Complex Numbers MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Complex Numbers - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 10, 2025
Latest Complex Numbers MCQ Objective Questions
Complex Numbers Question 1:
यदि z = x + iy, तो |z - 3| + |z - 4| का न्यूनतम मान है -
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Numbers Question 1 Detailed Solution
Complex Numbers Question 2:
सम्मिश्र संख्या
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Numbers Question 2 Detailed Solution
Complex Numbers Question 3:
प्रश्न. निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्याओं का उनके संगत सम्मिश्र संख्या प्रतिबंधों से मिलान कीजिए:
सूची-I | सूची-II |
---|---|
(a) एक सम्मिश्र संख्या z का बिंदुपथ जो |z − 2| = |z + 2| को संतुष्ट करता है | (P) सरल रेखा |
(b) सम्मिश्र संख्याएँ z1, z2, z3 एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं | (Q) |z1 − z2| = |z2 − z3| = |z3 − z1| और अनुपात का कोण ±π⁄3 है |
(c) समीकरण |z − i| + |z + i| = 4 | (R) दीर्घवृत्त जिसके नाभि ±i पर हैं |
(d) z ऐसा है कि Re(z) = अचर | (S) ऊर्ध्वाधर रेखा |
(T) वृत्त |
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Numbers Question 3 Detailed Solution
संप्रत्यय:
सम्मिश्र संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या:
- सम्मिश्र संख्या का मापांक: एक सम्मिश्र संख्या z = x + i y के लिए, इसका मापांक |z| = √(x2 + y2) है।
- एक रेखा का समीकरण: बिंदुपथ |z − a| = |z − b| बिंदुओं a और b को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक निरूपित करता है।
- दीर्घवृत्त: बिंदुपथ |z − z1| + |z − z2| = अचर, z1 और z2 पर नाभि वाले दीर्घवृत्त को निरूपित करता है यदि अचर नाभि के बीच की दूरी से अधिक है।
- सम्मिश्र समतल में समबाहु त्रिभुज: तीन सम्मिश्र संख्याएँ z1, z2, z3 एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं यदि |z1 − z2| = |z2 − z3| = |z3 − z1| और किन्हीं दो भुजाओं के बीच का कोण ±π⁄3 है।
- ऊर्ध्वाधर रेखा: बिंदुपथ Re(z) = अचर, आर्गैंड समतल (सम्मिश्र समतल) में एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
गणना:
दिया गया है,
(a) |z − 2| = |z + 2|
⇒ 2 और −2 को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक निरूपित करता है
⇒ यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा है
(b) समबाहु त्रिभुज की स्थिति:
⇒ |z1 − z2| = |z2 − z3| = |z3 − z1|
⇒ arg((z2 − z1)/(z3 − z2)) = ±π⁄3
⇒ सम्मिश्र समतल में समबाहु त्रिभुज के लिए मानक स्थिति
(c) |z − i| + |z + i| = 4
⇒ यह i और −i पर नाभि वाले दीर्घवृत्त की परिभाषा है ⇒ 4 > 2
⇒ केवल तभी संभव है जब 4 > नाभि के बीच की दूरी
⇒ दीर्घवृत्त निरूपित करता है
(d) Re(z) = अचर
⇒ यह ऊर्ध्वाधर रेखा को निरूपित करता है
∴ सही मिलान हैं:
(a) → (P) सरल रेखा
