Addition and subtraction of vectors MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Addition and subtraction of vectors - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

हमें दो सदिश दिए गए हैं जिनके परिमाण A = 3 इकाई और B = 4 इकाई हैं। उनके परिणामी का परिमाण 1 इकाई दिया गया है। हमें उनके क्रॉस उत्पाद के परिमाण का निर्धारण करने की आवश्यकता है।

दो सदिशों A और B के परिणामी R का परिमाण, जिनके बीच कोण \(\theta\) है, निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB\cos\theta}\)

\(1 = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2(3)(4)\cos\theta}\)

\(1 = \sqrt{9 + 16 + 24\cos\theta}\)

\(1 = \sqrt{25 + 24\cos\theta}\)

\(1^2 = 25 + 24\cos\theta\)

\(1 - 25 = 24\cos\theta\)

\(-24 = 24\cos\theta\)

\(\cos\theta = -1\)

इसका अर्थ है कि कोण \(\theta = 180^\circ\).

दो सदिशों के क्रॉस उत्पाद का परिमाण निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(| A \times B | = AB \sin\theta\)

चूँकि \(\sin 180^\circ = 0\):

\(| A \times B | = (3)(4) \times 0 = 0\)

इस प्रकार, विकल्प '4' सही है।

गणना:

\(\begin{aligned} & \overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{A B} \\ & \overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{A C} \\ & \overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{A D} \\ & \overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{A E} \\ & \overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O F}=\overrightarrow{A F}\\ & \overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O G}=\overrightarrow{A G} \\ & \overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O H}=\overrightarrow{A H} \\ & \overline {8 \overrightarrow{A O}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{A G}+\overrightarrow{A H} \end{aligned}\)

⇒ \(\vec{AO}\)= \(8(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k})\)

\(⇒ \vec{AO}\)= \(16 \hat{i}+24 \hat{j}-32 \hat{k}\)

∴ सदिशों के योग का अंतिम परिणाम \(16 \hat{i}+24 \hat{j}-32 \hat{k}\) है।

विकल्प(4)

अवधारणा:

• वर्षा-व्यक्ति की समस्या सदिश योग के त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज के नियम पर आधारित होती है।

सदिश योग का त्रिभुज नियम:

• यदि दो सदिशों को एक ही क्रम में लिए गए त्रिभुज की दोनों भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा दोनों में निरूपित किया जा सकता है तो उनका परिणामी, त्रिभुज की विपरीत क्रम में ली गई तीसरी भुजा द्वारा परिमाण और दिशा दोनों में पूर्ण रूप से निरूपित किया जायेगा । 
• योग के सदिश नियम द्वारा सदिशों को ज्यामितीय रूप से जोड़ा जा सकता है।

योग का सदिश नियम:

परिणामी R होगा-

R= \(\sqrt{A^2+B^2 +2ABcosθ }\)

गणना

वर्ष का वेग, \( \vec{v_r}\) = \(\vec {OA}\) = 15 ms^-1 (ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर )

वायु का वेग, \(\vec{v_w}\) = \(\vec{OB}\) = 20 ms^-1 (पूर्व से पश्चिम)

 ​

सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार:

परिणामी R को इस प्रकार दिया गया है

R = \(\vec {V_R}\) = \(\sqrt{A^2+B^2 +2ABcosθ }\) 

\(\vec {v_w}\) और  \(\vec{v_r}\) के बीच कोण cos90° (cos90 = 0) है 

\(\vec{V_R}= \sqrt{ v_r^2+v_w^2}=\sqrt{15^2+20^2}\) = 25 ms^-1 

• अतः परिणामी वेग \(\vec {V_R }\) का परिमाण 25 ms^-1 है

संकल्पना:

बलों के समांतर चतुर्भुज का नियम

इस नियम का उपयोग एक बिंदु पर कार्यरत दो समतलीय बलों के परिणाम को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

इसमें कहा गया है कि "यदि एक बिंदु पर कार्यरत दो बलों को समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न पक्षों द्वारा परिमाण और दिशा में दर्शाया जाता है, तो उनके परिणाम को परिमाण और दिशा में समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दर्शाया जाता है जो कि सामान्य बिंदु से गुजरता है।"

दो बल F1 और F2 जो बिंदु O पर कार्यरत हैं, उन्हे परिमाण और दिशा में, एक दूसरे के साथ  θ कोण पर प्रवृत्त निर्देशित रेखा OA और OB द्वारा दर्शाया जाता है।

तब यदि समांतर चतुर्भुज OACB पूरा हो जाता है,तो परिणामी बल R को विकर्ण OC द्वारा दर्शाया जाएगा।

\(R = \sqrt {F_1^2 + F_2^2 + 2{F_1}{F_2}cos\theta } \)

