Integration by Parts MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Integration by Parts - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:

खंडश: समाकलन से:

गणना:

⇒ मान लीजिए, , तब

समाकल बन जाता है, 

⇒

⇒

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

Consider, ,

Solving the indefinite integral,

,

,

Applying integral by parts,

,

,

,

The value of the indefinite integral,

,

,

,

गणना:

खंडश: समाकलन का उपयोग करने पर,

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

अवधारणा:

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन:

• जब एक समाकल में एक समग्र फलन शामिल होता है, तो आंतरिक फलन को एक नया चर मानकर प्रतिस्थापन इसे सरल कर सकता है।
• यदि हमारे पास ∫ e^f(x) f'(x) dx के रूप का एक समाकल है, तो यह सीधे e^f(x) + C में समाकलित होता है।
• चरघातांकी फलन e^x: यह एक ऐसा फलन है जो अपने स्वयं के अवकलज के बराबर होता है।
• महत्वपूर्ण सूत्र: ∫ e^f(x) f'(x) dx = e^f(x) + C

गणना:

दिया गया है,

समाकल =

मान लीजिए, u = √x

⇒ u = x^1/2

⇒ अवकलन करने पर, du/dx = (1/2)x^-1/2

⇒ du = (1/2√x) dx

⇒ dx = 2√x du

अब समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,

समाकल = ∫ e^x x (2x + 1)/(2√x) x (2√x) du

⇒ समाकल = ∫ e^x (2x + 1) du

अब, ध्यान दें कि हमारे पास अभी भी e^x और (2x + 1) में x पद हैं।

इस प्रकार, यहाँ वास्तव में किसी प्रतिस्थापन की आवश्यकता नहीं है।

मूल समाकल को फिर से लिखने पर:

समाकल = ∫ e^x x (2x + 1)/(2√x) dx

भिन्न को विभाजित करने पर:

समाकल = (1/2) ∫ (2x/√x + 1/√x) e^x dx

⇒ (1/2) ∫ (2x^1/2 + x^-1/2) e^x dx

अब मान लीजिए, t = √x

⇒ t = x^1/2

⇒ x = t²

⇒ dx = 2t dt

t के पदों में सब कुछ प्रतिस्थापित करने पर,

समाकल = (1/2) ∫ (2t + 1/t) e^t² × 2t dt

प्रसार करने पर:

समाकल = (1/2) × 2 ∫ (2t² + 1) e^t² dt

⇒ समाकल = ∫ (2t² + 1) e^t² dt

अब समाकल को विभाजित करें:

समाकल = ∫ 2t² e^t² dt + ∫ e^t² dt

∫ 2t² e^t² dt के लिए:

d/dt (e^t²) = 2t e^t²

हमें t² पदों की आवश्यकता है। इसलिए विचार करें:

मान लीजिए हम (t e^t²) को अवकलित करते हैं:

⇒ d/dt (t et²) = et² + t × 2t et²

⇒ d/dt (t et²) = et² + 2t² et²

इस प्रकार,

e^t² + 2t² e^t² = d/dt (t e^t²)

इस प्रकार,

∫ (2t² + 1) e^t² dt = ∫ d/dt (t e^t²) dt

⇒ t e^t² + C

वापस t = √x प्रतिस्थापित करने पर:

⇒ √x e^x + C

∴ इसलिए, अंतिम उत्तर है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

खंडश: समाकलन से:

गणना:

⇒ मान लीजिए, , तब

समाकल बन जाता है, 

⇒

⇒

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

संकल्पना:

खंडशः समाकलन:

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx - ∫ [f'(x) ∫ g(x) dx] dx.

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन:

यदि हम x = f(t) रखते हैं, तो dx = f'(t) dt और ∫ f(x) dx = ∫ f[f(t)] f'(t) dt है। 

.

गणना:

माना कि I =  है। 

हम cos^-1 x = t ⇒ x = cos t और  = dt रखते हैं। 

⇒ I = - ∫ t cos t dt

खंडशः समाकलन से, हमें निम्न प्राप्त होता है:

⇒ I = -t ∫ cos t + ∫ (1 × ∫ cos t dt) dt

⇒ I = -t sin t + ∫ sin t dt + C

⇒ I = - t sin t - cos t + C

= I = 

संकल्पना:

• खंडशः समाकलन:

  ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx - ∫ [f'(x) ∫ g(x) dx] dx.

