Theorem on Tangents MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Theorem on Tangents - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

கொடுக்கப்பட்டது:

இரண்டு ஒருமைய வட்டங்களின் விட்டங்கள்: 34 செமீ மற்றும் 50 செமீ.

CAPF ஒரு நேர்கோடு, AP = 16 செமீ.

C, F பெரிய வட்டத்தில் உள்ளன; A, P சிறிய வட்டத்தில் உள்ளன.

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

பிதாகரஸ் தேற்றம்:

கர்ணம்² = செங்குத்து² + அடி²

மையத்திலிருந்து செங்குத்து நாண் இருசமக்கூறாக்குகிறது.

கணக்கீடு:

சிறிய வட்டத்தின் ஆரம் = 34 ÷ 2 = 17 செமீ

பெரிய வட்டத்தின் ஆரம் = 50 ÷ 2 = 25 செமீ

AP = 16 செமீ

AP இருசமக்கூறாக்கப்பட்டது: AO = 16 ÷ 2 = 8 செமீ

ΔOAP₁ இல்:

OA² + OP₁² = AP₁²

⇒ 17² = OP₁² + 8²

⇒ OP₁² = 289 - 64

⇒ OP₁² = 225

⇒ OP₁ = 15 செமீ

ΔOP₁F இல்:

OF² = OP₁² + P₁F²

⇒ 25² = 15² + P₁F²

⇒ P1F2 = 625 - 225

⇒ P1F2 = 400

⇒ P1F = 20 செமீ

CF = 2 x P₁F = 2 x 20 = 40 செமீ

∴ CF இன் நீளம் 40 செமீ.

கொடுக்கப்பட்டது:

PN என்பது M மற்றும் N ஆகிய புள்ளிகளில் ஒரு வட்டத்தை வெட்டும் ஒரு வெட்டுக்கோடு ஆகும், இதனால் PN > PM.

ஒரு தொடுகோடு PT ஆனது வட்டத்தை T இல் தொடும்.

PT = 40 செ.மீ

PM = 32 செ.மீ

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

PT² = PM x PN

கணக்கீடு:

PT² = PM x PN

40² = 32 x PN

1600 = 32 x PN

⇒ PN = 1600 / 32

⇒ PN = 50 செ.மீ

PN = PM + MN

50 = 32 + MN

⇒ MN = 50 - 32

⇒ MN = 18 செ.மீ

∴ நாண் MN இன் நீளம் 18 செ.மீ.

கொடுக்கப்பட்டது:

AB கோடு நேர்கோடு, மற்றும் AT ஒரு தொடுகோடு.

∠AOQ = 94°

∠BOQ = 180° - ∠AOQ = 180° - 94° = 86°

∠BAT = 90° (ஆரம் தொடுகோட்டுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும்)

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

ΔBOQ இல், OB = OQ (வட்டத்தின் ஆரங்கள்) ⇒ ∠OQB = ∠OBQ

∠OBQ + ∠OQB + ∠BOQ = 180° (முக்கோணத்தில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை)

கணக்கீடுகள்:

⇒ ∠OBQ + ∠OQB + ∠BOQ = 180°

⇒ 86° + 2∠OBQ = 180°

⇒ 2∠OBQ = 180°- 86°

⇒ 2∠OBQ = 94°

⇒ ∠OBQ = 47°

ΔABT இல், ∠ABT + ∠BAT + ∠ATQ = 180° (முக்கோணத்தில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை)

⇒ ∠ATQ = 180° - (47° + 90°)

⇒ ∠ATQ = 180° - 137°

⇒ ∠ATQ = 43°

∴ ∠ATQ = 43°.

கணக்கீடு:

r1 = 32 செ.மீ மற்றும் r2 = 20 செ.மீ மற்றும் மையங்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம் = D = 60 செ.மீ.

நேரடி பொது தொடுகோட்டின் நீளம் = √(602 - (32 - 20)2) = √3456

குறுக்கு பொது தொடுகோட்டின் நீளம் = √(602 - (32 + 20)2) = √896

தேவையான விகிதம் = √3456 : √896

√128 ஆல் எண்ணைப் பிரிக்கவும்

⇒ 3√3 : √7

∴ T இந்த வட்டங்களின் நேரடி பொது தொடுகோட்டின் நீளத்திற்கும் குறுக்கு பொது தொடுகோட்டின் நீளத்திற்கும் உள்ள விகிதம் 3√3 : √7.

