यदि X और Y दो यादृच्छिक चर हैं, जिनका घनत्व फलन

$f (x, y) = {\begin{matrix} \frac{(6 - x - y)}{8}, 0 < x < 2, 2 < y < 4 \\ 0, e l s e w h e r e \end{matrix}$ है, तो P(X + Y < 3) किसके बराबर है?

Question

Question

Download Solution PDF

यदि X और Y दो यादृच्छिक चर हैं, जिनका घनत्व फलन

$f (x, y) = {\begin{matrix} \frac{(6 - x - y)}{8}, 0 < x < 2, 2 < y < 4 \\ 0, e l s e w h e r e \end{matrix}$ है, तो P(X + Y < 3) किसके बराबर है?

This question was previously asked in

SSC CGL Tier-II (JSO) 2022 Official Paper (Held On: 4 March 2023)

Download PDF Attempt Online

View all SSC CGL Papers >

$\frac{3}{24}$
$\frac{1}{24}$
$\frac{3}{8}$
$\frac{5}{8}$

Answer 1

सही विकल्प 2 है।

विस्तृत हल:

अवधारणा:

दो यादृच्छिक चर X और Y के संयुक्त संचयी फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$F_{X Y} = P (X < x, Y < y)$

संयुक्त CDF निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

$F_{X} (y) = F_{X Y} (\in f t y, Y)$ , किसी भी y के लिए (Y का सीमांत CDF)

$F_{X} (x) = F_{X Y} (X, \in f t y)$ , किसी भी x के लिए (X का सीमांत CDF)
$F_{X Y} (\in f t y, \in f t y) = 1$
$F_{X Y} (x, - \in f t y) = F_{X Y} (- \in f t y, y) = 0$
P(x1 < X < x2, y1 < Y < y2) = FXY(x2, y2) - FXY(x1, y2) - FXY(x2, y1) + FXY(x1, y1)
यदि X और Y स्वतंत्र हैं, तो FXY(x, y) = FXY(x) FXY(y)

दो यादृच्छिक चर X और Y संयुक्त रूप से सतत हैं, यदि एक गैर-ऋणात्मक फलन fXY : ℝ2 → ℝ का अस्तित्व इस प्रकार है कि किसी भी समुच्चय A ∈ ℝ2 के लिए, हमें प्राप्त है:

$P ((X, Y) \in A) = \iint_{A} f_{X Y} (x, y) d x d y (5.15)$

फलन fXY(x, y) को X और Y का संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) कहा जाता है। सीमांत (PDF)

$f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X Y} (x, y) d y, f o r a l l x$

$f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X Y} (x, y) d y, f o r a l l y$

गणना:

f (x, y) = {\begin{matrix} \frac{(6 - x - y)}{8}, 0 < x < 2, 2 < y < 4 \\ 0, e l s e w h e r e \end{matrix}

P(X + Y < 3) =

\in t_{y = 2}^{y = 4} \in t_{x = 0}^{x = 3 - y} f (x, y) d x d y

P(X + Y < 3) =

\in t_{y = 2}^{y = 4} \in t_{x = 0}^{x = 3 - y} (\frac{(6 - x - y)}{8}) d x d y

P (X + Y < 3) = \int_{y = 2}^{y = 4} \int_{x = 0}^{x = 3 - y} (\frac{6 - x - y}{8}) d x d y

= \frac{1}{8} \int_{y = 2}^{y = 4} \int_{x = 0}^{x = 3 - y} (6 - x - y) d x d y

= \frac{1}{8} \int_{y = 2}^{y = 4} {(6 x - \frac{x^{2}}{2} - x y)}_{x = 0}^{x = 3 - y} d y

= \frac{1}{8} \int_{y = 2}^{y = 4} {6 (3 - y) - \frac{(3 - y)^{2}}{2} - (3 - y) y} d y

= \frac{1}{8} \int_{y = 2}^{y = 4} {(18 - 6 y) - (\frac{9}{2} - 3 y + \frac{y^{2}}{2}) - (3 y - y^{2})} d y

= \frac{1}{8} \int_{y = 2}^{y = 4} (\frac{27}{2} - 6 y + \frac{y^{2}}{2}) d y

= \frac{1}{8} {\frac{27}{2} y - 3 y^{2} + \frac{y^{3}}{6}}_{y = 2}^{y = 4}

= \frac{1}{8} {\frac{27}{2} (4 - 2) - 3 (16 - 4) + \frac{1}{6} (64 - 8)}

= \frac{1}{8} {27 - 36 + \frac{28}{3}}

= \frac{1}{24}

Download Solution PDF

Question

यदि X और Y दो यादृच्छिक चर हैं, जिनका घनत्व फलन

$f (x, y) = {\begin{matrix} \frac{(6 - x - y)}{8}, 0 < x < 2, 2 < y < 4 \\ 0, e l s e w h e r e \end{matrix}$ है, तो P(X + Y < 3) किसके बराबर है?

Answer (Detailed Solution Below)

Detailed Solution

More Statistics Questions

More Mathematics Questions

Question

यदि X और Y दो यादृच्छिक चर हैं, जिनका घनत्व फलन f(x,y)={(6−x−y)8,0<x<2,2<y<4 0,elsewhere है, तो P(X + Y < 3) किसके बराबर है?

Answer (Detailed Solution Below)

Detailed Solution

More Statistics Questions

More Mathematics Questions

यदि X और Y दो यादृच्छिक चर हैं, जिनका घनत्व फलन

$f (x, y) = {\begin{matrix} \frac{(6 - x - y)}{8}, 0 < x < 2, 2 < y < 4 \\ 0, e l s e w h e r e \end{matrix}$ है, तो P(X + Y < 3) किसके बराबर है?