Statistics & Exploratory Data Analysis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Statistics & Exploratory Data Analysis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

हल:

चरण 1: संभावना फलन लिखिए

संभावना फलन इस प्रकार दिया गया है:



जिसे प्रेक्षित गणनाओं के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

सरल बनाने के लिए प्राकृतिक लघुगणक लेते हैं:

और प्रतिस्थापित करने पर:

सरल करते हैं:

पदों को मिलाते हैं:

चरण 2: संभावना को अधिकतम करने के लिए अवकलन करते हैं

θ के सापेक्ष log L(θ) का अवकलन करते हैं:

व्युत्पन्न को शून्य पर सेट करते हैं:

θ के लिए हल करते हैं:

तिर्यक गुणा करते हैं:

1 - θ = θ.

सरल करते हैं:

θ = 1/2.

चरण 3: हल को सत्यापित करते हैं

हल श्रेणी θ ∈ (0, 1) को संतुष्ट करता है और लघु-संभावना फलन को अधिकतम करता है।

इसलिए सही विकल्प (2) है

हल:

हम सहप्रसरण संरचना का विश्लेषण करते हैं और सबसे बड़े आइगेनवैल्यू के संगत आइगेनवेक्टर निर्धारित करते हैं।

चरण 1: Y का सहप्रसरण आव्यूह

Y_i और Y_j के बीच सहप्रसरण है:

,

जहाँ क्रोनकर डेल्टा है। इस प्रकार:

i = j के लिए : ,

i ≠ j के लिए : .

सहप्रसरण आव्यूह Σ में सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ 2 के बराबर हैं और विकर्ण से बाहर की प्रविष्टियाँ 1 के बराबर हैं।

चरण 2: Σ का आइगेनवेक्टर

Σ के सबसे बड़े आइगेनवैल्यू से जुड़े आइगेनवेक्टर के अनुरूप पहला मुख्य घटक है।

आइगेनवेक्टर के समानुपाती है।

चरण 3: पहला मुख्य घटक

पहला मुख्य घटक है:

.

इसलिए सही विकल्प (3) है।

संप्रत्यय:

1. स्वतंत्र सामान्य चरों के रैखिक संयोजन:

यदि और स्वतंत्र हैं, तो अचर  और b के लिए, रैखिक

संयोजन एक प्रसामान्य बंटन का पालन करता है:

माध्य: ,

प्रसरण: .

2. रैखिक संयोजनों का सहप्रसरण:

दो रैखिक संयोजनों और का सहप्रसरण है

.

यदि X और Y स्वतंत्र हैं, तो वाले पद समाप्त हो जाते हैं।

व्याख्या:

विकल्प 1: 2X + Y का प्रसरण ज्ञात करने के लिए, हम इस गुणधर्म का उपयोग करते हैं कि यदि X और Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, तो

यहाँ

इसलिए

इस प्रकार, विकल्प 1 गलत है, क्योंकि सही प्रसरण 25 है, 17 नहीं।

विकल्प 2: इसे हल करने के लिए, पहले ध्यान दें कि 2X + Y प्रसामान्य रूप से वितरित है क्योंकि X और Y दोनों प्रसामान्य रूप से वितरित हैं।

विकल्प 1 के परिणामों का उपयोग करके, हम जानते हैं कि:

अब, , जहाँ , के समतुल्य है।

हम इसे मानक प्रसामान्य चर में परिवर्तित करके मानकीकृत करते हैं:

.

दी गई जानकारी से, हमारे पास है,

इस प्रकार,

इसलिए, विकल्प 2 सही है।

विकल्प 3: सहप्रसरण की गणना करने के लिए, सहप्रसरण की रैखिकता और इस तथ्य का उपयोग करें कि X और Y स्वतंत्र हैं:

चूँकि X और Y स्वतंत्र हैं, , इसलिए सहप्रसरण सरल हो जाता है

अब, गुणधर्म  का उपयोग करके, हमारे पास है:

इस प्रकार,

इसलिए, विकल्प 3 सही है।

विकल्प 4: हमने पहले ही गणना की है कि 2X - Y प्रसामान्य रूप से वितरित है जिसका

माध्य: ,

प्रसरण:

इस प्रकार, ।

इसलिए, विकल्प 4 गलत है।

अतः विकल्प 2) और 3) सही हैं।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

हम मुख्य रूप से शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।

अवधारणा:

सामान्य वितरण के माध्य का अधिकतम संभाविता अनुमानक है।

व्याख्या:

माध्य μ और प्रसरण 1 वाले सामान्य वितरण से आकार 3 का एक यादृच्छिक नमूना {3, 6, 9} दिया गया है।

इसलिए μ का अधिकतम संभावना अनुमान = = = 6

लेकिन दिया गया है μ ∈ (−∞, 5] इसलिए μ का अधिकतम संभाविता अनुमान 6 नहीं हो सकता है।