स्पष्टीकरण:

दिया गया है कि दो बल F₁ & F₂ एक दूसरे के बराबर और विपरीत हैं तो 

F₁ = F₂

 F₁ और F₂  के बीच का कोण_, θ = 180°

इसलिए, बलों के समांतर चतुर्भुज का नियम लागू करने से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं

\(R = \sqrt {F_1^2 + F_2^2 + 2{F_1}{F_2}cos180^\circ } \)

\(\therefore R = \sqrt {2F_1^2 + 2F_1^2 \times \left( { - 1} \right)}\)      ...(∵ cos 180° = -1)

\(\therefore R = \sqrt {2F_1^2 - 2F_1^2}\)

⇒ R = 0 N

गणना:

प्रश्नानुसार,

\(|\vec {P}+\vec {Q} |=| \vec {P}|\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

P2 + Q2 + 2\(\vec {P}.\vec {Q}\) = P2

⇒ Q2 + 2\(\vec {P}.\vec {Q}\) = 0

हम जानते हैं कि, \(\vec {A}.\vec {B} = AB\ cos\ θ\)

इसलिए,

Q2 + 2PQ cos θ = 0

⇒ Q + 2P cos θ = 0        -----(1)

tan α = (2P sin θ) / (2P cos θ + Q)

tan α = (2P sin θ) / 0      [समीकरण (1) का उपयोग करने पर]

α = 90°

बलों का समांतर चतुर्भुज का नियम:

इस नियम का उपयोग एक बिंदु पर काम करने वाले दो समतलीय बलों के परिणाम को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

इसके अनुसार यदि दो बल, जो एक बिंदु पर कार्य करते हैं, समानांतर चतुर्भुज के दो आसन्न भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा के रूप मे दर्शाये जाते हैं तो उनके परिणामी को दो आसन्न बलों के बीच में निहित समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा परिमाण और दिशा के रूप में दर्शाया जाएगा, जो कि एक उभयनिष्ठ बिंदु से होकर गुजरता है।"

मान लीजिए एक दूसरे के साथ कोण θ पर झुकी हुई निर्देशित रेखा OA और OB द्वारा परिमाण और दिशा में निरूपित दो बल F1 और F2, बिंदु O पर कार्य कर रहे हैं।

तब यदि समांतर चतुर्भुज OACB पूरा हो जाता है, परिणामी बल R को विकर्ण OC द्वारा दर्शाया जाएगा।

\({\rm{R}} = \sqrt {{\rm{F}}_1^2 + {\rm{F}}_2^2 + 2{{\rm{F}}_1}{{\rm{F}}_2}\cos {\rm{\theta }}}\)

गणना:

F1 = 3 kN, F2 = 4 kN, θ = 60° 

FR = (32 + 42 + 2 × 3 × 4 cos 60)1/2

FR = 6.08 kN

विकल्प(4)

अवधारणा:

• वर्षा-व्यक्ति की समस्या सदिश योग के त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज के नियम पर आधारित होती है।

सदिश योग का त्रिभुज नियम:

• यदि दो सदिशों को एक ही क्रम में लिए गए त्रिभुज की दोनों भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा दोनों में निरूपित किया जा सकता है तो उनका परिणामी, त्रिभुज की विपरीत क्रम में ली गई तीसरी भुजा द्वारा परिमाण और दिशा दोनों में पूर्ण रूप से निरूपित किया जायेगा । 
• योग के सदिश नियम द्वारा सदिशों को ज्यामितीय रूप से जोड़ा जा सकता है।

योग का सदिश नियम:

परिणामी R होगा-

R= \(\sqrt{A^2+B^2 +2ABcosθ }\)

गणना

वर्ष का वेग, \( \vec{v_r}\) = \(\vec {OA}\) = 15 ms^-1 (ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर )

वायु का वेग, \(\vec{v_w}\) = \(\vec{OB}\) = 20 ms^-1 (पूर्व से पश्चिम)

 ​

सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार:

परिणामी R को इस प्रकार दिया गया है

R = \(\vec {V_R}\) = \(\sqrt{A^2+B^2 +2ABcosθ }\) 

\(\vec {v_w}\) और  \(\vec{v_r}\) के बीच कोण cos90° (cos90 = 0) है 

\(\vec{V_R}= \sqrt{ v_r^2+v_w^2}=\sqrt{15^2+20^2}\) = 25 ms^-1 

• अतः परिणामी वेग \(\vec {V_R }\) का परिमाण 25 ms^-1 है

विकल्प (1)

अवधारणा:

