{En} को $R$ के उपसमुच्चयों का अनुक्रम मानें।

मानें कि

$\underset{n}{lim sup} E_{n} = ⋂_{k = 1}^{\infty} ⋃_{n = k}^{\infty} E_{n}$

$\underset{n}{lim inf} E_{n} = ⋃_{k = 1}^{\infty} ⋂_{n = k}^{\infty} E_{n}$

निम्न कथनों में से कौन-सा सत्य है?

Question

Question

This question was previously asked in

CSIR-UGC (NET) Mathematical Science: Held on (26 Nov 2020)

Answer 1

संप्रत्यय -

(i) यदि अनुक्रम x_n अभिसारी है, तो limsupn En = liminfn En

गणना:

मान लीजिये {En} R का एक उपसमुच्चयों का अनुक्रम है

$\underset{n}{lim sup} E_{n} = ⋂_{k = 1}^{\infty} ⋃_{n = k}^{\infty} E_{n}$ और

$\underset{n}{lim inf} E_{n} = ⋃_{k = 1}^{\infty} ⋂_{n = k}^{\infty} E_{n}$

विकल्प 1 के लिए, यदि अभिसारी है तो limsupn En = liminfn En

विकल्प 1 गलत है

x $\in$ $\cap$ A_i का अर्थ है x ∈ A_i

x $\in$ $\cap$ ( $\cup$ E_n )

x $\in$ $\cup$ E_n ( परिमित )

इसलिए विकल्प (2) और (4) गलत हैं

इसलिए विकल्प (3) सही है