(b) → (Q) |z1 − z2| = |z2 − z3| = |z3 − z1| और अनुपात का कोण ±π⁄3 है
(c) → (R) दीर्घवृत्त जिसके नाभि ±i पर हैं
(d) → (S) ऊर्ध्वाधर रेखा
Complex Numbers Question 4:
मान लीजिए z एक सम्मिश्र संख्या है जो
सूची-I में प्रत्येक प्रविष्टि का सूची-II में सही प्रविष्टियों से मिलान कीजिए।
सूची-I | सूची-II |
(P) |z|2 बराबर है | (1) 12 |
(Q) |
(2) 4 |
(R) |
(3) 8 |
(S) |
(4) 10 |
(5) 7 |
सही विकल्प है:
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Numbers Question 4 Detailed Solution
गणना:
∵ z = z̅ (संभव नहीं है) या 4x = 4 ⇒ x = 1 है।
अब
इसलिए, विकल्प 2 सही है।
Complex Numbers Question 5:
यदि (3i - 2)2 + (5i + 6)2 = a + ib है, तो a + b का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Numbers Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
(a + ib)2 = a2 - b2 + 2abi
गणना:
दिया गया व्यंजक है: (3i - 2)2 + (5i + 6)2 = a + ib
⇒ (3i - 2)2 = -5 - 12i
⇒ (5i + 6)2 = 11 + 60i
⇒ (3i - 2)2 + (5i + 6)2 = (-5 - 12i) + (11 + 60i) = 6 + 48i
इसलिए a + ib = 6 + 48i, जहाँ a = 6 और b = 48
(a + b) का मान: 6 + 48 = 54
∴ सही उत्तर विकल्प 3) 54 है।
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(1 + i) 3 का संयुग्मन ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Numbers Question 6 Detailed Solution
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माना कि z = x + iy एक जटिल संख्या है।
- z का मापांक =
- arg (z) = arg (x + iy) =
- z का संयुग्मन = = x – iy
गणना:
माना कि z = (1 + i) 3
(a + b) 3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 का उपयोग करके
⇒ z = 13 + i3 + 3 × 12 × i + 3 × 1 × i2
= 1 – i + 3i – 3
= -2 + 2i
इसलिए, (1 + i) 3 का संयुग्मन -2 – 2i है
NOTE:
एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्म समान वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग के विपरीत चिन्ह वाला अन्य संयुग्म संख्या है।
(i2 + i4 + i6 +... + i2n) का मान क्या है? जहाँ n सम संख्या है।
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Numbers Question 7 Detailed Solution
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i2 = -1
i3 = - i
i4 = 1
i4n = 1
गणना:
हमें (i2 + i4 + i6 +... + i2n) का मान ज्ञात करना है
(i2 + i4 + i6 +... + i2n) = (i2 + i4) + (i6 + i8) + …. + (i2n-2 + i2n)
= (-1 + 1) + (-1 + 1) + …. (-1 + 1)
= 0 + 0 + …. + 0
= 0
यदि (1 + i) (x + iy) = 2 + 4i है, तो "5x" क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Numbers Question 8 Detailed Solution
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सम्मिश्र संख्याओं की समानता।
दो सम्मिश्र संख्याएँ z1 = x1 + iy1 और z2 = x2 + iy2 बराबर होते हैं यदि केवल x1 = x2 और y1 = y2 होते हैं।
या Re (z1) = Re (z2) और Im (z1) = Im (z2).
