वृत्तखण्ड पर प्रमेय MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Theorem on Segments - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 7, 2025
Latest Theorem on Segments MCQ Objective Questions
वृत्तखण्ड पर प्रमेय Question 1:
दी गई आकृति में ∠POR = 150° जहां O वृत्त का केंद्र है, तो ∠PQR बराबर है:
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 1 Detailed Solution
प्रयुक्त संकल्पना:
केंद्र कोण मुख्य कोण का दोगुना है
चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है
गणना:
∠POR = 2 × ∠PSR
⇒ ∠PSR = 150°/2 = 75°
⇒ ∠PQR + ∠PSR = 180°
⇒ ∠PQR + 75° = 180°
⇒ ∠PQR = 105°
∴ सही उत्तर 105° है।
वृत्तखण्ड पर प्रमेय Question 2:
दी गई आकृति में ∠POR = 150° जहां O वृत्त का केंद्र है, तो ∠PQR बराबर है:
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 2 Detailed Solution
प्रयुक्त संकल्पना:
केंद्र कोण मुख्य कोण का दोगुना है
चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है
गणना:
∠POR = 2 × ∠PSR
⇒ ∠PSR = 150°/2 = 75°
⇒ ∠PQR + ∠PSR = 180°
⇒ ∠PQR + 75° = 180°
⇒ ∠PQR = 105°
∴ सही उत्तर 105° है।
वृत्तखण्ड पर प्रमेय Question 3:
PAB तथा PCD एक वृत्त पर दो छेदन रेखाएँ हैं। यदि PA = 10 सेमी., AB = 12 सेमी. तथा PC = 11 सेमी. हो तो PD का मान (सेमी.) में क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 3 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
PA × PB = PC × PD
गणना:
PA × PB = PC × PD
⇒ 10 × 22 = 11 × PD
PD =
∴ सही उत्तर 20 है
वृत्तखण्ड पर प्रमेय Question 4:
दी गयी आकृति में O एक वृत्त का केंद्र है, यदि ∠BAT = 40° तब ∠AOB और ∠OAB का अनुपात ज्ञात कीजिए.
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 4 Detailed Solution
दिया गया है:
∠BAT = 40°
प्रयुक्त अवधारणा:
एकांतर वृत्तखंड प्रमेय:
यदि स्पर्शरेखा के स्पर्श बिंदु से एक जीवा खींची जाती है तो जीवा द्वारा स्पर्शरेखा से बनाए गए कोण संगत एकांतर वृत्तखंडों में बने कोणों के बराबर होते हैं।
∠BAT = ∠BCA
∠BAP = ∠BDA
गणना:
प्रश्नानुसार,
∠BAT = 40°
एकांतर वृत्तखंड प्रमेय से,
∠BAT = ∠BCA = 40°
∠AOB = 2∠BCA
⇒ 2 × 40°
⇒ 80°
चूँकि, OA = OB
∴ ∠AOB + ∠OBA + ∠OAB = 180°
⇒ 80° + 2∠OAB = 180°
⇒ 2∠OAB = 100°
⇒ ∠OAB = 50°
अनुपात = ∠AOB : ∠OAB
⇒ 80° : 50°
⇒ 8 : 5
∴ सही उत्तर 8 : 5 है।
वृत्तखण्ड पर प्रमेय Question 5:
तीन दोस्तों A, B एवं C के संबंधित स्थान क्रमशः (3, 2), (6, 5) और (9, 8) हैं। तीनों बिन्दु एक साथ मिलकर क्या बनाते हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 5 Detailed Solution
दिया गया है:
A = (x1, y1) = (3, 2)
B = (x2, y2) = (6, 5)
C = (x3, y3) = (9, 8)
प्रयुक्त सूत्र:
दो बिंदुओं के बीच की दूरी =
गणना:
AB =
BC =
CA =
A और C के बीच की दूरी = AB + BC
अतः A, B और C एक रेखाखंड बनाते हैं।
अत: सही विकल्प 2 है।
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दी गयी आकृति में ∠BOQ = 60° है और AB वृत्त का व्यास है। ∠ABO का मान ज्ञात कीजिये।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रमेय के अनुसार, अर्द्ध वृत्त में कोण समकोण होता है,