अब चूँकि 5 (−∞, 5] में अधिकतम मान है

इसलिए μ का अधिकतम संभावना अनुमान 5 है।

विकल्प (2) सही है।

संप्रत्यय:

अधिकतम संभावना आकलन (MLE), जो प्रेक्षित आँकड़ों को देखते हुए एक सांख्यिकीय मॉडल के प्राचलों का आकलन करने की एक विधि है।

संभावना फलन प्रत्येक प्रेक्षित परिणाम की प्रायिकताओं का गुणनफल है।

व्याख्या:

जहाँ एक अज्ञात प्राचल है।

प्रतिदर्श आकार 100 है।

x = 0, 1, 2 की प्रेक्षित गणनाएँ क्रमशः 20, 30 और 50 हैं।

आइए प्रेक्षित गणनाओं को निरूपित करें

के लिए

के लिए

के लिए

संभावना फलन, PMF के आधार पर, प्रेक्षित डेटा बिंदुओं की प्रायिकताओं का गुणनफल है।

दिए गए x = 0, 1, 2 को देखने की प्रायिकता है

फलन को अधिकतम करते समय से जुड़े नियतांक पदों की उपेक्षा की जा सकती है।

MLE ज्ञात करने के लिए, के सापेक्ष का अवकलज लें और इसे शून्य के बराबर करें

अधिकतम मान के लिए:

⇒

समीकरण को हल करने पर:

⇒

⇒

⇒

और प्रतिस्थापित करने पर,

इसलिए, सही विकल्प 2) है।

अवधारणा:

मान लें कि F(x) एक संचयी वितरण फलन है तो

(i) = 0, = 1

(ii) F एक गैर-ह्रासमान फलन है

स्पष्टीकरण:

(2): F(x) =

= = = (एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करके), संतुष्ट नहीं करता

विकल्प (2) गलत है

(3): F(x) =

=

= (एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करके)

= - 1 + 1 = 0, संतुष्ट नहीं

विकल्प (3) गलत है

(4): F(x) =

f(0-) = 1/2 और f(0+) = 1/4 और \frac14\) इसलिए F(x) गुण "F एक गैर-ह्रासमान फलन है" को संतुष्ट नहीं करता है

विकल्प (4) गलत है।

इसलिए विकल्प (1) सही है।

अवधारणा:

एक प्राचलिक फलन f(λ) को अनुमानित कहा जाता है यदि g(X) मौजूद है जैसे कि E(g(X)) = f(λ) अन्यथा इसे अनुमानित नहीं कहा जाता है।

व्याख्या:

दिया गया है कि X एक प्वासों यादृच्छिक चर है जिसका माध्य λ है।

इसलिए E(X) = λ और Var(X) = λ

हमें वह प्राचलिक फलन ज्ञात करना है जो अनुमानित नहीं है।

(2): E(X) = λ तो यहां हमें एक फलन g(X) = X मिल रहा है।

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (2) गलत है।

(3): E(X²) = [E(X)]² + Var(X) = λ² + λ

इसलिए E(X² - X) = E(X2) - E(X) = λ2 + λ - λ = λ2

यहां हमें फलन g(X) = X2 - X मिल रहा है

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (3) गलत है।

(4): E = e−λ​

यहां हमें फलन g(X) =

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (4) गलत है।

इसलिए विकल्प (1) सही है।

संप्रत्यय:

सहप्रसरण आव्यूह की गणना:

प्रत्येक और चूँकि स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हैं, इसलिए उनके प्रसरण और सहप्रसरणों की सरलता से गणना की जा सकती है।

का प्रसरण है।

किन्हीं दो भिन्न और (जहाँ ) के बीच सहप्रसरण है

इस प्रकार, Y के सहप्रसरण आव्यूह में विकर्ण पर 2 और विकर्ण के बाहर 1 हैं।

व्याख्या:

स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) यादृच्छिक चर हैं जिनका माध्य 0 और प्रसरण 1 है।

.

के सहप्रसरण आव्यूह पर आधारित पहला मुख्य घटक ज्ञात करना कार्य है।

प्रत्येक जहाँ, सभी में समान है।

किन्हीं दो भिन्न और के बीच सहप्रसरण पर निर्भर करता है।

के लिए सहप्रसरण आव्यूह में प्रविष्टियाँ होंगी:

, जहाँ क्रोनकर डेल्टा है।

चूँकि और का प्रसरण 1 है, हमें मिलता है,

जब (समान के कारण)।

जब .