गणना:
दिया गया है: (1 + i) (x + iy) = 2 + 4i
⇒ x + iy + ix + i2y = 2 + 4i
⇒ (x – y) + i(x + y) = 2 + 4i
वास्तविक और काल्पनिक भाग को बराबर करने पर,
x - y = 2 …. (1)
x + y = 4 …. (2)
समीकरण 1 और 2 को जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
x = 3
अब,
5x = 5 × 3 = 15
ω6 + ω7 + ω5 का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Numbers Question 9 Detailed Solution
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एकल के घनमूल 1, ω और ω2 हैं।
यहाँ, ω =
एकल के घनमूल का गुण
- ω3 = 1
- 1 + ω + ω2 = 0
- ω3n = 1
गणना:
ω6 + ω7 + ω5
= ω5 (ω + ω2 + 1)
= ω5 × (1 + ω + ω2)
= ω5 × 0
= 0
का मापांक क्या है, जहाँ
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Numbers Question 10 Detailed Solution
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माना कि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, जहाँ x को सम्मिश्र संख्या या Re (z) का वास्तविक भाग कहा जाता है और y को सम्मिश्र संख्या या Im (z) का काल्पनिक भाग कहा जाता है।
z का मापांक = |z| =
गणना:
माना कि
चूँकि हम जानते हैं i2 = -1
चूँकि हम जानते हैं कि यदि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, तो इसके मापांक को |z| =
∴ |z| =
(i - i2)3 के संयुग्म का पता लगाएं।
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Numbers Question 11 Detailed Solution
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माना z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है।
- z का मापांक =
- arg (z) = arg (x + iy) =
- संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।
- z का संयुग्म = x – iy
गणना:
माना z = (i - i2)3
⇒ z = i3 (1 - i) 3 = - i (1 - i)3
संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।
⇒ z̅ = -(- i) (1 - (- i))3
⇒ z̅ = i(1 + i)3
(a + b) 3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 का उपयोग करना
⇒ z̅ = i(1 + i3 +3 ×12 × i + 3 × i2 × 1 )
⇒ z̅ = i(1 - i + 3i - 3)
⇒ z̅ = i(-2 + 2i)
⇒ z̅ = -2i + 2i2
⇒ z̅ = -2 - 2 i
इसलिए, (i - i2)3 का संयुग्म -2 - 2i है
ω3n + ω3n+1 + ω3n+2 का मान क्या है जहां ω एकत्व का घन मूल है?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Numbers Question 12 Detailed Solution
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एकत्व के घन मूल 1, ω और ω2 हैं
यहाँ, ω =
एकता के घन मूलों का गुण
- ω3 = 1
- 1 + ω + ω2 = 0
- ω = 1 / ω 2 और ω2 = 1 / ω
- ω3n = 1
गणना:
हमें ω3n + ω3n+1 + ω3n+2 का मूल्य खोजना होगा
⇒ ω3n + ω3n+1 + ω3n+2
= ω3n (1 + ω + ω2) (∵ 1 + ω + ω2 = 0)
= 1 × 0 = 0
यदि 1, ω, ω2 इकाई के घनमूल हैं तो समीकरण (x - 1)3 + 8 = 0 के मूल हैं
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Numbers Question 13 Detailed Solution
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एकत्व के घन मूल 1, ω और ω2 हैं
यहाँ ω =
एकत्व के घन मूलों के गुण:
- ω3 = 1
- 1 + ω + ω2 = 0
- ω = 1 / ω 2 और ω2 = 1 / ω
- ω3n = 1
गणना:
दिया गया है,
(x - 1)3 + 8 = 0
⇒ (x - 1)3 = (-2)3
⇒ (x - 1) = -2(1)1/3
(x - 1) = -2(1, ω, ω2)
⇒ x = -1, 1 - 2ω, 1 - 2ω2
वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक क्या है जिसके लिए
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Numbers Question 14 Detailed Solution
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सम्मिश्र संख्या:
- एक सम्मिश्र संख्या रूप a + ib की संख्या होती है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और i, i = √-1 द्वारा परिभाषित सम्मिश्र इकाई है।
- i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1 इत्यादि
- सामान्यतौर पर, i4n + 1 = i, i4n + 2 = -1, i4n + 3 = -i, i4n = 1
-
सम्मिश्र संख्या z = a + ib के लिए z का संयुग्म z̅ = a - ib है।
गणना:
हर के संयुग्म से गुणा और भाग करके सम्मिश्र संख्या
अब,
⇒
⇒ (-i)n = (-i)2 (∵ i2 = -1)
∴ n = 2
सम्मिश्र संख्या
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Numbers Question 15 Detailed Solution
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माना कि z = x + iy सम्मिश्र संख्या है।
- z का मापांक =
- arg (z) = arg (x + iy) =
- z का संयुग्म = z̅ = x – iy
गणना:
दी गयी सम्मिश्र संख्या z =
z =
z =
z =
z =
z का संयुग्म = (z̅) =