Vector Spaces MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Vector Spaces - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

S और T एक सदिश समष्टि V(F) के उपसमष्टि हैं।

परिणामों से हम जानते हैं कि

(i) S ⊂ L(T) ⇔ L(S) ⊂ L(T)

(ii) L (S ∪ T) = L(S) + L(T)

(iii) L[L(T)] = L[T]

इसलिए, विकल्प (1) सही नहीं है।

अवधारणा:
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या प्रत्येक समुच्चय का उपसमष्टि है, इसे निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
1. शून्य सदिश सम्मिलित करें: शून्य सदिश (0, 0, 0), W में होना चाहिए।
2. योग के अंतर्गत संवृत: यदि , तब ।
3. अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत: यदि और c एक अदिश है, तब ।

आइए प्रत्येक विकल्प की जाँच करें:

विकल्प 1: W =
यह उपसमष्टि नहीं है क्योंकि इसमें शून्य सदिश नहीं है।

किसी भी सदिश के लिए x + 4y - 10z = -2 को संतुष्ट करने के लिए, यह शून्य के बराबर नहीं हो सकता (समीकरण समघात नहीं है)।

इसलिए, यह पहली शर्त को पूरा नहीं करता है।

विकल्प 2: W =
इस समुच्चय में वे सदिश शामिल हैं जहाँ या तो x = 0 या y = 0 है।

हालांकि, यह योग के अंतर्गत संवृत नहीं है।

उदाहरण के लिए, (1, 0, 0) W और (0, 1, 0) W, लेकिन (1, 1, 0) W क्योंकि xy 0 है।

इस प्रकार, यह समुच्चय उपसमष्टि नहीं है।

विकल्प 3: W =

यह एक उपसमष्टि है क्योंकि यह तीनों शर्तों को पूरा करता है:
इसमें शून्य सदिश (0, 0, 0) है क्योंकि 2(0) + 3(0) - 4(0) = 0।
यह योग के अंतर्गत संवृत है: यदि और , तब

।

यह अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत है: यदि 2x + 3y - 4z = 0,

तब 2(cx) + 3(cy) - 4(cz) = 0 किसी भी अदिश c के लिए।

इसलिए, 2x + 3y - 4z = 0 द्वारा परिभाषित W एक उपसमष्टि है।

विकल्प 4: W =
इस समुच्चय में वे बिंदु शामिल हैं जहाँ x-निर्देशांक परिमेय है।

हालाँकि, यह अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत नहीं है।

उदाहरण के लिए, यदि (x, y, z) W जहाँ x = 1 (एक परिमेय संख्या है), इस सदिश को एक अपरिमेय अदिश से गुणा करने पर एक अपरिमेय x-घटक प्राप्त होगा,

जो अब W से संबंधित नहीं होगा।

इस प्रकार, यह उपसमष्टि नहीं है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

W = R3 का एक उपसमष्टि है।

अवधारणा:

n x n कोटि के हर्मिटी आव्यूह  की ℝ पर विमा =

स्पष्टीकरण:

दिया गया है: H = {M ∈ M4(C) ∶ M⊤ = M̅}

⇒ M⊤ = M̅

दोनों पक्षों के लिए परिवर्त लेने पर,

⇒

⇒ M, 4 × 4 कोटि का हर्मिटी आव्यूह है

Dim(M) = 42 = 16

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

अवधारणा:

सदिश समष्टि की विमा:

किसी सदिश समष्टि की विमा उस समष्टि के आधार में सदिशों की संख्या होती है।

एक सदिश समष्टि परिमित-विमीय होती है यदि वह एक परिमित समुच्चय द्वारा विस्तारित होती है,

और अपरिमित-विमीय यदि वह नहीं होती है।

व्याख्या:

1. व्युत्क्रमणीयता की शर्त को समझना:

समष्टि में पर सभी आव्यूह होते हैं।

किसी आव्यूह के व्युत्क्रमणीय होने के लिए, उसका सारणिक शून्येतर होना चाहिए।

इसलिए, यदि V में प्रत्येक शून्येतर आव्यूह व्युत्क्रमणीय है,

तो V में कोई एकवचन (गैर-व्युत्क्रमणीय) आव्यूह नहीं हो सकता है।

2. उपसमष्टि V पर व्युत्क्रमणीयता के निहितार्थ:

V के लिए यह गुण होने का एकमात्र तरीका है कि

V में प्रत्येक शून्येतर आव्यूह व्युत्क्रमणीय है

यदि V में एक एकल व्युत्क्रमणीय आव्यूह के अदिश गुणज होते हैं।

ऐसा इसलिए है क्योंकि:

यदि V में एक से अधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र आव्यूह होते हैं,

तो इसमें इन आव्यूहों के रैखिक संयोजन भी होंगे।

व्युत्क्रमणीय आव्यूहों के रैखिक संयोजन एक एकवचन आव्यूह (गैर-व्युत्क्रमणीय) हो सकते हैं,

गुणांकों पर निर्भर करता है।

इसलिए, यह सुनिश्चित करने के लिए कि V में सभी शून्येतर अवयव व्युत्क्रमणीय हैं,

V को एक एकल व्युत्क्रमणीय आव्यूह द्वारा विस्तारित किया जाना चाहिए।

3. V की विमा का निर्धारण:

चूँकि V को एक एकल व्युत्क्रमणीय आव्यूह द्वारा विस्तारित किया गया है,

यह का एक एक-विमीय उपसमष्टि है।

इसलिए, पर V की विमा 1 है।

इसलिए विकल्प (1) सही है।

व्याख्या:

T1, T2 V पर दो शून्यकारी संकारक हैं और मान लीजिए कि V की विमा n है।

⇒ और T₁ का अभिलक्षणिक बहुपद xⁿ है

इसी प्रकार

⇒ और T2 का अभिलक्षणिक बहुपद xn

इसलिए विकल्प (4) सत्य है।

मान लीजिए W1 = {v ∈ V ∶ T1(v) = 0} और W2 = {v ∈ V ∶ T2(v) = 0}

W₁ = शून्य स्थान (T₁) और W₂ = शून्य स्थान (T₂)

dim(W₁) = η(T₁) और dim(W2) = η(T2)

विकल्प (3) के लिए -

हमारे पास W1 = W2 = V

अब रैंक शून्यता प्रमेय का उपयोग करें -

dim(V) = ρ (T₁) + η(T₁) ⇒ ρ (T1) = 0

और dim(V) = ρ (T2) + η(T2) ⇒ ρ (T2) = 0

⇒ T₁ और T₂ दोनों शून्य संकारक हैं।

इसलिए विकल्प (3) सत्य है।

विकल्प (1) के लिए -

मान लीजिए T1 और T2 समान हैं, इसलिए T1 ∼ T2

⇒ T1 का न्यूनतम बहुपद = T2 का न्यूनतम बहुपद

⇒ T1 के लिए 0 का G.M = T2 के लिए 0 का G.M

⇒ null(T1) = null(T2)

⇒ dim(W1) = dim(W1)

⇒ W1 ≈ W2 (क्योंकि V परिमित विमीय है)

इसलिए विकल्प (1) सत्य है।

विकल्प (2) के लिए -

W1 ≈ W2 ⇒ dim(W1) = dim(W1)

मान लीजिए T1 = और T2 =

यहां null(T1) = null(T2) = 2

अब, T1 = x³ और T2 = x2

दोनों समान नहीं हैं

इसलिए विकल्प (2) असत्य है।

व्याख्या:

V वास्तविक गुणांकों के साथ अधिकतम 10 डिग्री के एक चर में सभी बहुपदों का सदिश स्थान हो।

इसलिए dim(V) = 11

W1, V का उप-स्थान हो जो अधिकतम 5 डिग्री के बहुपदों से बना हो और W2, V का उप-स्थान हो जो ऐसे बहुपदों से बना हो जिनके गुणांकों का योग 0 हो।

इसलिए W1 = {p(x) | p(x) ∈ P₅}

और W2 = {p(x) | p(x) ∈ P₁₀ और p(1) = 0}

इसलिए W1 ∩ W2 = {p(x) | p(x) ∈ P5 और p(1) = 0}

x⁴ ∈ W1 लेकिन x4 ∉ W2 क्योंकि p(1) = 1 ≠ 0

W1, W2 का उपसमुच्चय नहीं है।

विकल्प (3) गलत है।

dim(W1) = 6 और dim(W2) = 11 - 1 = 10 और dim(W1 ∩ W2) = 6 - 1 = 5

W1 ∩ W2 का आयाम अधिकतम 5 है।

विकल्प (4) सही है।

W, V का सबसे छोटा उप-स्थान हो जो W1 और W2 दोनों को शामिल करता है।

इसलिए W = W1 + W2

हम जानते हैं कि

dim(W1 ∩ W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1 + W2)

⇒ 5 = 6 + 10 - dim(W1 + W2)

⇒ dim(W1 + W2) = 11

⇒ dim(W) = 11

विकल्प (1) गलत है।

चूँकि dim(V) = dim(W) = 11

इसलिए V = W

विकल्प (2) सही है।

अवधारणा:

