दी गई श्रेढ़ियों S1 और S2 के मध्य सभी उभयनिष्ठ पदों का योग क्या है?

S1 = 2, 9, 16, .........., 632

S2 = 7, 11, 15, .........., 743

दिया है:

दो श्रेढ़ियाँ अर्थात् S1 और S2 दी गई हैं।

प्रयुक्त सूत्र:

a_n = a + ( n - 1 ) d 

S_n = n/2 [2a + (n - 1) d ] 

जहाँ,

श्रेढ़ी में a_n = nवां पद, n = पदों की संख्या, a = श्रेढ़ी में पहला पद, d = सार्व अंतर, Sn = योग

गणना:

यहाँ, श्रेढ़ी S1 और S2 समान्तर श्रेणी में हैं।

इसलिए, श्रेढ़ी एक निश्चित सार्व अंतर (दूसरा पद - पहला पद) को क्रमागत पदों में जोड़कर आगे बढ़ेगी

S1 = 2 , 9 , 16 , 23, 30 , 37 , 44 , 51 ,........ 632    [चूँकि यहाँ d = 7, इसलिए, अगला पद प्राप्त करने के लिए पिछले पद में 7 जोड़ना है ]

S2 = 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51 , ......... 743  [यहाँ d = 4 ] 

अब, हम एक तीसरी श्रेढ़ी S3 लेते हैं जो उभयनिष्ठ श्रेढ़ी है [इसमें केवल दोनों श्रेढ़ियों की उभयनिष्ठ संख्याएँ होंगी]

इसलिए, S1 और S2 श्रेढ़ी से, यहाँ पहला उभयनिष्ठ पद = 23, दूसरा उभयनिष्ठ पद = 51, d = (51 - 23) = 28 है

इसलिए, तीसरा पद प्राप्त करने के लिए दूसरे पद में 28 जोड़ें और इसी प्रकार आगे

S3 = 23 , 51 , ..................   632            [चूंकि, 632, 743 से कम है इसलिए उनके बीच उभयनिष्ठ 632 से कम होना चाहिए]

अब, यहाँ a = 23, d = 28 है

⇒ a_n = a + ( n - 1) d     632 

⇒ 23 + ( n - 1) × 28  632 

⇒ ( n -  1) × 28    ( 632 - 23 ) 

⇒ ( n - 1) × 28   609 

⇒ n -1  609 /28 

⇒ n - 1  21.75 

⇒ n  22 .75

जैसा कि n को 22.75 के बराबर या उससे कम होना चाहिए। अतः, n = 22 लें 

अब, जैसा कि हम जानते हैं कि, 

Sn = n/2 [2a + (n - 1) d]

⇒ Sn = 22/2 [2 × 23 + (22 - 1) 28] = 11 [46 + 21 × 28 ]

⇒ 11 [46 + 588 ] = 11 × 634 = 6974

इसलिए, श्रेढ़ी के सभी उभयनिष्ठ पदों का योग 6974 है।