கொடுக்கப்பட்டது:

மையம் M கொண்ட வட்டத்தின் ஆரம் = 5 செ.மீ

மையம் N கொண்ட வட்டத்தின் ஆரம் = 8 செ.மீ

தொடுகோடு PQ = 12 செ.மீ

தொடுகோடு RS = 15 செ.மீ

வட்டங்கள் புள்ளி T இல் வெளிப்புறமாக ஒன்றையொன்று தொடுகின்றன.

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

PM மற்றும் NR ஐக் கண்டுபிடிக்க பைதாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

PM² = PQ² + MQ²

NR² = RS² + NS²

PR இன் மொத்த நீளம் = PM + MN + NR

கணக்கீடுகள்:

PM க்கு:

PM² = 12² + 5²

⇒ PM² = 144 + 25

⇒ PM² = 169

⇒ PM = √169 = 13 செ.மீ

NR க்கு:

NR² = 15² + 8²

⇒ NR² = 225 + 64

⇒ NR² = 289

⇒ NR = √289 = 17 செ.மீ

இப்போது, M மற்றும் N இடையேயான தூரம்:

MN = 5 செ.மீ + 8 செ.மீ = 13 செ.மீ

PR இன் மொத்த நீளம்:

PR = PM + MN + NR

⇒ PR = 13 செ.மீ + 13 செ.மீ + 17 செ.மீ = 43 செ.மீ

∴ PR இன் நீளம் 43 செ.மீ.

கோட்பாடு:

ஆரமானது தொடுபுள்ளியில் தொடுகோட்டுக்குச் செங்குத்தாக இருக்கும்.

ஒரு நாற்கரத்தின் அனைத்து கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை = 360° 

கணக்கீடு:

PA மற்றும் PB ஆகியவை வட்டத்தின் வெளிப்புள்ளி P இலிருந்து வரையப்பட்ட இரு தொடுகோடுகள் ஆகும்.

∠OAP = ∠OBP = 90°  (ஆரமானது தொடுபுள்ளியில் தொடுகோட்டுக்குச் செங்குத்தாக இருக்கும்.)

இப்போது நாற்கரம் OAPB இல்,

∠APB + ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP = 360° 

75° + 90° + ∠AOB + 90° = 360°

∠AOB = 105°

எனவே, OA மற்றும் OB ஆகிய இரண்டு ஆரங்களுக்கிடையே உள்ள கோணம் 105° ஆகும்.

நமக்குத் தெரியும்,

பொதுவான தொடுகோட்டின் நீளம் = √[d² - (R - r)² ]

இதில் d என்பது மையங்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம் மற்றும் R மற்றும் r ஆகியவை வட்டங்களின் ஆரங்களாகும்.

PQ = √[(R + r)² - (R - r)² ]

⇒ PQ = √[R² + r² + 2Rr - (R² + r² - 2Rr)]

⇒ PQ = √4Rr

⇒ PQ² = 4Rr

கொடுக்கப்பட்டுள்ளவை:

LC = 6, CD = 11, LB = 4 மற்றும் AB = x 

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

LC × LD = LB × AL 

கணக்கீடுகள்:

கேள்வியின்படி 

LC × LD = LB × AL 

6 × (6 + 11) = 4 × (4 + x) 

⇒ 4 + x = 51/2 

⇒ 4 + x = 25.5 

⇒ x = AB = 21.5 

∴ ABஇன் நீளம் 21.5 செமீ.

கொடுக்கப்பட்டது:

∠APB = 100°

O என்பது வட்டத்தின் மையம்.

PA மற்றும் PB என்பது வட்டத்திற்கு வெளியே P இலிருந்து வரையப்பட்ட இரண்டு தொடுகோடுகள்

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

ஒரு வட்டத்தின் தொடுகோடு வட்டத்தின் ஆரத்துடன் ஒரு செங்கோணத்தை உருவாக்குகிறது.

ஒரு நாற்கரத்தின் அனைத்து கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 360° ஆகும்.

கணக்கீடு:

ஒரு வட்டத்தின் தொடுகோடு வட்டத்தின் ஆரத்துடன் ஒரு செங்கோணத்தை உருவாக்குகிறது

⇒ ∠ OAP = ∠ OBP = 90°

ஒரு நாற்கரத்தின் அனைத்து கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 360° ஆகும்

⇒ ∠ OAP + ∠OBP + ∠ APB + ∠ AOB = 360°

⇒ 90° + 90° + 100° + ∠ AOB = 360°

⇒ ∠ AOB = 360° - 280°

⇒ ∠ AOB = 80°

ΔAOB இல்

⇒ ∠ AOB + ∠ OAB + ∠ OBA = 180°

⇒ 80° + x + x = 180°

⇒ 2x = 100°

⇒ x = 50°

∴ ∠OAB இன் மதிப்பு 50° ஆகும்.

தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த அரைவட்டத்திலுள்ள கோணம் ஒரு நேர்க்கோணம், 

⇒ ∠BOA = 90°

தேற்றம்: ஒரு தொடுகோட்டுக்கும் தொடுபுள்ளி வழியேயான தொடுநாணுக்கும் இடைப்பட்ட கோணம் மாற்றுத் துண்டின் கோணத்திற்குச் சமமாக இருக்கும் என்று மாற்று வட்டத்துண்டு தேற்றம் குறிப்பிடுகிறது. 

⇒ ∠BOQ = ∠BAO = 60°

ΔABOஇல்,

முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூடுதல் 180°

⇒ ∠ABO = 180° – ∠BOA – ∠BAO = 180° – 90° – 60° = 30°

நாண் தொடுகோடு தேற்றத்தின் படி

⇒ CD2 = AD × BD

⇒ 8 × 8 = (12 + BD) × BD

⇒ 12BD + BD2 = 64

⇒ BD2 + 16BD – 4BD – 64 = 0

⇒ BD(BD + 16) – 4(BD + 16) = 0

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

தொடுகோடு செகண்ட் தேற்றத்தின்படி

DE 2 = DB × DA

கணக்கீடு:

DB × DA = DE2

⇒ DB × (5 + DB) = 62

⇒ DB × (5 + DB) = 36

⇒ 5DB + DB2 = 36

⇒ DB2 + 5DB - 36 = 0

மேலே உள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது,

DB = (-9) அல்லது DB = 4

நீளம் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது என்பதால், DB = 4 செ.மீ

∴ DB இன் நீளம் 4 செ.மீ.

Shortcut Trick

DB × (5 + DB) = 36

விருப்பங்களைச் சரிபார்ப்பதன் மூலம், இந்த சமன்பாட்டை குறைந்த நேரத்தில் தீர்க்க முடியும்

எனவே, விருப்பம் 03 சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்கிறது

∴ DB இன் நீளம் 4 செ.மீ.

கொடுக்கப்பட்டுள்ளவை:

XYZ மற்றும் ZT ஆகியவை முறையே ஒரே வட்டத்திற்கான வெட்டுக்கொடு மற்றும் தொடுகோடு ஆகும். 

ZT = 6 செமீ, ZY = 4 செமீ மற்றும் YX = x செமீ 

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

YZ × XZ = ZT² (ZXY என்பது வட்டத்தின் Y மற்றும் X ஆகியவற்றில் வெட்டும்  வெட்டுக்கொடு மற்றும் ZT என்பது அதே வட்டத்தின் தொடுகோடு ஆகும்) 

கணக்கீடுகள்:

4 × (YZ + XY) = 6²

⇒ 4 ×  (4 + x) = 36 

⇒ 4 + x = 9 

⇒ x = 5 

∴ xஇன் நீளம் 5 செமீ 

கொடுக்கப்பட்டது:

∠PTQ = 50°

கருத்து:

வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து தொடு புள்ளி வரையிலான ஆரம் தொடுகோட்டுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

கணக்கீடு:

∠PTQ + ∠POQ + ∠OPT + ∠OQT = 360°

⇒ 50° + ∠POQ + 90° + 90° = 360°

⇒ ∠POQ = 360° - 230°

⇒ ∠POQ = 130°

இப்போது, ∠TOQ = ∠POQ/2

⇒ ∠TOQ = 130°/2

⇒ ∠TOQ = 65°

∴ TOQ இன் மதிப்பு 65° ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டுள்ளவை:

PA மற்றும் PB ஆகியவை O எனும் மையத்தைக் கொண்ட வட்டத்தின் தொடுகோடுகளாகும்.

∠PAB= 55°

கோட்பாடு:

ஒரே வெளிப்புற புள்ளியிலிருந்து வரையப்பட்ட தொடுகோடுகள் நீளத்தில் சமமாக இருக்கும்.

தொடுகோடு என்பது தொடு புள்ளியில் ஆரம் செங்குத்தாக இருக்கும்.

கணக்கீடு:

∵ ∠PAB = 55° 

∴ ∠PBA = 55° (PA = PB) 

முக்கோணம் PABஇல்,

∠APB + ∠PAB + ∠PBA = 180°  (கோணத்தின் கூட்டுத்தொகை பண்பு)

⇒ ∠P + 55° + 55° = 180° 

⇒ ∠P = 70° 

மேலும், ∠AOB + ∠APB = 180°   (ஒரு நாற்கரத்தின் அனைத்து கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 360° மற்றும் ∠P = ∠B = 90°)

⇒ ∠AOB = 180° - 70° = 110

∴ ∠AOBஇன் மதிப்பு = 110°