⇒ ∠BOA = 90°
प्रमेय: वैकल्पिक खंड प्रमेय के अनुसार संपर्क बिंदु के माध्यम से स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण वैकल्पिक खंड में कोण के बराबर है।
⇒ ∠BOQ = ∠BAO = 60°
चूँकि, त्रिभुज में सभी कोणों का योग 180° होता है
⇒ ∠ABO = 180° – ∠BOA – ∠BAO = 180° – 60° – 90° = 30°
ऊपर दिए गए चित्र में, SPT वृत्त के लिए P पर एक स्पर्शरेखा है और O वृत्त का केंद्र है। यदि ∠ QPT = α हो, तब ∠POQ का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDF∠OPT = 90° [∵ त्रिज्या स्पर्श-रेखा के लम्बवत्त होती है]
∠OPQ = 90° - ∠QPT = 90° - α
∠OQP = 90° - α [∵ OQ = OP]
त्रिभुज OQP में,
∠O + ∠Q + ∠P = 180°
∠O + 90 - α + 90 - α = 180
∴ ∠O = 2α
यदि O वृत्त का केंद्र है, तो दी गई आकृति में x का मान ज्ञात कीजिए:
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
∠AOC = 110°
∠AOB = 90°
प्रयुक्त अवधारणा:
एक चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण वृत्त की परिधि पर उसके द्वारा बनाए गए कोण का दोगुना होता है।
एक बिंदु के चारों ओर के कोणों का योग हमेशा 360° होगा।
गणना:
∠AOC = 110°
∠AOB = 90°
एक बिंदु के चारों ओर के कोण हमेशा 360° तक जोड़ेंगे
∠BOC = 360° - (∠AOC + ∠AOB)
⇒ ∠BOC = 360° - (110° + 90°)
⇒ ∠BOC = 160°
अब,
∠BAC = ∠BOC/2
∠BAC = 160°/2
∠BAC = 80°
∴ x का मान 80° है।
Alternate Methodत्रिभुज AOC में,
OC = OA (वृत्त की त्रिज्या)
अत: इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होंगे। (∠OCA = ∠OAC)
माना ∠OCA और ∠OAC, y हैं
110 + 2y = 180
2y = 70
y = 35
त्रिभुज AOB में,
OA = OB (वृत्त की त्रिज्या)
अत: इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होंगे। (∠OAB = ∠OBA)
माना ∠OAB और ∠OBA, z हैं
90 + 2z = 180
2z = 90
z = 45
अत: 'x' का मान (y + z) = 35 + 45 = 80 होगा।
नीचे दी गई आकृति में, AB और CD दो जीवा हैं जो वृत के बाहर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि AB = 2 सेमी, OB = 5 सेमी और OD = 3.5 सेमी है तब CD की लम्बाई ज्ञात कीजिये।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया है
AB = 2 सेमी, OB = 5 सेमी और OD = 3.5 सेमी
गुणधर्म:
जब कोई दो जीवा AB और CD वृत के बाहर किसी बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हों, तब
OA × OB = OC × OD
उपरोक्त गुणधर्म का प्रयोग करते हैं-
⇒ (AB + OB) × OB = OC × OD
⇒ 7 × 5 = OC × 3.5
⇒ OC = 35/3.5 = 10
⇒ CD = OC – OD = 10 – 3.5 = 6.5 सेमी
नीचे दी गई आकृति में, यदि AB ∶ BC = 4 : 5 है, तो AD : AB अनुपात ज्ञात कीजिए
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है, AB ∶ BC = 4 ∶ 5
⇒ BC = (5/4) × AB
∵ AC = AB + BC
⇒ AC = AB + (5/4) × AB = (9/4) × AB
स्पर्श रेखा-कोटिज्या प्रमेय के अनुसार, स्पर्शरेखा और कोटिज्या निम्न प्रकार सबंधित होते हैं,
⇒ AD2 = AB × AC
⇒ AD2 = (9/4) × AB2
⇒ AD / AB = √(9/4) = 3/2
∴ AD = AB = 3 ∶ 2