(i) यदि शून्य सदिश V से संबंधित है तो V एक सदिश समष्टि है।

(ii) (V, +, .) को सदिश समष्टि कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है।

(a) क्रमविनिमेयता: x + y = y + x

(b) सदिश योग की साहचर्यता: x + (y + z) = (x + y) + z

(c) योगात्मक सर्वसमिका: 0 + x = x + 0 = x 

(d) योगात्मक व्युत्क्रम का अस्तित्व: किसी भी x के लिए, एक (-x) मौजूद होता है जैसे कि x + (-x) = 0

(e) अदिश गुणन की साहचर्यता: r(sx) = (rs)x

(f) अदिश योगों की वितरणशीलता: (r + s)x = rx + sx और r(x + y) = rx + ry  

(g) V स्केलर गुणन पहचान को संतुष्ट करता है, अर्थात, सभी x ∈ V के लिए 1.x = x

x, y, z ∈ V, r, s ∈ F के लिए

स्पष्टीकरण:

इसलिए S ₂ एक सदिश समष्टि नहीं है।

(2), (4) असत्य हैं

S₃ के लिए :

मान लीजिए f(x), g(x), h(x) ∈ S ₃

(f(x)+g(x)) मौजूद है

तो f + g ∈ S 3

क्रमविनिमेयता कायम है।

इसी प्रकार, साहचर्यता भी कायम है।

(0+f)(x) = (f + 0)(x) = f(x)

f(x) का अस्तित्व है इसलिए (-f(x)) का भी अस्तित्व है।

तादात्म्य और व्युत्क्रम विद्यमान हैं।

मान लीजिए r ∈ F

r(sf)(x) = rs f(x)

अदिश गुणन की साहचर्यता कायम है।

अदिश राशियों का वितरण भी कायम रहता है।

और 1.f(x) = f(x) मौजूद है।

इसलिए S3 एक सदिश समष्टि है।

इसी प्रकार, हम दिखा सकते हैं कि S ₁ एक सदिश समष्टि है।

विकल्प (2) सही है।

अवधारणा:

रैंक-शून्यता प्रमेय:

मान लीजिए एक रैखिक प्रतिचित्र है। तब

रैंक(T) + शून्यता(T) = dim (V)

गणनाएँ:

I. चूँकि परिसर समष्टि और शून्य समष्टि समान हैं, इसलिए रैंक = शून्यता (मान लीजिए x)।

रैंक-शून्यता प्रमेय द्वारा, x + x = 3 जिसका अर्थ है x = 1.5 जो कि संभव नहीं है।

इस प्रकार, कथन I असत्य है।

II. चूँकि परिसर समष्टि और शून्य समष्टि समान हैं, इसलिए रैंक = शून्यता (मान लीजिए x)।

रैंक-शून्यता प्रमेय द्वारा, x + x = 2 जिसका अर्थ है x = 1 जो संभव है।

इस प्रकार, कथन II सत्य है।

इसलिए विकल्प (2) सही है।

अवधारणा:

n x n कोटि के हर्मिटी आव्यूह  की ℝ पर विमा =

स्पष्टीकरण:

दिया गया है: H = {M ∈ M4(C) ∶ M⊤ = M̅}

⇒ M⊤ = M̅

दोनों पक्षों के लिए परिवर्त लेने पर,

⇒

⇒ M, 4 × 4 कोटि का हर्मिटी आव्यूह है

Dim(M) = 42 = 16

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

संप्रत्यय:

: वास्तविक गुणांकों वाले बहुपदों का समष्टि।

उपसमष्टि W : अधिकतम घात 2 वाले बहुपदों का समष्टि, अर्थात् ।

: V में W का लांबिक पूरक है। इसमें V के वे सभी बहुपद होते हैं जो W के प्रत्येक बहुपद के लांबिक होते हैं।

लांबिक पूरक:

किसी बहुपद के लिए, यदि , तब

सभी के लिए, जहाँ आंतरिक गुणनफल है।

व्याख्या:

विकल्प 1: घात 4 का एक बहुपद है, जो स्पष्ट रूप से W में नहीं है क्योंकि W में केवल अधिकतम घात 2 वाले बहुपद हैं।

हालाँकि, चूँकि उच्च घात का है, यह W (अधिकतम घात 2 वाले बहुपद) के सभी बहुपदों के लांबिक है।

इस प्रकार, , और एक बहुपद (जैसे, p(x) = 0) का अस्तित्व इस प्रकार है कि है।

विकल्प 1 सत्य है।

विकल्प 2: लांबिक पूरक में सभी बहुपद W के लांबिक होते हैं, और चूँकि W में अधिकतम घात 2 वाले बहुपद हैं,

