यदि a, b ∈ \(\mathbb{R}\) हों और मानें कि

p(x, y) = a2x1 y1 + abx2y1 + abx1y2 + b²x2y2, x =(x1, x2), y = (y1, y2) ∈ \(\mathbb{R}\)2.

तब a तथा b के किन मानों के लिए, p ∶ \(\mathbb{R}\)2 x \(\mathbb{R}\)2 → \(\mathbb{R}\) आंतरिक गुणनफल को परिभाषित करता है?

व्याख्या:

∵ p(x, y) एक द्विरैखिक रूपांतरण है। तब p(x, y) का मैट्रिक्स निरूपण है,

\(A=\left[\begin{array}{ll} a^2 & a b \\ a b & b^2 \end{array}\right]\)

यदि p(x, y) एक आंतरिक गुणनफल को परिभाषित करता है यदि A धनात्मक निश्चित है अर्थात A के सभी आइगेन मान धनात्मक हैं।

लेकिन det (A) = 0 ⇒ सभी आइगेन मान धनात्मक नहीं हो सकते।

(∵ A का कम से कम एक आइगेन मान)

⇒ A धनात्मक निश्चित नहीं है।

⇒ p(x, y) a, b के किसी भी मान के लिए आंतरिक गुणनफल को परिभाषित नहीं करता है।

विकल्प (4) सही है