मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जिसका संचयी बंटन फलन (CDF) निम्न द्वारा दिया गया है: \(\rm F(x)=\left\{\begin{matrix}0,&\ if\ x<0\\\ \frac{x+1}{3},&\ if\ 0\le x < 1\\\ 1, & \ if\ x \ge 1\end{matrix}\right.\) तब \(\rm P\left(\frac{1}{3}<X<\frac{3}{4}\right)+P(X=0) \) का मान किसके बराबर है?

प्रयुक्त अवधारणाएँ:

1. संचयी बंटन फलन (CDF):

CDF F(x) उस प्रायिकता को देता है कि यादृच्छिक चर X का मान x से कम या उसके बराबर है। अर्थात्, F(x) = P(X ≤ x) है। 

2. CDF का उपयोग करके प्रायिकता ज्ञात करें:

यह प्रायिकता कि यादृच्छिक चर X एक निश्चित अंतराल (a, b] में स्थित है, निम्न द्वारा दी जाती है:

P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

3. एक विशिष्ट बिंदु पर प्रायिकता (जम्प असांतत्य):

किसी विशिष्ट बिंदु x = c पर प्रायिकता, c के ठीक दाईं ओर और ठीक बाईं ओर CDF में अंतर है:

P(X = c) = F(c⁺) - F(c^-)

व्याख्या -

हमें एक यादृच्छिक चर X का संचयी बंटन फलन (CDF) F(x) दिया गया है:

F(x) = \(\begin{cases} 0, & \text{यदि } x < 0 \\ \frac{x+1}{3}, & \text{यदि } 0 \leq x < 1 \\ 1, & \text{यदि } x \geq 1 \end{cases}\)

CDF से प्रायिकता की परिभाषा से: P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

इस स्थिति में, हमें \(F\left(\frac{3}{4}\right) और \ F\left(\frac{1}{3}\right) \) की गणना करने की आवश्यकता है।

चूँकि \( 0 \le \frac{1}{3} < 1\) और \(0 \le \frac{3}{4} < 1\) , हम दोनों 1/3 और 3/4 के लिए सूत्र \(F(x) = \frac{x+1}{3}\) का उपयोग करते हैं:

\(F\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\frac{1}{3} + 1}{3} = \frac{\frac{4}{3}}{3} = \frac{4}{9}\)

\(\Rightarrow F\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\frac{3}{4} + 1}{3} = \frac{\frac{7}{4}}{3} = \frac{7}{12}\)

इस प्रकार, प्रायिकता \(P\left(\frac{1}{3} < X \leq \frac{3}{4}\right)\) है:

\(P\left(\frac{1}{3} < X \leq \frac{3}{4}\right) = F\left(\frac{3}{4}\right) - F\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{7}{12} - \frac{4}{9}\)

= \(\frac{21}{36} - \frac{16}{36} = \frac{5}{36}\)

किसी बिंदु पर प्रायिकता उस बिंदु पर CDF में जम्प है। हमें F(0⁺) - F(0^-) की गणना करने की आवश्यकता है।

CDF परिभाषा से: F(0⁺) = F(0) =\( \frac{0+1}{3} = \frac{1}{3}\)

⇒ F(0^-) = 0

इस प्रकार, \(P(X = 0) = F(0^+) - F(0^-) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} = \frac{12}{36}\)

अब, हम दो परिणामों को जोड़ते हैं:

\(P\left(\frac{1}{3} < X \leq \frac{3}{4}\right) + P(X = 0) = \frac{5}{36} + \frac{12}{36} = \frac{17}{36}\)

इस प्रकार, अंतिम उत्तर 17/36 है।