Relations and Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Relations and Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 1, 2025

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Latest Relations and Functions MCQ Objective Questions

Relations and Functions Question 1:

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

माना कि a = 1 + 2C2/3! + 3C2/4! + 4C2/5! + ... और

b = 1 + (1C0 + 1C1)/1! + (2C0 + 2C1 + 2C2)/2! + (3C0 + 3C1 + 3C2 + 3C3)/3! + ... है। 

तब (8b / a2) का मान ______ है।

  1. 4
  2. 8
  3. 16
  4. 32

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 32

Relations and Functions Question 1 Detailed Solution

संप्रत्यय:

चरघातांकी जनक फलन और श्रेणी गुणांक:

  • व्यंजक संयोजन nCr और क्रमगुणित का उपयोग करता है, जो घातीय और द्विपद प्रसार सर्वसमिकाओं की ओर इंगित करता है।
  • x2 के गुणांक का मूल्यांकन करने के लिए फलन f(x) = 1 + (1 + x)/1! + (1 + x)2/2! + (1 + x)3/3! + ... माना जाता है।
  • इस फलन को इस सर्वसमिका का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है: e1+x / (1 + x)
  • इस प्रसार में x2 का गुणांक 'a' श्रेणी के RHS से मेल खाता है।
  • b का मान इस सर्वसमिका का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है: 1 + 2/1! + 22/2! + 23/3! + ... = e2

 

गणना:

माना कि f(x) = 1 + (1 + x)/1! + (1 + x)2/2! + (1 + x)3/3! + ...

⇒ f(x) = e(1+x) / (1 + x)

RHS का प्रसार:

= (1 + x + x2/2! + ...) / (1 + x)

⇒ (1 + x + (1 + x)2/2! + (1 + x)3/3! + (1 + x)4/4! + ...)

इसलिए, RHS में x2 का गुणांक है:

2C2/3! + 3C2/4! + 4C2/5! + ... = a - 1

RHS में x2 का गुणांक:

e × (1 + x+ x2/2!) × (1 -x+ x2/2!)

e- e+ e/2! =a है,

अब, LHS व्यंजक का प्रसार करें:

e × (1 + x+ x2/2!) × (1 -x+ x2/2!)

⇒ e × (1 - (x4/4!)) = e 

इसलिए, x2 का गुणांक = e x e = e2

इस प्रकार, b = 1 + 2/1! + 22/2! + 23/3! + ... = e2

a = e/2!

⇒ 8b / a2 = 2 × e2 / (e/2!)2 = 32

∴ 8b / a2 = 32

Relations and Functions Question 2:

माना कि f(x) = 3 + 2x और gn(x) = (fo fo f0... n बार) (x) है।

∀n ∈ N यदि सभी रेखाएँ y = gn(x) एक स्थिर बिंदु (α, β) से गुजरती हैं, तो α - β =

  1. -15
  2. -14
  3. -13
  4. -16

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : -15

Relations and Functions Question 2 Detailed Solution

संप्रत्यय:

  • माना f(x) = 3 + 2x, जो f(x) = ax + b के रूप का एक रैखिक फलन है।
  • माना gn(x) वह फलन है जो f को स्वयं के साथ n बार संयोजित करके प्राप्त होता है: gn(x) = f ∘ f ∘ ... ∘ f (n बार)(x)
  • यदि gn(x) सभी n ∈ ℕ के लिए एक स्थिर बिंदु (α, β) से गुजरता है, तो बिंदु समीकरण gn(α) = β को सभी n के लिए संतुष्ट करता है।
  • इसका अर्थ है कि बिंदु (α, β) सभी फलनों gn का एक स्थिर बिंदु है।
  • हम इसे स्थिर बिंदु के लिए हल करके ज्ञात करते हैं जो f(α) = α को संतुष्ट करता है, जो गारंटी देता है कि बिंदु पुनरावृत्त फलन संयोजन के तहत स्थिर रहता है।

 

गणना:

माना f(x) = 3 + 2x

हमें एक बिंदु (α, β) चाहिए जो इस प्रकार हो कि gn(α) = β, सभी n ∈ ℕ के लिए

⇒ fn(α) = β, सभी n के लिए

आइए कुछ मानों की गणना करें:

g1(x) = f(x) = 3 + 2x

g2(x) = f(f(x)) = f(3 + 2x) = 3 + 2(3 + 2x) = 3 + 6 + 4x = 9 + 4x

g3(x) = f(g2(x)) = f(9 + 4x) = 3 + 2(9 + 4x) = 3 + 18 + 8x = 21 + 8x

इसलिए पैटर्न है: gn(x) = An + Bnx

आइए पुनरावृत्ति संबंधों को निकालें:

प्रारंभिक: A1 = 3, B1 = 2

⇒ An = 3 + 2An-1

⇒ Bn = 2Bn-1

Bn = 2n

आइए स्थिर बिंदु ज्ञात करें: f(α) = α

⇒ 3 + 2α = α

⇒ α = -3

माना β = gn(α) = gn(-3)

gn(x) = An + Bnx = An - 3 × Bn

इसलिए β = An - 3 × Bn

हम सभी n के लिए यह स्थिरांक चाहते हैं

आइए छोटे मानों के लिए जाँच करें:

g1(x) = 3 + 2x ⇒ g1(-3) = 3 - 6 = -3

g2(x) = 9 + 4x ⇒ g2(-3) = 9 - 12 = -3

g3(x) = 21 + 8x ⇒ g3(-3) = 21 - 24 = -3

इसलिए, सदैव β = -3 है। 

∴ 2α + 3β = -3× 2 + (-3)× 3 = -15

Relations and Functions Question 3:

दशमलव संख्या 45 का द्विआधारी प्रतिनिधित्व क्या है?

  1. 110011
  2. 101010
  3. 1101101
  4. 101101
  5. उपर्युक्त में से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 101101

Relations and Functions Question 3 Detailed Solution

संकल्पना:

दशमलव को द्विआधारी में परिवर्तित करने पर

परावर्तन चरण:

  • संख्या को 2 से विभाजित कीजिए। 
  • अगले पुनरावृत्ति के लिए पूर्णाक भागफल प्राप्त कीजिए। 
  • द्विआधारी अंक के लिए शेषफल प्राप्त कीजिए। 
  • भागफल के 0 के बराबर होने तक चरणों को दोहराये। 

गणना:

2 से विभाजन 

भागफल

शेषफल 

45/2

22

1

22/2

11

0

11/2

5

1

5/2

2

1

2/2

1

0

1/2

0

1

 

∴ (45)10 = 101101

 

Relations and Functions Question 4:

Comprehension:

निम्न दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए :

x और y के सभी वास्तविक मानों के लिए एक फलन इस प्रकार है कि f(xy) = f(x + y) और f(5) = 10 है। 

. f(20) + f(- 20) किसके बराबर है?

  1. 0
  2. 10
  3. 20
  4. 40

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 20

Relations and Functions Question 4 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

फलन है, जहाँ x और y के सभी वास्तविक मान हैं, और f(5) = 10 है।

हमें ज्ञात करना है:

दिए गए फलन समीकरण का उपयोग करके, हमारे पास है:

के लिए, हमें मिलता है:

के लिए, हमें मिलता है:

के लिए, हमें मिलता है:

इस प्रकार,

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

Relations and Functions Question 5:

Comprehension:

निम्न दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए :

x और y के सभी वास्तविक मानों के लिए एक फलन इस प्रकार है कि f(xy) = f(x + y) और f(5) = 10 है। 

f(0) किसके बराबर है?

  1. 0
  2. 1
  3. 5
  4. 10

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 10

Relations and Functions Question 5 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

फलन इस प्रकार है कि: x और y के सभी वास्तविक मानों के लिए,  और  है। 

हमें का मान ज्ञात करना है।

दिए गए फलन समीकरण में और प्रतिस्थापित करने पर:

चूँकि , हम निष्कर्ष निकालते हैं:

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

Top Relations and Functions MCQ Objective Questions

4cos3 x - 3cos x की सबसे लम्बी अवधि क्या है?

