Singularities MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Singularities - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

फलन पर विचार करते है

फलन sin(z) का z = 0 के आसपास निम्नलिखित मैकलॉरिन श्रेणी प्रसार है:

अब, f(z) के लिए लॉरेंट श्रेणी प्राप्त करने के लिए इसे z³ से विभाजित करते हैं:

⇒

यहाँ, लॉरेंट श्रेणी में 1/z² (z की एक ऋणात्मक घात) का पद है, लेकिन इससे आगे कोई ऋणात्मक घात नहीं है।

यह इंगित करता है कि z = 0 कोटि 2 का ध्रुव है।

1) यदि लॉरेंट श्रेणी में z की कोई ऋणात्मक घात नहीं है, तो एक सुधार योग्य विलक्षणता होती है।

चूँकि, f(z) में 1/z² ऋणात्मक घात है, इसलिए यह कथन गलत है।

2) यदि लॉरेंट श्रेणी में 1/z के रूप का ठीक एक पद है, तो एक साधारण ध्रुव होता है।

चूँकि f(z) की लॉरेंट श्रेणी में 1/z² का पद है, इसलिए यह कथन गलत है।

3) यदि लॉरेंट श्रेणी में 1/z² का पद है और इससे अधिक ऋणात्मक घात वाले कोई पद नहीं हैं, तो कोटि 2 का ध्रुव होता है।

यह f(z) के लिए बिल्कुल सही है, इसलिए यह कथन सही है।

4) यदि लॉरेंट श्रेणी में z की अनंत ऋणात्मक घातें हैं, तो एक आवश्यक विलक्षणता होती है।

चूँकि f(z) की लॉरेंट श्रेणी में केवल 1/z² ऋणात्मक घात वाला एक पद है, इसलिए यह कथन गलत है।

इस प्रकार, सही उत्तर (3) है।

संप्रत्यय:

एक बिंदु एक अनिवार्य विचित्रता है यदि f(z) का के चारों ओर लॉरेंट श्रेणी प्रसार

अनंत रूप से कई ऋणात्मक घात पद रखता है | विशेष रूप से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जहाँ n सभी शून्य नहीं हैं|

एक बिंदु एक अपनेय विचित्रता है यदि

जहाँ L एक सम्मिश्र संख्या है | यदि हम को परिभाषित करते हैं, तो f(z) पर वैश्लेषिक हो जाता है।

व्याख्या:

के लिए, मान लीजिए  और g(z) = f(z)sin (z) है |

फलन :

के रूप में के व्यवहार का विश्लेषण करने के लिए, के टेलर श्रेणी प्रसार पर विचार करें:

प्रतिस्थापित करने पर:

इसलिए,


चूँकि  है, f(z) अनंत रूप से दोलायमान व्यवहार प्रदर्शित करता है, यह दर्शाता है कि f(z) में z = 0 पर एक अनिवार्य विचित्रता है।

2. फलन :

z = 0 के पास, z की तरह व्यवहार करता है, इसलिए

चूँकि लगभग 1 के बराबर है जब

इसलिए g(z) में z = 0 पर अनिवार्य विचित्रता है। 

विकल्प 1: f का 0 पर एक अनिवार्य विचित्रता है: सत्य है।

विकल्प 2: g का 0 पर एक अनिवार्य विचित्रता है: सत्य है।

विकल्प 3: f का 0 पर एक अपनेय विचित्रता है: असत्य है।

विकल्प 4: g का 0 पर एक अपनेय विचित्रता है: असत्य है।

सत्य कथन विकल्प 1) और 2) हैं।

संकल्पना:

किसी समिश्र फलन के विशिष्टता बिंदुओं के समुच्चय का सीमांत बिंदु फलन की एक अवियुक्‍त अनिवार्य अव्युत्क्रमणीय है।

स्पष्टीकरण:

f(z) = cot = 

f(z) में अव्युत्क्रमणीय है,

sin = 0 अर्थात,  = nπ अर्थात, z = , n ∈ 

अब,  = 0

चूँकि विशिष्टता बिंदुओं के समुच्चय का सीमांत बिंदु 0 है, इसलिए f(z) में z = 0 पर अनिवार्य अव्युत्क्रमणीय है। 

अतः (4) सही है। 

संकल्पना:

• एक समिश्र फलन f(z) है।  

(i) यदि विद्यमान है, तो z = a पर एक विस्थापनीय अव्युत्क्रमणीयता है। 

(ii) z = a पर कोटि m का एक ध्रुव यदि  ≠ 0 और  = ∞

(iii) z = a पर एक अनिवार्य अव्युत्क्रमणीयता है, यदि  विद्यमान नहीं है। 

• एक समिश्र फलन f(z) = f(z)/h(z) के ध्रुवों को मूल्यवर्ग h(z) के शून्य के बराबर करके प्राप्त किया जाता है।
• एक समिश्र फलन f(z) के सरल ध्रुवों का सीमा बिंदु एक अव्युत्क्रमणीयता है।

स्पष्टीकरण:

माना f(z) =  = 

f(z) के ध्रुव हर के शून्य के बराबर करके प्राप्त किए जाते हैं। अर्थात,

 = 0

⇒ (z - a)² = 0, sin πz = 0

⇒ z = a, πz = nπ, n ∈ 

⇒ z = a, z = n,  n ∈ 

इसलिए f(z) का z = a पर कोटि 2 का एक ध्रुव है और z = n, n ∈ A पर सरल ध्रुव हैं अर्थात, f(z) में z = 0, ± 1, ± 2, ... पर सरल ध्रुव हैं।

