निम्न में से कौन-सा कथन सत्य है?

Question

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This question was previously asked in

CSIR-UGC (NET) Mathematical Science: Held on (26 Nov 2020)

\(\mathbb{R}^2\) से \(\mathbb{R}\) तक अधिक से अधिक गणनीय रूप से अनेक संतत प्रतिचित्र हैं।
\(\mathbb{R}^2\) से \(\mathbb{R}\) तक अधिक से अधिक परिमित रूप से अनेक संतत आच्छादी प्रतिचित्र हैं।
\(\mathbb{R}^2\) से \(\mathbb{R}\) तक अपरिमित रूप से अनेक संतत एकैक प्रतिचित्र हैं।
\(\mathbb{R}^2\) से \(\mathbb{R}\) तक अधिक कोई संतत एकैकी आच्छादी प्रतिचित्र नहीं हैं।

Answer 1

व्याख्या:

मान लीजिए f: ℝ² → ℝ, f(x, y) = cx, c ∈ ℝ\{0} द्वारा परिभाषित है, तो f एक संतत फलन है।

(1) और (2) असत्य हैं।

यदि संभव हो तो मान लीजिए अपरिमित रूप से अनेक संतत एकैकी प्रतिचित्र f: ℝ² → ℝ हैं।

तब यह एक संयोजी समुच्चय को एक संबद्ध समुच्चय में प्रतिचित्रित करेगा।

यदि हम f पर विचार करें जहाँ f(0) = c, c ∈ ℝ\{0}, तो

f(ℝ\{0}) = (-∞, c) ∪ (c, ∞), जो संबद्ध नहीं है। इसलिए, हमें एक विरोधाभास प्राप्त होता है।

(3) असत्य है।

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

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