• बलों के समांतर चतुर्भुज का नियम: इस नियम का उपयोग एक बिंदु पर कार्य करने वाले दो समतलीय बलों के परिणामी को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
  • इसके अनुसार "यदि एक बिंदु पर कार्य करने वाले दो बलों को एक समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा में दर्शाया जाता है, तो उनके परिणाम को उस सांझे बिंदु से गुजरने वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा परिमाण और दिशा में दर्शाया जाता है।"

• मान लीजिए कि दो बल F₁ और F₂, बिंदु O पर कार्य कर रहे है, परिमाण और दिशा में, एक दूसरे के साथ कोण θ पर झुकी हुई निर्देशित रेखा OA और OB द्वारा निरूपित किए जाते हैं।

फिर यदि समांतर चतुर्भुज OACB पूरा हो जाता है, तो परिणामी बल R को विकर्ण OC द्वारा दर्शाया जाएगा।

\(R = \sqrt {F_1^2 + F_2^2 + 2{F_1}{F_2}cos\theta } \)

\(tan\alpha =\frac{F_{2}sinθ }{F_{1} + F_{2}cosθ }\)

व्याख्या:

यहाँ F1 = A और F2 = B

इसलिए कोण, \(tan\beta =\frac{Bsin\theta }{A + Bcos\theta }\)

अवधारणा:

• सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम: इसका उपयोग दो सदिश राशियों को जोड़ने के लिए किया जाता है।

R2 = A2 + B2 +2ABcosθ 

जहाँ A और B दो सदिश राशियाँ हैं; θ = दो सदिश राशियों के बीच का कोण

tan α = (Bsinθ)/(A + Bcosθ)  

जहाँ α परिणामी और सदिश के बीच का कोण है

गणना 

दिया गया है कि:

VB = 8 Km/h; VBR = 10 Km/h

जहाँ V_B = नाव का वेग; VBR = नाव और नदी का परिणामी वेग; VR = नदी का वेग

नदी के वेग और नाव के वेग के बीच का कोण 90° है; θ = 90°

सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा

VBR2 = VB2 + VR2 + (2VBVRcosθ)

102 = 82 + VR2 + (2 × 8 × VR ×  cos(90°))

VR2 = 100 - 64 

VR = 6 Km/h

अतः विकल्प 1 सही है।

Mistake Points

• कोण का मान हमेशा डिग्री में रखें।

सही उत्तर विकल्प 1) अर्थात 45∘ है।   

संकल्पना:

• सदिश जोड़ का त्रिभुज नियम: यह बताता है कि जब दो सदिशों को परिमाण और दिशा के क्रम के साथ त्रिभुज की दो भुजाओं के रूप में दर्शाया जाता है, तो त्रिभुज की तीसरी भुजा परिणामी सदिश के परिमाण और दिशा को दर्शाती है।

​​

परिणामी सदिश के परिमाण और दिशा की गणना निम्न रूप में की गयी है:

\(\vec{R} =\vec{P} + \vec{Q}\)

R का परिमाण = \(\sqrt{P^2 + Q^2 +2PQcosθ}\)

परिणामी की दिशा, \(\phi = tan^{-1}(\frac{Qsinθ}{P + Qcosθ})\)

गणना:

दिया गया है कि:

परिणामी R का परिमाण = √10F

माना कि दो बल P = 2F और Q = √2F है। 

दो बलों के बीच का कोण θ है। 

\(\sqrt{P^2 + Q^2 +2PQcosθ} = R\)

\(\sqrt{(2F)^2 + (√2 F)^2 +2(2F)(√2 F)cosθ} = √10 F\)

\(⇒ 4√2F^2cosθ = 4F^2\)

\(⇒ cosθ = \frac{1}{\sqrt2}\)

⇒ θ = 45∘

संकल्पना:

सदिश:

• यह एक भौतिक मात्रा है, जिसके दो स्वतंत्र गुण परिमाण और दिशा हैं। 
• यह शब्द ऐसी मात्रा के गणितीय या ज्यामितीय निरूपण को भी दर्शाता है।
• प्रकृति में सदिशों के उदाहरण वेग, संवेग, बल, विद्युत चुंबकीय क्षेत्र और भार हैं।

सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम

• सदिश योग को समांतर चतुर्भुज के नियम द्वारा भी समझा जा सकता है।
• नियम कहता है, "यदि एक बिंदु पर एक साथ काम करने वाले दो सदिश एक बिंदु से खींचे गए समांतर चतुर्भुज के दो पक्षों द्वारा परिमाण और दिशा में दर्शाए जाते हैं, तब उनका परिणाम उस बिंदु से गुजरने वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा परिमाण और दिशा में दिया जाता है।”

• परिणामी का परिमाण \(R=\sqrt{A^2+B2^2+2ABcosθ} \) द्वारा दिया जाता है, जहाँ A और B सदिश हैं, θ = दो सदिशों A और B के बीच का कोण है।