• ∫ sin x dx = - cos x + C

गणना:

माना कि I = ​​∫ e^x(sin x - cos x) dx है। 

⇒ I = ∫ ex sin x dx - ∫ ex cos x dx

⇒ I = ex ∫ sin x dx - ∫ [e^x ∫ sin x dx] dx - ∫ ex cos x dx

⇒ I = - ex cos x dx + ∫ ex cos x dx - ∫ ex cos x dx + C

⇒ I = - ex cos x + C

जैसा कि हम जानते हैं, ∫ ex [f(x) + f'(x)]dx = ex f(x) + c

माना  f(x) = -cos x

इसलिए, f'(x) = sin x

अब , I =  ∫ ex(sin x - cos x) dx

=  ​​∫ ex(- cos x + sin x) dx

= ∫ ex [f(x) + f'(x)]dx

=  ex f(x) + c

= - ex cos x + C

धारणा:

1. प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन:

• यदि दिया गया समाकलन  रूप का है जहाँ g(x) और f(x) दोनों अवकलनीय फलन हैं तो हम f(x) = u को प्रतिस्थापित करते हैं जिसका अर्थ है f’ (x)dx = du।
• इसलिए, समाकल  बन जाता है जिसे सामान्य सूत्रों द्वारा हल किया जा सकता है।

समाधान:

दी गई समस्या में  प्रतिस्थापित करें इसलिए ।

दिया गया समाकल बन जाता है,

 को पुनःप्रतिस्थापित करें।

संकल्पना:

खंडश समाकलन:

खंडश समाकलन के लिए सूत्र निम्न दिया गया है;

जहाँ u फलन u(x) है और v फलन v(x) है। 

• ILATE नियम: विशेष रूप से इस नियम का वरीयता क्रम प्रतिलोम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होती है। 

गणना:

दिए गए फलन में u = x और v = ln xdx है। 

खंडश: समाकलन निम्न है

प्रयुक्त अवधारणा:

1. a logx = log (x^a)

2. e^log(n)  = n

3. ∫xⁿdx = 

अनुप्रयोग:

हमारे पास है,

I = e5 log x

या, I =  = x⁵

अतः, ∫x⁵ dx = x⁶/6 + C

सूत्र:

गणना​:

माना 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

उपरोक्त समाकलित रूप का है। 

संकल्पना:

खंडशः समाकलन

ILATE नियमों का प्रयोग करने पर 

I → व्युत्क्रम फलन

L → Log फलन

A → बीजगणितीय फलन

T → त्रिकोणमितीय फलन

E → घातांकीय फलन

गणना:

= 

= 

= 

1 – x² = t² रखने पर

⇒ -2x dx = 2t dt

⇒ x dx = -t dt

अब, I =  

= 

=  + c

t ⇒  का मान रखने पर

I = 

अवधारणा-

खंडशः सूत्र द्वारा समाकलन -: 

गणना-

log x को पहले फलन और x को दूसरे फलन के रूप में मानकर खंडशः सूत्र का प्रयोग करने पर, 

= 

= 

= 

= 

∴ 

अवधारणा:

खंडशः समाकलन:

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx - ∫ [f'(x) ∫ g(x) dx] dx.

निश्चित समाकल:

यदि ∫ f(x) dx = g(x) + C तो  = g(b) - g(a)

गणना:

पहले खंडशः समाकल के तहत अभिव्यक्ति को समाकलित करें।

I = ∫ log x dx =  ∫ (1)(log x) dx

पहले फलन के रूप में log x और दूसरे फलन के रूप में 1 को मानते हुए हमें मिलता है:

= (log x) ∫ 1 dx - ∫ [ ∫ 1 dx] dx

= (log x) x - x + C

निश्चित समाकल की सीमाएं डालते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

= 

= (2 log 2 - 2) - (0 - 1)

= 2 log 2 - 1

संकल्पना:

खंडशः समाकलन: खंडशः समाकलन गुणनफलों का समाकलन ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडशः समाकलन के लिए सूत्र को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

⇒  + C

जहाँ u फलन u(x) है और v फलन v(x) है। 

ILATE नियम में विशेष रूप से इस नियम की वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होती है। 

गणना:

I = 

I = 

I = 

I = 

I = 

I =