दो विमाओं में किसी क्वांटम सरल आवर्ती दोलक के दोलन की कोणीय आवृत्ति ω है । यदि यह तापमान T एक बाह्य ऊष्मीय कुंड से संपर्क में है तो इसका विभाजक फलन है (नीचे β = \(\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{k}}_{\rm{B}}}{\rm{T}}}}\) है)

संप्रत्यय:

विभाजन फलन ऊष्मागतिक अवस्था चरों, जैसे तापमान और आयतन के फलन होते हैं।

गणना:

E_n = (n+1)hω

दिया गया क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर द्वि-आयामी है

∴ n = n_x + n_y

निकाय का विभाजन फलन है

z = ∑ (n+1)exp-(n+1)hω

जहाँ अपभ्रंश = (n+1)

z = exp(-hω)+2exp(-2hω)+3exp(-3hω)+...

= \({e^{-\beta h\omega}\over1- e^{-\beta h\omega}} + {e^{-2\beta h\omega}\over (1- e^{-2\beta h\omega})^2}\)

= \({e^{-\beta h\omega} (1-e^{-\beta h\omega})+ e^{-2\beta h\omega}\over(1-e^{-\beta h\omega})^2}\)

= \({e^{\beta h\omega}\over (e^{\beta h\omega}-1)^2}\)

सही उत्तर विकल्प (2) है।