगणक की एक विशिष्ट शाखा के लिए (θ के परिसर को प्रतिबंधित करना),

यह ऋणात्मक वास्तविक अक्ष और मूल (z = 0) को छोड़कर सम्मिश्र समतल में विश्लेषिक है।

प्रसंवादिता: log z का वास्तविक भाग log r = (1/2)log(x² + y²) है, जिसका हम भाग (C) में विश्लेषण करेंगे।

काल्पनिक भाग θ = arctan(y/x) है।

वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करते हैं, जिससे log z वहाँ प्रसंवादी बन जाता है जहाँ यह विश्लेषिक है।

हालांकि, चूँकि यह ऋणात्मक वास्तविक अक्ष और मूल पर विश्लेषिक नहीं है, इसलिए यह वहाँ प्रसंवादी नहीं है।

मिलान: log z के लिए यहाँ सबसे अच्छा मिलान (III) है जो z = 0 को छोड़कर विश्लेषिक फलन है।

हालांकि यह वहाँ भी प्रसंवादी है जहाँ यह विश्लेषिक है।

(B). eˣ

eˣ एक वास्तविक चर x का फलन है।

हम इसे z के फलन के रूप में मान सकते हैं जहाँ z = x + iy, इसलिए f(z) = eˣ = \(e^{Re(z)} \)

विश्लेष्यता: f(z) = eˣ संपूर्ण सम्मिश्र समतल में विश्लेषिक नहीं है।

यह कौशी-रीमान समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है।

यदि f(z) = u + iv, तो u = eˣ और v = 0

कौशी-रीमान समीकरण ∂u/∂x = ∂v/∂y और ∂u/∂y = -∂v/∂x है,

यहाँ, ∂u/∂x = eˣ और ∂v/∂y = 0, इसलिए पहला समीकरण तब तक संतुष्ट नहीं होता जब तक कि eˣ = 0, जो असंभव है।

प्रसंवादिता: ∂²u/∂x² = eˣ और ∂²u/∂y² = 0

इस प्रकार, ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = eˣ सामान्य रूप से ≠ 0

इसलिए, u = eˣ प्रसंवादी नहीं है।

मिलान: (I) प्रसंवादी फलन नहीं है सही मिलान है।

(C). (1/2) log (x² + y²)

मान लीजिए u(x, y) = (1/2) log (x² + y²). यह log z का वास्तविक भाग है।

प्रसंवादिता:

∂u/∂x = x / (x² + y²)

∂²u/∂x² = (y² - x²) / (x² + y²)²

∂u/∂y = y / (x² + y²)

∂²u/∂y² = (x² - y²) / (x² + y²)²

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

इस प्रकार, u(x, y) (0, 0) को छोड़कर हर स्थान पर प्रसंवादी है।

मिलान: (IV) प्रसंवादी फलन है सही मिलान है।

(D). xy + iy

मान लीजिए f(z) = xy + iy, जहाँ z = x + iy है। तब u(x, y) = xy और v(x, y) = y

विश्लेष्यता:

∂u/∂x = y, ∂v/∂y = 1. पहले कौशी-रीमान समीकरण के मान्य होने के लिए, y = 1

∂u/∂y = x, ∂v/∂x = 0. दूसरे कौशी-रीमान समीकरण के मान्य होने के लिए, x = 0

कौशी-रीमान समीकरण केवल बिंदु (0, 1) पर संतुष्ट होते हैं, किसी प्रतिवेश में नहीं, इसलिए फलन विश्लेषिक नहीं है।

मिलान: (II) विश्लेषिक फलन नहीं है सही मिलान है।

इसलिए

(A) - (III)
(B) - (I)
(C) - (IV)
(D) - (II)

अतः सही उत्तर विकल्प 2 है।

अवधारणा:
सांतत्य: फलन \(f(z) = |z|^2 = x^2 + y^2 \) x और y में एक बहुपद है,

जो संतत फलन हैं।

इसलिए, f(z) सम्मिश्र समतल में हर जगह सतत है।

अवकलनीयता: अवकलनीयता की जाँच करने के लिए, हम कौशी-रीमान समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं:
∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x

