540 व्यक्तियों के समूह को पंक्तिबद्ध तरीके से बिठाया जाना है ताकि प्रत्येक पंक्ति में व्यक्तियों की संख्या पिछली पंक्ति से 4 कम हो। निम्नलिखित में से कौन सी पंक्तियों की संख्या संभव नहीं है?

व्याख्या:Sn=n2x[2a+(n−1)d]

दिया गया है कि 540 व्यक्तियों को पंक्तियों में इस प्रकार बैठाया जाना है कि प्रत्येक पंक्ति में पिछली पंक्ति से 4 कम व्यक्ति हों। हमें यह पता लगाना होगा कि दी गई पंक्तियों की संख्याओं में से कौन सी संभव नहीं है।

मान लीजिए \(n\) = पंक्तियों की संख्या और \(x\) = बैठे हुए व्यक्तियों की संख्या

दूसरी पंक्ति में व्यक्तियों की संख्या \(x - 4 \) है, तीसरी पंक्ति में \(x - 8 \) है और इसी प्रकार आगे।

बैठे हुए व्यक्तियों की कुल संख्या \(x + (x - 4) + (x - 8) + ... + (x - 4(n - 1)) = 540\) है।

यह एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद \(a = x\), सार्व अंतर d = -4 और पदों की संख्या n है।

समांतर श्रेणी का योग ​\(S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)​ द्वारा दिया जाता है।

⇒ \( 540 = \frac{n}{2} \times [2x - 4n + 4]\)

⇒ \(1080 = n \times (2x - 4n + 4)\)

विकल्प 1 की जाँच करें : n = 5

\(1080 = 5 \times (2x - 4(5) + 4) \)

⇒ \(216 = 2x - 16\)

⇒ x = 116

यह संभव है, इसलिए 5 पंक्तियाँ संभव हैं।

विकल्प 2 की जाँच करें : n = 6

\(1080 = 6 \times (2x - 4(6) + 4)\)
⇒ \(180 = 2x - 20\)
⇒ \(x = 100\)

यह संभव है, इसलिए 6 पंक्तियाँ संभव हैं।

विकल्प 3 की जाँच करें : n = 8

\(1080 = 8 \times (2x - 4(8) + 4) \)

⇒ \(135 = 2x - 28 \)

⇒ \(x = 81.5\) , जो एक पूर्णांक नहीं है, 8 पंक्तियाँ संभव नहीं हैं।

विकल्प 4 की जाँच करें : n = 9

​\(1080 = 9 \times (2x - 4(9) + 4)\)​

⇒ \( 120 = 2x - 32\)

⇒ \(x = 76\)

यह संभव है, इसलिए 9 पंक्तियाँ संभव हैं।

पंक्तियों की संख्या जो संभव नहीं है, वह विकल्प 3 है।