(1), (2), (3) असत्य है। 

अब,  = ∞

अतः z = ∞ एक अवियुक्‍त अनिवार्य अव्युत्क्रमणीयता है।

अतः (4) सही है। 

संकल्पना:

एक जटिल फलन f(z) है,

(i) यदि विद्यमान है तो z = a पर एक विस्थापनीय अव्युत्क्रमणीयता 

(ii) z = a पर कोटि m का एक ध्रुव यदि  ≠ 0 और  = ∞

(iii) z = a पर एक अनिवार्य अव्युत्क्रमणीयता है, यदि  विद्यमान नहीं है। 

स्पष्टीकरण:

f(z) = 

 =  =  = ∞

अतः f(z) का एक ध्रुव z = 0 पर है,

अतः (2) सही है। 

अवधारणा:

दिया गया है  

यहाँ ध्रुव  पर है।

इस प्रकार,

दिया गया है,

संकल्पना:

ध्रुव:

वह मान जिसके लिए f(z) अस्तित्व में नहीं रहता है अर्थात वह मान जिस पर फलन का हर f(z) = 0 होता है।

जब किसी ध्रुव का क्रम 1 होता है, तो उसे साधारण ध्रुव के रूप में जाना जाता है।

वह बिंदु जहां फलन परिभाषित नहीं है, अर्थात वह मान जहां f(z) असंतत है, विचित्रताएं कहलाती हैं।

गणना:

दिया गया है:

विश्लेषिक फलन

फलन को z = i या z = -i पर परिभाषित नहीं किया गया है। 

अर्थात फलन की विचित्रताओं का बिंदु क्रमशः i और -i है।

संकल्पना:

1. z₀→  पर विस्थापनीय अव्युत्क्रमणीयता

2. z₀ →  = परिमित मान पर सरल ध्रुव

3. अनिवार्य अव्युत्क्रमणीयताएँ → बहुत ऊँची कोटि का ध्रुव (या अपरिमित)

गणना:

दिया गया है 

 (चूँकि cos² θ – sin² θ = cos 2 θ)

 रखने पर इसलिए हम निम्न पर अव्युत्क्रमणीयता प्राप्त कर सकते हैं

 (t → 0)

उपरोक्त से यह स्पष्ट है कि

 का t = 0 पर एक सरल ध्रुव है।

इसका तात्पर्य यह है कि f(z) का पर सरल ध्रुव है

संकल्पना:

1. z0 पर अपनेय विचित्रताएँ →  

2. z0 पर सरल ध्रुव →   = अनंत मान

3. अनिवार्य विचित्रताएँ → कोटि का ध्रुव बहुत उच्च (या अनंत)

गणना:

माना z – 1 = t;

तब फलन होगा

sin x के मानक विस्तार का उपयोग करने पर;

⇒ 

⇒ 

⇒  

गणना:

 कोटि 2 का एक ध्रुव है।

संकल्पना:

1. z0 पर स्थानान्तरणीय विलक्षणता → 

2. z0 पर साधारण ध्रुव →  = सीमित मान 

3. अनिवार्य विलक्षणता → कोटि का ध्रुव बहुत उच्च (या अनंत) है। 

गणना:

 (z-1) के ऋणात्मक घांतों की अनंत संख्या हैं, अतः z = 1 अनिवार्य विलक्षणता है। 

अवधारणा:

दिया गया है  

यहाँ ध्रुव  पर है।

इस प्रकार,

दिया गया है,

संकल्पना:

ध्रुव:

वह मान जिसके लिए f(z) अस्तित्व में नहीं रहता है अर्थात वह मान जिस पर फलन का हर f(z) = 0 होता है।

जब किसी ध्रुव का क्रम 1 होता है, तो उसे साधारण ध्रुव के रूप में जाना जाता है।

वह बिंदु जहां फलन परिभाषित नहीं है, अर्थात वह मान जहां f(z) असंतत है, विचित्रताएं कहलाती हैं।

गणना:

दिया गया है:

विश्लेषिक फलन

फलन को z = i या z = -i पर परिभाषित नहीं किया गया है। 

अर्थात फलन की विचित्रताओं का बिंदु क्रमशः i और -i है।

संकल्पना:

किसी समिश्र फलन के विशिष्टता बिंदुओं के समुच्चय का सीमांत बिंदु फलन की एक अवियुक्‍त अनिवार्य अव्युत्क्रमणीय है।

स्पष्टीकरण:

f(z) = cot = 

f(z) में अव्युत्क्रमणीय है,

sin = 0 अर्थात,  = nπ अर्थात, z = , n ∈ 

अब,  = 0

चूँकि विशिष्टता बिंदुओं के समुच्चय का सीमांत बिंदु 0 है, इसलिए f(z) में z = 0 पर अनिवार्य अव्युत्क्रमणीय है। 

अतः (4) सही है। 

संकल्पना:

मान लीजिए f(z) = एक समिश्र फलन है। तब f(z) का ध्रुव h(z) = 0 द्वारा दिया जाता है, जहाँ g(z) ≠ 0 और  है

स्पष्टीकरण: 

f(z) = 

f(z) के ध्रुव इस प्रकार दिए गए हैं

sin(πz) = 0 

⇒ sin(πz) = sin(nπ), n ∈   

⇒ πz = nπ, n ∈ 

⇒ z = n, n ∈  

अब, सभी सम पूर्णांकों के लिए,  = 0

और सभी विषम पूर्णांकों के लिए  ≠ 0

अतः f(z) में सभी विषम पूर्णांकों पर ध्रुव है। 

अतः (3) सही है।