Operations on Sets MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Operations on Sets - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

n(A - B) = 20 + x

n(B - A) = 3x

n(A ∩ B) = x + 1

n(A) = n(B)

प्रयुक्त सूत्र:

समुच्चय A में कुल अवयव: n(A) = n(A - B) + n(A ∩ B)

समुच्चय B में कुल अवयव: n(B) = n(B - A) + n(A ∩ B)

चूँकि n(A) = n(B) है, इसलिए हम व्यंजकों को समान करते हैं।

गणना:

n(A) = n(A - B) + n(A ∩ B)

⇒ n(A) = (20 + x) + (x + 1)

⇒ n(A) = 21 + 2x

n(B) = n(B - A) + n(A ∩ B)

⇒ n(B) = (3x) + (x + 1)

⇒ n(B) = 4x + 1

चूँकि n(A) = n(B):

⇒ 21 + 2x = 4x + 1

⇒ 21 - 1 = 4x - 2x

⇒ 20 = 2x

⇒ x = 10

हमें (2x - 5) का मान ज्ञात करना है:

⇒ (2 × 10 - 5) = 20 - 5

⇒ 15

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

व्याख्या:

⇒ कुल छात्र = 240

⇒10 छात्र प्रत्येक विषय में अनुत्तीर्ण हुए। इसलिए, शेष कुल = 230

प्रश्न के अनुसार

⇒ a + b + c + d + e + f + g = 230 ..... (1)

⇒ b + c + d = 110.... (2)

⇒ e+ f + g = 60 ..... (3)

समीकरण (i) - समीकरण [(ii) + (iii)], हमें प्राप्त होता है

⇒ a = 230 -(110 + 60) = 60

∴ विकल्प (a) सही है।

प्रयुक्त अवधारणा:

n अवयवों वाले समुच्चय से स्वयं तक एकैकी फलनों की संख्या n! होती है।

गणना:

दिया गया है:

समुच्चय A = {-1, -2, 3, 4}

⇒ समुच्चय A में 4 अवयव हैं।

⇒ A से स्वयं तक एकैकी फलनों की संख्या 4! है।

⇒ 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

गणना

A : log_2/π|sinx| + log_2/π|cosx| = 2

⇒ log_2/π (|sinx . cosx|) = 2

⇒

हल की संख्या 4

B : मान लीजिये √x = t

तब

⇒ t² - 4t + 3t - 6 + 6 = 0

⇒ t² - t = 0, t = 0, t = 1

x = 0, x = 1

फिर मान लीजिये √x = t > 2

तब t² - 4t - 3t + 6 + 6 = 0

⇒ t² - 7t + 12 = 0

⇒ t = 3, 4

हलों की कुल संख्या

n(A ∪ B) = 4 + 4 = 8

इसलिए विकल्प 3 सही है

गणना

मान लीजिए

y = λx

⇒ 10 × (9C0 + 9C1 + 9C2 + 9C3 + …. + 9C9)

⇒ 10 × (29)

⇒ 10 × 512

⇒ 5120

स्पष्टीकरण :

(A - B) ∪ (B - A) =  A Δ B

दो सेटों का सममितीय अंतर: माना कि A और B दो सेट हैं। सेट A और B का सममितीय अंतर सेट (A - B) ∪ (B - A) है और इसे A Δ B के रूप में दर्शाया जाता है।

अर्थात A Δ B = (A - B) ∪ (B - A)

दो सेटों के सममित अंतर का वेन आरेख प्रतिनिधित्व नीचे दिखाया गया है

संकल्पना:

समुच्चयों का संयोजन:

दिये गए दो समुच्चयों का संयोजन वह समुच्चय होता है जिसमें वे तत्व शामिल होते हैं जो या तो A या B में या दोनों में होते हैं। 

समुच्चय A और B के संयोजन को A U B द्वारा दर्शाया गया है। 

समुच्चयों का प्रतिच्छेदन:

दिए गए दो समुच्चयों का प्रतिच्छेदन वह सबसे बड़ा समुच्चय होता है जिसमें वे सभी तत्व शामिल होते हैं जो दोनों समुच्चयों के लिए सामान्य होते हैं। 