  1. π 
  2. 2π 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 :

Relations and Functions Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

फलन की अवधि:

यदि फलन को एक स्थिर अवधि में दोहराया जाता है, तो हम कहते हैं कि यह एक आवधिक फलन है। 

इसे f(x) = f(x + T) की तरह दर्शाया जाता है, T वास्तविक संख्या है और यह फलन की अवधि है। 

sin x और cos x की अवधि 2π है। 

 

गणना:

ज्ञात करना है:​ 4cos3 x - 3cos x की अवधि

चूँकि हम जानते हैं 4cos3 x - 3cos x = cos 3x

cos x की अवधि 2π है। 

अतः cos 3x की अवधि  है। 

फलन f(x) = x2 + 4x + 4 क्या है?

  1. विषम
  2. सम
  3. न विषम और न ही सम
  4. आवधिक

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : न विषम और न ही सम

Relations and Functions Question 7 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि f(x) सम फलन है तो f(-x) = f(x)

यदि f(x) विषम फलन है तो f(-x) = -f(x)

 

गणना:

दिया गया: f(x) = x2 + 4x + 4

x को -x से बदलें,

⇒ f(-x) = (-x)2 + 4(-x) + 4

= x2 - 4x + 4                       (∵ (-x)2 = x2)

⇒ f(-x) ≠ ± f(x)

इसलिए फलन न तो विषम है और न ही सम।

फलन  का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए। 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 :

Relations and Functions Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

  • व्युत्क्रम फलन:


माना कि f: A → B एकैकी और आच्छादक (एकैकी आच्छादी) फलन है। तो f-1 मौजूद है जो एक फलन f-1: B → A है, जो एक तत्व के साथ प्रत्येक तत्व b ∈ B को प्रतिचित्रित करता है। 

a ∈ A इस प्रकार है जिससे f(a) = b को f: A → B का व्युत्क्रम फलन कहा जाता है। 

  • व्युत्क्रम ज्ञात करने की विधि:

माना कि f: A → B एकैकी आच्छादी फलन है। 

चरण - I f(x) = y रखिए

चरण - II y के संदर्भ में x प्राप्त करने के लिए समीकरण y = f (x) को हल कीजिए। 

दिए गए फलन f का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए x और y को परस्पर परिवर्तित कीजिए। 

गणना:

दिया गया है: 

माना कि y = f(x) = 2x + 1 / x + 7

⇒ xy + 7y = 2x + 1

⇒ 7y – 1 = 2x – xy

⇒ x(2 - y) = 7y – 1

⇒ x = (7y - 1) / (2 - y)

⇒ f-1 (x) = 

3sin x - 4sin3x की सबसे लंबी अवधि क्या है?

  1. 2π 
  2. उपरोक्त में से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 :

Relations and Functions Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक फलन की अवधि:

  • यदि फलन एक स्थिर अवधि पर दोहराती है तो हम कहते हैं कि यह एक आवधिक फलन है। 
  • इसे f(x) = f(x + T) के रूप में दर्शाया गया है, T वास्तविक संख्या है और यह फलन की अवधि है।
  • sin x और cos x की अवधि 2π है। 

 

गणना:

 

ज्ञात करना है: 3sin x - 4sin3 x की अवधि

चूँकि हम जानते हैं 3sin x - 4sin3 x = sin 3x

 sin x की अवधि 2π है। 

अतः sin 3x की अवधि  है। 

यदि तो x किसके बराबर है?

  1. 1
  2. 6
  3. 3
  4. 9

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 3

Relations and Functions Question 10 Detailed Solution

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अवधारणा:

लघुगणक गुण:

गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

 

लघुगणक का सूत्र:

यदि  तो x = ab (यहाँ a ≠ 1 और a > 0)

 

गणना:

दिया हुआ: 

        (∵ )

               (∵

वास्तविक फलन f(x) =  की परास ज्ञात कीजिए। 

  1. R - {3}
  2. R - {1}
  3. R - {-3}

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : R - {1}

Relations and Functions Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

परास: एक फलन की परास उन सभी संभव मानों का समूह जिसे यह उत्पादित कर सकता है अर्थात् y के सभी मानों के लिए जिसके लिए x परिभाषित होता है। 

नोट:

