किसी भी असतत समय प्रणाली की कुल प्रतिक्रिया को _____ के रूप में विघटित किया जा सकता है।

व्याख्या:

असतत समय प्रणालियों में कुल प्रतिक्रिया का विघटन

परिभाषा: असतत-समय प्रणालियों के संदर्भ में, इनपुट के लिए प्रणाली की कुल प्रतिक्रिया को विशिष्ट घटकों में विघटित किया जा सकता है जो प्रणाली के व्यवहार का विश्लेषण और समझने में मदद करते हैं। यह विघटन असतत-समय प्रणालियों के विश्लेषण और डिजाइन को सरल बनाने के लिए महत्वपूर्ण है, खासकर जब रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (LTI) प्रणालियों से निपटा जा रहा हो।

सही विकल्प विश्लेषण:

सही विकल्प है:

विकल्प 2: कुल प्रतिक्रिया = शून्य-स्थिति प्रतिक्रिया + शून्य-निवेश प्रतिक्रिया

यह विकल्प असतत-समय प्रणाली की कुल प्रतिक्रिया के विघटन का सही वर्णन करता है। किसी भी असतत-समय LTI प्रणाली की कुल प्रतिक्रिया (y[n]) को दो प्राथमिक घटकों में विभाजित किया जा सकता है: शून्य-स्थिति प्रतिक्रिया (y_zs[n]) और शून्य-निवेश प्रतिक्रिया (y_zi[n])।

शून्य-स्थिति प्रतिक्रिया (y_zs[n])

शून्य-स्थिति प्रतिक्रिया प्रणाली की प्रतिक्रिया का वह भाग है जो केवल इनपुट सिग्नल के कारण होता है, यह मानते हुए कि प्रणाली की प्रारंभिक स्थितियां शून्य हैं। यह इनपुट सिग्नल (x[n]) के प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया (h[n]) के साथ कनवल्शन द्वारा निर्धारित किया जाता है। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

y_zs[n] = x[n] * h[n]

जहाँ '*' कनवल्शन ऑपरेशन को दर्शाता है।

शून्य-निवेश प्रतिक्रिया (y_zi[n])

शून्य-निवेश प्रतिक्रिया प्रणाली की प्रतिक्रिया का वह भाग है जो केवल प्रारंभिक स्थितियों के कारण होता है, जिसमें प्रणाली पर कोई बाहरी इनपुट लागू नहीं होता है। यह प्रणाली के प्राकृतिक व्यवहार को दर्शाता है क्योंकि यह अपनी स्वयं की प्रारंभिक ऊर्जा का जवाब देती है। यह प्रतिक्रिया प्रणाली के अभिलक्षणिक समीकरण द्वारा नियंत्रित होती है और प्रणाली से जुड़े सजातीय अंतर समीकरण को हल करके पाई जा सकती है।

y_zi[n] = अंतर समीकरण का सजातीय हल

प्रतिक्रियाओं का संयोजन

प्रणाली की कुल प्रतिक्रिया शून्य-स्थिति प्रतिक्रिया और शून्य-निवेश प्रतिक्रिया का योग है:

y[n] = y_zs[n] + y_zi[n]

यह विघटन फायदेमंद है क्योंकि यह इंजीनियरों और सिस्टम डिज़ाइनरों को इनपुट सिग्नल और प्रारंभिक स्थितियों के प्रभाव का अलग से विश्लेषण करने की अनुमति देता है। इन घटकों को समझकर, कोई प्रणाली के व्यवहार में गहरी अंतर्दृष्टि प्राप्त कर सकता है और अधिक प्रभावी नियंत्रण रणनीतियाँ डिज़ाइन कर सकता है।

अतिरिक्त जानकारी

विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: कुल प्रतिक्रिया = शून्य-निर्गत प्रतिक्रिया

यह विकल्प गलत है क्योंकि "शून्य-निर्गत प्रतिक्रिया" शब्द असतत-समय प्रणालियों के विश्लेषण में उपयोग किया जाने वाला एक मानक शब्द नहीं है। सही घटक शून्य-स्थिति प्रतिक्रिया और शून्य-निवेश प्रतिक्रिया हैं।

विकल्प 3: कुल प्रतिक्रिया = आवेग प्रतिक्रिया + रैंप प्रतिक्रिया

यह विकल्प गलत है क्योंकि आवेग प्रतिक्रिया और रैंप प्रतिक्रिया विशिष्ट इनपुट सिग्नल (क्रमशः एक आवेग सिग्नल और एक रैंप सिग्नल) के लिए विशिष्ट प्रकार की प्रतिक्रियाएँ हैं। वे सामान्य अर्थों में कुल प्रतिक्रिया विघटन के घटक नहीं हैं।

विकल्प 4: कुल प्रतिक्रिया = आवेग प्रतिक्रिया + सोपान प्रतिक्रिया

यह विकल्प विकल्प 3 के समान कारणों से गलत है। आवेग प्रतिक्रिया और सोपान प्रतिक्रिया क्रमशः आवेग और सोपान इनपुट के लिए विशिष्ट प्रतिक्रियाएँ हैं। वे असतत-समय प्रणाली की कुल प्रतिक्रिया के सामान्य विघटन का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं।

निष्कर्ष:

असतत-समय प्रणालियों की कुल प्रतिक्रिया के शून्य-स्थिति प्रतिक्रिया और शून्य-निवेश प्रतिक्रिया में विघटन को समझना इन प्रणालियों के विश्लेषण और डिजाइन के लिए मौलिक है। यह विघटन इनपुट सिग्नल और प्रारंभिक स्थितियों के प्रभावों के स्पष्ट पृथक्करण की अनुमति देता है, जिससे प्रणाली के व्यवहार की अधिक व्यापक समझ को बढ़ावा मिलता है। इन घटकों की सही पहचान करके, इंजीनियर विभिन्न अनुप्रयोगों में असतत-समय प्रणालियों के प्रदर्शन की बेहतर भविष्यवाणी और नियंत्रण कर सकते हैं।