गणना:

यहाँ, F1 = 5N, F2 = 5N, कोण, θ = 180º - 60º = 120º

परिणामी बल की गणना इस प्रकार की जा सकती है,

\(R=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2cosθ} \)

\(R=\sqrt{5^2+5^2+2\times 5\times 5cos120}= 5N\)

अतः परिणामी बल 5N है।

•   गति: वह दर जिस पर किसी विशेष अवधि में किसी निकाय ने एक दूरी तय की है। यह एक अदिश राशि है। गति की S.I इकाई मीटर प्रति सेकंड है।
• वेग: किसी निकाय का वेग निर्देश तंत्र एक सीमा के संबंध में अपनी स्थिति को बदलने की दर है, और यह समय का एक फलन है। वेग की S.I इकाई मीटर प्रति सेकंड है।
• वेग के दो घटक हैं: क्षैतिज घटक v_x, ऊर्ध्वाधर घटक v_y

⇒ v² = v_x² + v_y²

गणना:

चूंकि  x = αt³

\(\therefore {v_x} = \frac{{dx}}{{dt}} = 3\alpha {t^2}\)

एवं , y = βt³

\(\begin{array}{l} \therefore {v_y} = \frac{{dy}}{{dt}} = 3\beta {t^2}\\ \Rightarrow v = \sqrt {v_x^2 + \nu _y^2} = 3{t^2}\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \end{array}\)

तो विकल्प 2 सही है।

विकल्प (1)

संकल्पना:

• सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार यदि दो सदिशों को समान क्रम में लिए गए त्रिभुज की दो भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा दोनों में निरूपित किया जाता है, तो उनके परिणामी को सम्पूर्ण रूप से, दोनों दिशा और परिमाण में विपरीत दिशा में ली गई त्रिभुज की तीसरी भुजा के रूप में निरुपित किया जा सकता है।
  • योग के सदिश नियम द्वारा सदिशों को ज्यामितीय रूप से जोड़ा जा सकता है।

योग का सदिश नियम:

परिणामी R को इस प्रकार दिया गया है

R= \(\sqrt{A^2+B^2 +2ABcosθ }\)

व्याख्या:

• मान लीजिए कि बिंदु O पर कार्य करने वाले दो बल F₁ और F₂, परिमाण और दिशा में, एक दूसरे के साथ कोण θ पर झुकी हुई निर्देशित रेखा OA और OB द्वारा दर्शाए जाते हैं।

फिर यदि समांतर चतुर्भुज OACB पूरा हो जाता है, तो परिणामी बल R को विकर्ण OC द्वारा दर्शाया जाएगा।

\(R = \sqrt {F_1^2 + F_2^2 + 2{F_1}{F_2}cos\theta } \)

F1 के लिए tanα और F2 के लिए कोण होगा-

\(tanα =\frac{F_{2}sinθ }{F_{1} + F_{2}cosθ }\)

संकल्पना:

• घटकों में सदिशों का विभाजन: हमारे पास एक सदिश (F) है जहां सदिश का परिमाण F है और क्षैतिज के साथ कोण θ है।

सदिश के दो घटक होते हैं: 1. ऊर्ध्वाधर घटक और 2. क्षैतिज घटक

ऊर्ध्वाधर घटक (F_y) = F Sinθ

क्षैतिज घटक (F_x) = F Cosθ 

जहाँ, \(F = \sqrt {F_x^2 + F_y^2} \)

tanθ = F_y/F_x

गणना:

माना लागू बल Fx का x- घटक |P| = 4 N

लागू बल Fy का y- घटक |Q| = 3 N

सदिश एक दूसरे के लंबवत हैं

इन सदिश के परिणामी हैं -

\(\left| {P + Q} \right| = \sqrt {{P^2} + {Q^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\;N\)

इसलिए सही विकल्प 5 N है

सही उत्तर विकल्प "1" है।

अवधारणा:

सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम:

• यदि दो सदिश एक बिंदु पर एक साथ कार्य कर रहे हैं, तो इसे समान्तर चतुर्भुज की आसन्न भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा दोनों में दर्शाया जा सकता है।
• परिणामी सदिश को उस समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दिशा और परिमाण दोनों में पूरी तरह से दर्शाया जाता है।

• परिणामी सदिश का परिमाण इस प्रकार दिया गया है,

जहाँ P और Q = दो सदिशों का परिमाण, θ = P और Q के बीच का कोण

गणना:

दिया गया A = B = 5 N, और θ = 60°

• परिणामी सदिश का परिमाण इस प्रकार दिया गया है,

-----(1)

= 8.66 N

तो, उस द्रव्यमान बिंदु पर कार्यशील निवल बल का परिमाण 8.6 N के करीब है।