दिए गए चित्र में, DE केंद्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखा है, यदि ∠ACD = 50° तथा ∠AOB = 140°, ∠OAC का मान ज्ञात कीजिये
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
DE केंद्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखा है
∠ACD = 50°
∠AOB = 140°
अवधारणा:
गणना:
प्रश्न के अनुसार:
∵ OA = OB = वृत्त की त्रिज्या
⇒ ΔAOB एक समद्विबाहु त्रिभुज है
⇒ ∠OAB = ∠OBA
∵ त्रिभुज के कोणों का योग = 180°
⇒ ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°
⇒ ∠OAB = ∠OBA = (180° – 140°)/2 = 20°
अवधारणा के अनुसार,
⇒ ∠ACB = 1/2 × ∠AOB = 140°/2 = 70°
⇒ ∠BCE = 180° – ∠ACB – ∠ACD = 180° – 70° – 50° = 60°
फिर से, अवधारणा के अनुसार,
⇒ ∠BCE = ∠BAC = 60°
⇒ ∠OAC = ∠BAC – ∠OAB = 60° – 20° = 40°
∴ अभीष्ट परिणाम 40° होगा।
यदि निम्नलिखित आकृति में, PA = 15 सेमी, PD = 6 सेमी, CD = 4 सेमी हैं, तो AB का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFमाना की PB = x
secant की विषेशता के अनुसार
PB × PA = PD × PC [PC = PD + CD]
x × 15 = 6 × 10
x = 4 = PB
AB = 15 – 4 = 11 सेमी
दिए गए चित्र में वृत्त के बाहर एक बिंदु P है, जिससे एक प्रतिरूप खींचा जाता है, जो B और A पर वृत्त को प्रतिच्छेद करता है और एक अन्य प्रतिरूप खींचा जाता है, जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है और इसे D और C पर प्रतिच्छेद करता है यदि PB = 8, AB = 12 और OP = 18 तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिये।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
AB = 12, PB = 8, और OP = 18
⇒ PA = AB + PB
⇒ PA = 8 + 12
⇒ PA = 20
⇒ PD = 18 - r
⇒ PC = 18 + r
जहाँ, r = वृत्त की त्रिज्या
प्रयुक्त सूत्र:
यदि P के बाहरी बिंदु पर दो जीवा AB और CD प्रतिच्छेद करती हैं, तो
PB × PA = PD × PC
गणना:
PB × PA = PD × PC
⇒ 8 × 20 = (18 - r)(18 + r)
⇒ 160 = 182 - r2
⇒ r2 = 324 - 160
⇒ r2 = 164
⇒ r =
⇒ r =
∴ वृत्त की त्रिज्या
यदि दो जीवाएं AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं और AO = (9x - 2) सेमी, BO = (2x + 2) सेमी, CO = 4x सेमी और DO = (7x - 2) सेमी है, तब, AO का मान ज्ञात कीजिए। (x> 1)?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFहम जानते हैं कि, AO × OB = OC × OD
⇒ (9x – 2) × (2x + 2) = (4x) × (7x – 2)
⇒ 18x2 – 4x + 18x – 4 = 28x2 – 8x
⇒ 10x2 – 22x + 4 = 0
⇒ 10x2 – 20x – 2x + 4 = 0
⇒ 10x(x – 2) – 2(x – 2) = 0
⇒ (x – 2)(10x – 2) = 0
⇒ x = 2 or x = 0.2
⇒ x = 2
AO = (9x – 2) = (18 – 2) = 16 सेमी
∴ AO का मान 16 सेमी हैं
दी गयी आकृति में, ABCD एक वर्ग है। यदि वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है, तो स्पर्शरेखाएँ PC की लंबाई ज्ञात कीजिये।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFवृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है
∴ वर्ग AB की भुजा = BC = 5√2 सेमी
माना, PB = x सेमी
ΔPBC में,
⇒ PC2 = [(5√2)2 + x2]
हम जानते हैं कि∶
PC2 = PB × PA
⇒ [(5√2)2 + x2] = x × (x + 5√2)
⇒ 50 + x2 = x2 + 5√2x
⇒ x = 5√2 सेमी
∴ PC = √[(5√2)2 + x2] = √(50 + 50) = 10 सेमी