में घात 2 से अधिक वाले बहुपद होंगे।

इसलिए, शून्य उपसमष्टि नहीं है क्योंकि में शून्येतर बहुपद (, आदि) हैं।

विकल्प 2 असत्य है।

विकल्प 3: W में अधिकतम घात 2 वाले बहुपद हैं, जिसकी विमा 3 ( द्वारा विस्तारित) है।

में W के लांबिक बहुपद होते हैं, और चूँकि एक अनंत-विमीय समष्टि है, अनंत-विमीय है।

इस प्रकार, W (जो 3-विमीय है) और (जो अनंत-विमीय है) की विमाएँ समान नहीं हैं।

विकल्प 3 असत्य है।

विकल्प 4: चूँकि W में अधिकतम घात 2 वाले सभी बहुपद हैं, में घात 3 और उससे अधिक के बहुपद हैं,

जो एक अनंत-विमीय समष्टि बनाते हैं (चूँकि बहुपद के लिए एक आधार बनाते हैं)।

विकल्प 4 सत्य है।

इसलिए, विकल्प 1) और 4) सही हैं।

अवधारणा:

R, {(1,0),(0,1)} द्वारा विस्तारित है।

गणनाएँ:

I. यदि span(S) = R² ,तो span(S)= {(1,0), (0,1)} 

मान लीजिए , तब Span W

इस प्रकार, I असत्य है।

II. मान लीजिए और T =

Span

लेकिन span(S) ∪ span(T) में केवल x-अक्ष और y-अक्ष ही होते हैं।

इस प्रकार, II भी असत्य है।

अतः विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

S और T एक सदिश समष्टि V(F) के उपसमष्टि हैं।

परिणामों से हम जानते हैं कि

(i) S ⊂ L(T) ⇔ L(S) ⊂ L(T)

(ii) L (S ∪ T) = L(S) + L(T)

(iii) L[L(T)] = L[T]

इसलिए, विकल्प (1) सही नहीं है।

अवधारणा:
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या प्रत्येक समुच्चय का उपसमष्टि है, इसे निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
1. शून्य सदिश सम्मिलित करें: शून्य सदिश (0, 0, 0), W में होना चाहिए।
2. योग के अंतर्गत संवृत: यदि , तब ।
3. अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत: यदि और c एक अदिश है, तब ।

आइए प्रत्येक विकल्प की जाँच करें:

विकल्प 1: W =
यह उपसमष्टि नहीं है क्योंकि इसमें शून्य सदिश नहीं है।

किसी भी सदिश के लिए x + 4y - 10z = -2 को संतुष्ट करने के लिए, यह शून्य के बराबर नहीं हो सकता (समीकरण समघात नहीं है)।

इसलिए, यह पहली शर्त को पूरा नहीं करता है।

विकल्प 2: W =
इस समुच्चय में वे सदिश शामिल हैं जहाँ या तो x = 0 या y = 0 है।

हालांकि, यह योग के अंतर्गत संवृत नहीं है।

उदाहरण के लिए, (1, 0, 0) W और (0, 1, 0) W, लेकिन (1, 1, 0) W क्योंकि xy 0 है।

इस प्रकार, यह समुच्चय उपसमष्टि नहीं है।

विकल्प 3: W =

यह एक उपसमष्टि है क्योंकि यह तीनों शर्तों को पूरा करता है:
इसमें शून्य सदिश (0, 0, 0) है क्योंकि 2(0) + 3(0) - 4(0) = 0।
यह योग के अंतर्गत संवृत है: यदि और , तब

।

यह अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत है: यदि 2x + 3y - 4z = 0,

तब 2(cx) + 3(cy) - 4(cz) = 0 किसी भी अदिश c के लिए।

इसलिए, 2x + 3y - 4z = 0 द्वारा परिभाषित W एक उपसमष्टि है।

विकल्प 4: W =
इस समुच्चय में वे बिंदु शामिल हैं जहाँ x-निर्देशांक परिमेय है।

हालाँकि, यह अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत नहीं है।

उदाहरण के लिए, यदि (x, y, z) W जहाँ x = 1 (एक परिमेय संख्या है), इस सदिश को एक अपरिमेय अदिश से गुणा करने पर एक अपरिमेय x-घटक प्राप्त होगा,

जो अब W से संबंधित नहीं होगा।

इस प्रकार, यह उपसमष्टि नहीं है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

W = R3 का एक उपसमष्टि है।