इस प्रकार, सहप्रसरण आव्यूह एक आव्यूह है जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ 2 और विकर्ण के बाहर

प्रविष्टियाँ 1 हैं। यह एक सममित आव्यूह है।

पहला मुख्य घटक सहप्रसरण आव्यूह के सबसे बड़े आइगेन मान से जुड़े आइगेन सदिश के संगत है।

इस तरह के सहप्रसरण आव्यूह (सभी विकर्ण के बाहर के अवयव समान और विकर्ण अवयव विकर्ण के बाहर के अवयवों से बड़े होने के साथ) के लिए, पहले मुख्य घटक में सभी घटकों पर समान भार होगा। विशेष रूप से, सबसे बड़े आइगेन मान से संबंधित आइगेन सदिश  के समानुपाती होगा।

इस प्रकार पहले मुख्य घटक को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है ​​

यह का एक रैखिक संयोजन है, जहाँ प्रत्येक का समान भार है,

जिसे से स्केल किया गया है ताकि आइगेन सदिश की इकाई लंबाई सुनिश्चित हो सके।

उपलब्ध विकल्पों में से, पहले मुख्य घटक का सही निरूपण

घटक ​​ है

इस प्रकार, सही उत्तर पहला विकल्प है।

प्रयुक्त अवधारणाएँ:

1. संचयी बंटन फलन (CDF):

CDF F(x) उस प्रायिकता को देता है कि यादृच्छिक चर X का मान x से कम या उसके बराबर है। अर्थात्, F(x) = P(X ≤ x) है। 

2. CDF का उपयोग करके प्रायिकता ज्ञात करें:

यह प्रायिकता कि यादृच्छिक चर X एक निश्चित अंतराल (a, b] में स्थित है, निम्न द्वारा दी जाती है:

P(a

3. एक विशिष्ट बिंदु पर प्रायिकता (जम्प असांतत्य):

किसी विशिष्ट बिंदु x = c पर प्रायिकता, c के ठीक दाईं ओर और ठीक बाईं ओर CDF में अंतर है:

P(X = c) = F(c⁺) - F(c^-)

व्याख्या -

हमें एक यादृच्छिक चर X का संचयी बंटन फलन (CDF) F(x) दिया गया है:

F(x) =

CDF से प्रायिकता की परिभाषा से: P(a

इस स्थिति में, हमें की गणना करने की आवश्यकता है।

चूँकि और , हम दोनों 1/3 और 3/4 के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, प्रायिकता है:

=

किसी बिंदु पर प्रायिकता उस बिंदु पर CDF में जम्प है। हमें F(0⁺) - F(0^-) की गणना करने की आवश्यकता है।

CDF परिभाषा से: F(0⁺) = F(0) =

⇒ F(0^-) = 0

इस प्रकार,

अब, हम दो परिणामों को जोड़ते हैं:

इस प्रकार, अंतिम उत्तर 17/36 है।

अवधारणा:

Y = का माध्य सदिश E(Y) = है और Y का सहप्रसरण आव्यूह Σ = है।

व्याख्या:

दिया गया है कि X = (X1, X2)T का माध्य सदिश (0, 0)T है और सहप्रसरण आव्यूह Σ इस प्रकार है कि Σ =

इसलिए

E(X1) = 0, E(X2) = 0, var(X1) = 5, var(X2) = 10........(i)

cov(X1X2) = cov(X2X1) = -3................................(ii)

अब, cov(X1X2) = -3

⇒ E(X1X2) - E(X1)E(X2) = -3

⇒ E(X1X2) - 0 = -3 (i का उपयोग करके)

⇒ E(X1X2) = -3 ..........(iii)

Y = (X1, 5 − 2X2)T

मान लीजिए Y = (Y₁, Y₂)^T

तो Y1 = X1 और Y2 = 5 − 2X2.......(iv)

अब, E(Y1) = E(X1) = 0 और E(Y2) = 5 - 2E(X2) = 5 - 0 =5

इसलिए Y का माध्य सदिश = .......(v)

साथ ही var(Y1) = var(X1) = 5

var(Y2) = var(5 - 2X2) = 0 + 4var(X2) = 4 × 10 = 40

cov(Y1Y2) = E(Y1Y2) - E(Y1)E(Y2)

= E(5X1 - 2X1X2) - 0 (i और ii का उपयोग करके)

= 5E(X1) - 2E(X1X2) = 0 + 6 = 6 (i और iii का उपयोग करके)

साथ ही cov(Y2Y1) = 6

इसलिए Y का सहप्रसरण आव्यूह है।

इसलिए विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है कि X1, X2, …, Xn स्वतंत्र और समान रूप से वितरित N(θ, 1) हैं

X̅ = n−1 Xi

t0.975, n−1, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाले छात्र के t-वितरण का 0.975-क्वांटाइल दर्शाता है।

इसलिए यहां विश्वास अंतराल 0.975 है जो 0.95 से अधिक है।

इसलिए महत्व का स्तर = 2.25%

इसलिए विकल्प (3) सही है।