समुच्चय A और B के प्रतिच्छेदन को A ∩ B द्वारा दर्शाया गया है। 

सूत्र: A ∪ B = A + B - A ∩ B

गणना:

दिया गया है: A ∩ B = A

ज्ञात करना है: A ∪ B

चूँकि हम जानते हैं, 

A ∪ B = A + B - A ∩ B

⇒ A ∪ B = A + B - A

∴ A ∪ B = B

संकल्पना:

डी मॉर्गन का नियम:

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

समुच्चय में वितरक नियम:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

गणना:

दिया गया है: A और B दो समुच्चय हैं। 

निम्न को ज्ञात करने के लिए: A ∩ (B ∪ A)^c

चूँकि हम जानते हैं, (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

इसलिए (B ∪ A)^c = B^c ∩ A^c

अब A ∩ (B ∪ A)^c = A ∩ (B^c ∩ A^c)

= (A ∩ B^c) ∩ (A ∩ A^c)             (वितरक नियम प्रयोग करने पर)

= (A ∩ B^c) ∩ ϕ                        (∵ x ∩ ϕ = ϕ)

= ϕ 

गणना:

दिया हुआ: चार समुच्चयों में क्रमशः 150, 180, 210 और 240 तत्व हैं

n(A) = 150

n(B) = 180

n(C) = 210

n(D) = 240

समुच्चय के प्रत्येक जोड़े में 15 तत्व हैं

n(A ∩ B) = 15

n(A ∩ C) = 15

n(A ∩ D) = 15

n(B ∩ C) = 15

n(B ∩ D) = 15

n(C ∩ D) = 15

समुच्चय के प्रत्येक त्रिक (ट्रिपल) में 3 तत्व हैं

n(A ∩ B ∩ C) = 3

n(A ∩ B ∩ D) = 3

n(A ∩ C ∩ D) = 3

n(B ∩ C ∩ D) = 3

A ∩ B ∩ C ∩ D = ϕ 

n(A ∩ B ∩ C ∩ D) = 0

अब 4 समुच्चय A, B, C और D के संघ में तत्वों की संख्या

n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(A ∩ D) - n(B ∩ C) - n(B ∩ D) - n(C ∩ D) + n(A ∩ B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ D) + n(A ∩ C ∩ D) + n(B ∩ C ∩ D) - n(A ∩ B ∩ C ∩ D)

= 150 + 180 + 210 + 240 - 6 × 15 + 4 × 3 - 0

= 702

संकल्पना:

एक उचित उपसमुच्चय वह होता है जिसमें मूल समुच्चय के कुछ अवयव होते हैं।

एक अधिसमुच्चय वह होता है जिसमें मूल समुच्चय के अवयवों सहित सभी अवयव होते हैं।

गणना:

{1, 2, 3, 4} के अधिसमुच्चय और समुच्चय {4} के अधिसमुच्चय 

{4}, {1, 4}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4), (1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}

अत: समुच्चय {4} के 8 अधिसमुच्चय हैं।

∴ समुच्चय की अभीष्ट संख्या 8 है।

संकल्पना:

समुच्चयों का समुच्च:

दो दिए गए समुच्चयों का समुच्च वह समुच्चय होता है जिसमें वे तत्व शामिल होते हैं जो या तो A या B या दोनों में होते हैं। 

समुच्चय A और B के समुच्च को A U B द्वारा दर्शाया गया है। 

समुच्चयों का प्रतिच्छेदन:

दो दिए गए समुच्चयों का प्रतिच्छेदन सबसे बड़ा समुच्चय होता है जिसमें वे सभी तत्व शामिल होते हैं जो दोनों समुच्चयों में सामान्य होते हैं। 

समुच्चय A और B के प्रतिच्छेदन को A ∩ B द्वारा दर्शाया गया है। 

सूत्र:​  A ∪ B = A + B - A ∩ B

गणना:

दिया गया है: A ∪ B = A

ज्ञात करना है: A ∩ B

चूँकि हम जानते हैं,

A ∪ B = A + B - A ∩ B

⇒ A = A + B - A ∩ B

∴ A ∩ B = B

संकल्पना:

