Question
Download Solution PDFमान लीजिए कि एक बंटन है जिसका प्रायिकता द्रव्यमान फलन है
\(\rm f(x| θ)=\left\{\begin{matrix}\frac{1-θ}{2}, &यदि\ x = 0\\\ \frac{1}{2}&यदि\ x=1\\\ \frac{θ}{2}&यदि\ x=2\\\ 0&अन्यथा\end{matrix}\right.\)
जहाँ θ ∈ (0, 1) एक अज्ञात प्राचल है। उपरोक्त बंटन से आकार 100 के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श में, 0, 1 और 2 की प्रेक्षित गणनाएँ क्रमशः 20, 30 और 50 हैं। तब, प्रेक्षित आँकड़ों के आधार पर θ का अधिकतम संभावना आकलन है
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
अधिकतम संभावना आकलन (MLE), जो प्रेक्षित आँकड़ों को देखते हुए एक सांख्यिकीय मॉडल के प्राचलों का आकलन करने की एक विधि है।
संभावना फलन प्रत्येक प्रेक्षित परिणाम की प्रायिकताओं का गुणनफल है।
व्याख्या:
\(f(x | \theta) = \begin{cases} \frac{1 - \theta}{2}, & \text{यदि } x = 0 \\ \frac{1}{2}, & \text{यदि } x = 1 \\ \frac{\theta}{2}, & \text{यदि } x = 2 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}\)
जहाँ \(\theta \in (0, 1)\) एक अज्ञात प्राचल है।
प्रतिदर्श आकार 100 है।
x = 0, 1, 2 की प्रेक्षित गणनाएँ क्रमशः 20, 30 और 50 हैं।
आइए प्रेक्षित गणनाओं को निरूपित करें
\(n_0 = 20 , \) के लिए \(x=0\)
\( n_1 = 30 \) के लिए \(x = 1\)
\( n_2 = 50 \) के लिए \(x = 2\)
संभावना फलन, PMF के आधार पर, प्रेक्षित डेटा बिंदुओं की प्रायिकताओं का गुणनफल है।
\(\theta \) दिए गए x = 0, 1, 2 को देखने की प्रायिकता है
\(L(\theta) = \left( \frac{1 - \theta}{2} \right)^{n_0} \left( \frac{1}{2} \right)^{n_1} \left( \frac{\theta}{2} \right)^{n_2}\)
\(\log L(\theta) = n_0 \log \left( \frac{1 - \theta}{2} \right) + n_1 \log \left( \frac{1}{2} \right) + n_2 \log \left( \frac{\theta}{2} \right)\)
\(\log L(\theta) = n_0 \log(1 - \theta) + n_1 \log \left( \frac{1}{2} \right) + n_2 \log(\theta) + \text{नियतांक पद}\)
फलन को अधिकतम करते समय \(\frac{1}{2} \) से जुड़े नियतांक पदों को अनदेखा किया जा सकता है।
MLE ज्ञात करने के लिए, \(\theta\) के सापेक्ष \(\log L(\theta)\) का अवकलज लें और इसे शून्य के बराबर करें
\(\frac{d}{d\theta} \log L(\theta) = \frac{-n_0}{1 - \theta} + \frac{n_2}{\theta}\)
अधिकतम मान के लिए: \(\frac{-n_0}{1 - \theta} + \frac{n_2}{\theta} = 0\)
⇒ \(\frac{n_2}{\theta} = \frac{n_0}{1 - \theta} \)
समीकरण को हल करना: \(n_2(1 - \theta) = n_0 \theta\)
⇒ \(n_2 - n_2 \theta = n_0 \theta \)
⇒ \(n_2 = (n_0 + n_2) \theta \)
⇒ \(\theta = \frac{n_2}{n_0 + n_2}\)
\(n_0 = 20\) और \( n_2 = 50:\) प्रतिस्थापित करें
\(\theta = \frac{50}{20 + 50} = \frac{50}{70} = \frac{5}{7} \)
इसलिए, सही विकल्प 2) है।
Last updated on Jun 23, 2025
-> The last date for CSIR NET Application Form 2025 submission has been extended to 26th June 2025.
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-> Postgraduates in the relevant streams can apply for this exam.
-> Candidates must download and practice questions from the CSIR NET Previous year papers. Attempting the CSIR NET mock tests are also very helpful in preparation.