एक फलन f(x) का डोमेन सभी मानों का समूह होता है जिसके लिए फलन परिभाषित होता है, और फलन की परास f द्वारा लिए गए सभी मानों का समूह होता है। 

गणना:

माना कि, y = f(x) =  है। 

⇒y(x - 3) = x + 1

⇒yx - 3y - x = 1

⇒ x(y - 1) - 3y = 1

⇒ x(y - 1) = 1 + 3y

यह स्पष्ट है कि y - 1 = 0 अर्थात y = 1 होने पर x परिभाषित नहीं है। 

∴ सीमा (f) = R - {1}

अतः विकल्प (2) सही है।

Mistake Pointsप्रश्न में दिया गया है कि f(x) वास्तविक फलन है। इसलिए,

f(x) में x = 3 के अलावा x के मान के लिए वास्तविक मान हैं

∴ दिए गए फलन का डोमेन = R - {3}, जहाँ R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है

फलन f(x) = sin-1 (x + 1) का डोमेन क्या है?

  1. [-1, 1]
  2. [-2, 0]
  3. [-2, 0)
  4. [-2, 2]

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : [-2, 0]

Relations and Functions Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

sin-1 x का डोमेन [-1, 1] है

एक असमानता के दोनों पक्षों से समान राशि को जोड़ने या घटाने पर अपरिवर्तित असमान चिन्ह छोड़ता है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = sin-1 (x + 1) 

चूँकि हम जानते हैं, sin1 x का डोमेन [-1, 1] है

इसलिए, -1 ≤ (x + 1) ≤ 1

उपरोक्त असमानता में 1 को घटाने पर,

⇒ -1 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 1 - 1

⇒ -2 ≤ x ≤ 0

∴ sin-1 (x + 1) का डोमेन [-2, 0] है

Mistake Points[-2, 0] [-2, 0] से अलग है। '[' and ']' इंगित करता है कि अंतिम संख्या (2 और 0) भी शामिल है। '(' and ')' इंगित करता है कि 2 और 0 को ध्यान में नहीं रखा गया है।

यदि f(x) = ln (x + है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही है ?

  1. f(x) + f(−x) = 0
  2. f(x)−f(−x) = 0
  3. 2f(x) = f(−x)
  4. f(x) = 2f(−x)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : f(x) + f(−x) = 0

Relations and Functions Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

  • (x + y)(x - y) = x2 - y2

गणना:

दिया गया हैf(x) = ln (x + ),__(i)

(i) में x को (-x) से प्रतिस्थापित करने पर,

⇒  f(-x) = ln (-x + ),

⇒  f(-x) = ln (-x + ),

ln फलन के अंदर (x + ) से गुणा और भाग करने पर,

⇒  f(-x) =  ,

⇒  f(-x) =  ,

⇒  f(-x) =  ,

⇒  f(-x) =  ,

(i) से,

⇒  f(-x) =  - f(x)\

⇒  f(-x) + f(x) = 0

सही उत्तर विकल्प (1) है।

माना f(x) = xहै, R में, तब f की सीमा क्या होगी?

  1. धनात्मक संख्या 
  2. ऋणात्मक वास्तविक संख्या 
  3. धनात्मक वास्तविक संख्या 
  4. पूर्णांक 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : धनात्मक संख्या 

Relations and Functions Question 14 Detailed Solution

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फलन का डोमेन ज्ञात कीजिए। 

  1. (2, ∞)
  2. [2, ∞)
  3. (0, ∞)
  4. [-2, ∞)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : (2, ∞)

Relations and Functions Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना:

1. फलन का डोमेन:

  • एक फलन का डोमेन स्वतंत्र चर के सभी संभव मानों का समूह होता है। वह एक फलन के लिए सभी संभव इनपुट होता है।

गणना:

माना कि दिया गया फलन अंश और हर के रूप में है। फलन हर के सभी गैर शून्य मानों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित होगा। 

इसलिए,  का अर्थ है कि .

उसीप्रकार वर्गमूल फलन सभी गैर-ऋणात्मक मानों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है। 

इसलिए,  0\) का अर्थ है कि  2.\)

अतः दिए गए फलन का डोमेन है। 

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