Question
Download Solution PDFनियंत्रण प्रणाली की स्थिरता से संबंधित निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
1. दाहिने आधे तल (rhp) में ध्रुव शुद्ध घातीय क्षयकारी प्राकृतिक प्रतिक्रिया उत्पन्न करते हैं।
2. यदि एक से अधिक गुणन वाले ध्रुव काल्पनिक अक्ष पर मौजूद हैं तो प्रणाली सीमांत रूप से स्थिर है।
3. यदि एक ध्रुव दाहिने-आधे तल में मौजूद है तो प्रणाली अस्थिर है।
4. एक प्रणाली स्थिर है यदि प्राकृतिक प्रतिक्रिया शून्य के करीब पहुंचती है जैसे जैसे समय अनंत तक पहुंचता है।
उपरोक्त में से कौन सा/से कथन सही नहीं है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
स्थिरता परिभाषा:
- एक प्रणाली स्थिर होती है यदि प्राकृतिक प्रतिक्रिया शून्य के करीब पहुंचती है जैसे जैसे समय अनंत तक पहुंचता है।
- एक प्रणाली अस्थिर है यदि प्राकृतिक प्रतिक्रिया अनंत तक पहुंचती है जैसे जैसे समय अनंत तक पहुंचता है।
- एक प्रणाली सीमांत रूप से स्थिर होती है यदि प्राकृतिक प्रतिक्रिया न तो घटती है और न ही बढ़ती है, लेकिन स्थिर रहती है या एक सीमा के भीतर दोलन करती है।
BIBO स्थिरता:
- एक प्रणाली स्थिर होती है यदि प्रत्येक परिबद्ध इनपुट एक परिबद्ध आउटपुट देता है।
- एक प्रणाली अस्थिर होती है यदि कोई परिबद्ध इनपुट एक परिबद्ध आउटपुट देता है।
संवृत पाश अंतरण फलन से स्थिरता विश्लेषण:
- स्थिर प्रणालियों में केवल बाएं आधे तल में ध्रुवों के साथ संवृत पाश अंतरण फलन होते हैं।
- अस्थिर प्रणालियों में संवृत पाश अंतरण फलन हैं, जिसमें दाहिने आधे तल में कम से कम एक ध्रुव होता है और/या काल्पनिक अक्ष पर एक से अधिक बहुलता वाले ध्रुव होते हैं।
- सीमांत रूप से स्थिर प्रणाली में संवृत पाश अंतरण फलन होते हैं, जिसमें बहुलता 1 के केवल काल्पनिक अक्ष ध्रुव होते हैं और बाएं अर्ध-तल में ध्रुव होते हैं।
अस्थिरता और सीमांत स्थिरता के लिए पर्याप्त प्रतिबन्ध:
- एक प्रणाली अस्थिर है यदि संवृत पाश अंतरण फलन के हर के गुणांक के सभी चिह्न समान नहीं हैं।
- यदि संवृत पाश अंतरण फलन के हर से s की घांत अनुपस्थित हैं तो प्रणाली या तो अस्थिर है या सबसे अच्छा सीमांत रूप से स्थिर है
समाधान:
- कथन (1) में कहा गया है कि 'दाहिने अर्ध-तल (rhp) में ध्रुव शुद्ध घातीय क्षयकारी प्राकृतिक प्रतिक्रिया उत्पन्न करते हैं' गलत है और सही कथन यह है कि 'दाहिने आधे तल में ध्रुव (rhp) घातीय बढ़ती प्राकृतिक प्रतिक्रिया उत्पन्न करते हैं'।
- कथन (2) में कहा गया है कि 'यदि एक से अधिक बहुलता वाले ध्रुव काल्पनिक अक्ष पर मौजूद हैं, तो प्रणाली सीमांत रूप से स्थिर है ' गलत है और सही कथन यह है कि ' सीमांत रूप से स्थिर प्रणाली में केवल बहुलता 1 के काल्पनिक अक्ष ध्रुव और बाएं आधे तल में ध्रुव के साथ संवृत पाश अंतरण फलन होते हैं।
- कथन (3) में कहा गया है कि 'यदि एक ध्रुव दाहिने-आधे तल में मौजूद है, तो प्रणाली अस्थिर है' सही है।
- कथन (4) में कहा गया है कि 'एक प्रणाली स्थिर है यदि प्राकृतिक प्रतिक्रिया शून्य के करीब पहुंचती है जैसे ही समय अनंत तक पहुंचता है' सही है।
चूंकि गलत कथन कथन (1) और (2) हैं, इसलिए सही विकल्प विकल्प (2) है।
Additional Information
लाभ भिन्नता के साथ संवृत पाश प्रणाली की स्थिरता
जैसे ही लाभ 3 से 7 तक बढ़ जाता है प्रणाली अस्थिर हो जाती है।
Last updated on Jul 2, 2025
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