व्याख्या:

यहाँ, \( u(x,y) = x^2 + y^2 \) और \(v(x,y) = 0 \) (चूँकि f(z) वास्तविक मान वाला है)।

आंशिक अवकलजों की गणना:
∂u/∂x = 2x
∂u/∂y = 2y
∂v/∂x = 0
∂v/∂y = 0
कौशी-रीमान समीकरण केवल मूलबिंदु (0,0) पर संतुष्ट होते हैं।

इसलिए, f(z) केवल मूलबिंदु पर अवकलनीय है।

विकल्प 2: सभी स्थानों पर संतत लेकिन केवल मूलबिंदु (Z = 0) पर अवकलनीय:

ऊपर दिए गए विश्लेषण के आधार पर यह विकल्प सही है।

विकल्प 3: मूलबिंदु पर असंतत और मूलबिंदु (Z = 0) को छोड़कर सभी स्थानों पर अवकलनीय:

यह गलत है क्योंकि f(z) सभी स्थानों पर संतत है, जैसा कि पहले बताया गया है।

विकल्प 4: कहीं भी अवकलनीय नहीं और कहीं भी सतत नहीं:

यह भी गलत है क्योंकि f(z) सभी स्थानों पर संतत है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2: सभी स्थानों पर संतत लेकिन केवल मूलबिंदु (Z = 0) पर अवकलनीय है।

अवधारणा:

1. कौशी रीमान (C-R) समीकरण:
C-R समीकरण एक सम्मिश्र फलन के आंशिक अवकलजों से जुड़े समीकरणों का एक युग्म हैं।

\(f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \) , जहाँ z = x + i y.

समीकरण हैं:

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x

2. एक सम्मिश्र फलन की अवकलनीयता:

एक सम्मिश्र फलन f(z) को किसी बिंदु z₀ पर अवकलनीय कहा जाता है यदि अंतर भागफल की सीमा का h → 0 के रूप में अस्तित्व है:
\(lim_{h→0} \frac{[f(z₀ + h) - f(z₀)]} {h} \)

C-R समीकरणों और अवकलनीयता के बीच संबंध:
यह पता चलता है कि एक सम्मिश्र फलन के अवकलनीय होने के लिए C-R समीकरण एक आवश्यक प्रतिबंध हैं।

दूसरे शब्दों में, यदि कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय है, तो उसके आंशिक अवकलजों को उस बिंदु पर C-R समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए।

हालाँकि, C-R समीकरण अवकलनीयता के लिए पर्याप्त नहीं हैं।

हमें एक अतिरिक्त प्रतिबंध की भी आवश्यकता है जिसे कौशी रीमान प्रतिबंध के रूप में जाना जाता है, जो यह सुनिश्चित करती है कि आंशिक अवकलज संतत हैं।

व्याख्या:
विकल्प 1: C-R समीकरण केवल अचर फलनों द्वारा ही संतुष्ट होते हैं:

यह सत्य नहीं है।

कई अचरेतर फलन, जैसे बहुपद, घातीय फलन और त्रिकोणमितीय फलन,

C-R समीकरणों को संतुष्ट करते हैं और अपने प्रांत में अवकलनीय हैं।

विकल्प 3: C-R समीकरण केवल वास्तविक मान वाले फलनों के लिए उपयोग किए जाते हैं:

C-R समीकरण विशेष रूप से सम्मिश्र मान वाले फलनों के लिए हैं।

विकल्प 4: C-R समीकरण केवल बहुपदों पर लागू होते हैं: फिर से,

C-R समीकरण फलनों की एक व्यापक श्रेणी पर लागू होते हैं, जिसमें विश्लेषिक फलन शामिल हैं,

जिसमें बहुपद शामिल हैं लेकिन कई अन्य फलन भी शामिल हैं।

इसलिए, एकमात्र सही कथन है:

C-R समीकरण एक सम्मिश्र फलन की अवकलनीयता के लिए एक आवश्यक प्रतिबंध हैं।

इसलिए विकल्प (2) सही उत्तर है।