(A ⋃ B) या तो समुच्चय A या B में मौजूद तत्व है। 

(A ⋃ B)' =  U - (A ⋃ B)

गणना:

यहाँ, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}

(A ⋃ B) = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

⇒(A ⋃ B)' = U - (A ⋃ B)

= {5, 7, 9}

अतः विकल्प (2) सही है। 

संकल्पना:

दो समुच्चय X और Y का प्रतिच्छेदन तत्वों का वह समुच्चय होता है जो समुच्चय X और समुच्चय Y दोनों के लिए सामान्य होते हैं। इसे X ∩ Y द्वारा दर्शाया जाता है और इसे 'X प्रतिच्छेदन Y' पढ़ा जाता है। 

गणना:

A = {(2n, 3n): n ϵ N}

= {(2, 3), (4, 6), (6, 9), ………} और 

B = {(3n, 5n): n ϵ N}

= {(3, 5), (6, 10), (9, 15), ………}

दोनों पक्षों में कोई भी सदस्य सामान्य नहीं है। 

∴ A ∩ B = ϕ

अतः विकल्प (4) सही है। 

संकल्पना:

माना कि A और B तत्वों के दो समुच्चय को दर्शाते हैं। 

n(A) और n(B) क्रमशः समुच्चय A और B में मौजूद तत्वों की संख्या है। 

n(A - B), A में मौजूद लेकिन B में नहीं मौजूद तत्वों की संख्या है। 

n(B - A), B में मौजूद लेकिन A में नहीं मौजूद तत्वों की संख्या है। 

n(A ⋃ B) या तो समुच्चय A या B में मौजूद तत्वों की कुल संख्या है। 

n(A ⋂ B) समुच्चय A और B दोनों में मौजूद तत्वों की संख्या है। 

• n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) - n(A ⋂ B)
• n(A - B) = n(A) - n(A ⋂ B)
• n(B - A) = n(B) - n(A ⋂ B)

गणना:

माना कि A कॉफ़ी पसंद करने वाले व्यक्तियों का समुच्चय है और B चाय पसंद करने वाले व्यक्तियों का समुच्चय है। 

दिया गया है कि n(A) = 37, n(B) = 52 और n(A ⋃ B) = 70

चूँकि, प्रत्येक व्यक्ति कम से कम एक पेय पदार्थ (A और B के बाहर 0 तत्व) पसंद करते हैं,

हमारे पास निम्न हैं:

n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) - n(A ⋂ B)

⇒ 70 = 37 + 52 - n(A ⋂ B)

⇒ n(A ⋂ B) = 89 - 70 = 19 

कॉफ़ी पसंद करने वाले और चाय पसंद नहीं करने वाले व्यक्तियों को n(A - B) = n(A) - n(A ⋂ B) द्वारा ज्ञात किया गया है = 37 - 19 = 18

संकल्पना:

माना कि A और B तत्वों के दो समुच्चय दर्शाते हैं।

• n(A) और n(B) क्रमशः समुच्चय A और B में मौजूद तत्वों की संख्या है।
• n(A ⋃ B) या तो समुच्चय A या B में मौजूद तत्वों की कुल संख्या है।
• n(A ⋂ B) समुच्चय A और B दोनों में मौजूद तत्वों की संख्या है।
• n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) - n(A ⋂ B)

गणना:

माना कि A छात्रों का एक समुच्चय है जो "हितवाद" पढ़ते हैं और B छात्रों का समुच्चय है जो "हिंदुस्तान" पढ़ते हैं।

दी गई जानकारी से:

n(A ⋃ B) = 50 - 10 = 40

n(A) = 30

n(B) = 35

n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) - n(A ⋂ B) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

40 = 30 + 35 - n(A ⋂ B)

⇒ n(A ⋂ B) = 25

∴ "हितवाद" और "हिन्दुस्तान" दोनों समाचार पत्रों को पढ़ने वाले छात्रों की संख्या n(A ⋂ B) = 25 है।