Complex Numbers MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Complex Numbers - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

1. एक सम्मिश्र संख्या का आयाम (या कोणांक) द्वारा दिया जाता है।

2. के संयुग्मी, जिसे द्वारा दर्शाया गया है, का आयाम होता है, क्योंकि सम्मिश्र संख्या का संयुग्मी ज्ञात करने पर आर्गैंड समतल में इसे वास्तविक अक्ष के परितः परावर्तित किया जाता है।

प्रयुक्त सूत्र:

.

गणना:

निष्कर्ष:

.

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

संप्रत्यय:

मुख्य संप्रत्यय ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं को सरल करना है। हम सम्मिश्र संख्या के कोणांक और डी मोइवर के प्रमेय का उपयोग करते हैं, जो कहता है:

(r(cosθ + i sinθ))ⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ))

गणना:

⇒

अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें

⇒

⇒

ध्रुवीय रूप में परिवर्तित करें। मापांक r है:

कोणांक θ है:

इसलिए, सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप है

सम्मिश्र संख्या का घन करने के लिए, हम डी मोइवर के प्रमेय का उपयोग करते हैं

हमारे मामले में, r = 0 इसलिए,

इस प्रकार, सम्मिश्र  संख्या के घन का परिणाम है। 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या:

• सम्मिश्र संख्या का मापांक: एक सम्मिश्र संख्या z = x + i y के लिए, इसका मापांक |z| = √(x² + y²) है।
• एक रेखा का समीकरण: बिंदुपथ |z − a| = |z − b| बिंदुओं a और b को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक निरूपित करता है।
• दीर्घवृत्त: बिंदुपथ |z − z₁| + |z − z₂| = अचर, z₁ और z₂ पर नाभि वाले दीर्घवृत्त को निरूपित करता है यदि अचर नाभि के बीच की दूरी से अधिक है।
• सम्मिश्र समतल में समबाहु त्रिभुज: तीन सम्मिश्र संख्याएँ z₁, z₂, z₃ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं यदि |z₁ − z₂| = |z₂ − z₃| = |z₃ − z₁| और किन्हीं दो भुजाओं के बीच का कोण ±π⁄3 है।
• ऊर्ध्वाधर रेखा: बिंदुपथ Re(z) = अचर, आर्गैंड समतल (सम्मिश्र समतल) में एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।

गणना:

दिया गया है,

(a) |z − 2| = |z + 2|

⇒ 2 और −2 को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक निरूपित करता है

⇒ यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा है

(b) समबाहु त्रिभुज की स्थिति:

⇒ |z₁ − z₂| = |z₂ − z₃| = |z₃ − z₁|

⇒ arg((z₂ − z₁)/(z₃ − z₂)) = ±π⁄3

⇒ सम्मिश्र समतल में समबाहु त्रिभुज के लिए मानक स्थिति

(c) |z − i| + |z + i| = 4

⇒ यह i और −i पर नाभि वाले दीर्घवृत्त की परिभाषा है ⇒ 4 > 2

⇒ केवल तभी संभव है जब 4 > नाभि के बीच की दूरी

⇒ दीर्घवृत्त निरूपित करता है

(d) Re(z) = अचर

⇒ यह ऊर्ध्वाधर रेखा को निरूपित करता है

∴ सही मिलान हैं:
(a) → (P) सरल रेखा
(b) → (Q) |z₁ − z₂| = |z₂ − z₃| = |z₃ − z₁| और अनुपात का कोण ±π⁄3 है
(c) → (R) दीर्घवृत्त जिसके नाभि ±i पर हैं
(d) → (S) ऊर्ध्वाधर रेखा

धारणा:

माना कि z = x + iy एक जटिल संख्या है।

• z का मापांक = 
• arg (z) = arg (x + iy) = 
• z का संयुग्मन = = x – iy

गणना:

माना कि z = (1 + i) ³

(a + b) ³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab² का उपयोग करके

⇒ z = 1³ + i³ + 3 × 1² × i + 3 × 1 × i²

= 1 – i + 3i – 3

= -2 + 2i

इसलिए, (1 + i) ³ का संयुग्मन -2 – 2i है

NOTE:

एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्म समान वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग के विपरीत चिन्ह वाला अन्य संयुग्म संख्या है। 

संकल्पना:

i² = -1

i³ = - i

i⁴ = 1

i⁴ⁿ = 1

गणना:

हमें (i² + i⁴ + i⁶ +... + i²ⁿ) का मान ज्ञात करना है

(i² + i⁴ + i⁶ +... + i²ⁿ) = (i² + i⁴) + (i⁶ + i⁸) + …. + (i^2n-2 + i²ⁿ)

= (-1 + 1) + (-1 + 1) + …. (-1 + 1)

= 0 + 0 + …. + 0

= 0

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्याओं की समानता। 

दो सम्मिश्र संख्याएँ z₁ = x₁ + iy₁ और z₂ = x₂ + iy₂ बराबर होते हैं यदि केवल x₁ = x₂ और y₁ = y₂ होते हैं।

या Re (z₁) = Re (z₂) और Im (z₁) = Im (z₂).

गणना:

दिया गया है: (1 + i) (x + iy) = 2 + 4i

⇒ x + iy + ix + i²y = 2 + 4i

⇒ (x – y) + i(x + y) = 2 + 4i

वास्तविक और काल्पनिक भाग को बराबर करने पर,

x - y = 2         …. (1)

x + y = 4        …. (2)

समीकरण 1 और 2 को जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

x = 3

अब,

5x = 5 × 3 = 15

संकल्पना:

एकल के घनमूल 1, ω और ω2 हैं। 

यहाँ, ω =  और ω2 = 

एकल के घनमूल का गुण

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0
• ω3n = 1

गणना:

ω6 +  ω7 + ω⁵

= ω⁵ (ω + ω² + 1)

= ω⁵ × (1 + ω + ω2)

= ω5 × 0

= 0

संकल्पना:

माना कि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, जहाँ x को सम्मिश्र संख्या या Re (z) का वास्तविक भाग कहा जाता है और y को सम्मिश्र संख्या या Im (z) का काल्पनिक भाग कहा जाता है। 

z का मापांक = |z| = 

गणना:

माना कि 

चूँकि हम जानते हैं i2 = -1

चूँकि हम जानते हैं कि यदि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, तो इसके मापांक को |z| =  द्वारा ज्ञात किया गया है। 

∴ |z| = 

संकल्पना:

माना z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है।

• z का मापांक = 
• arg (z) = arg (x + iy) = 
• संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।
• z का संयुग्म = x – iy

गणना:

माना z = (i - i2)3

⇒ z = i3 (1 - i) 3  = - i (1 - i)³

संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।

⇒ z̅  =  -(- i) (1 - (- i))³

⇒ z̅  =  i(1 + i)³

(a + b) 3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 का उपयोग करना

⇒ z̅  =  i(1 + i3 +3 ×12 × i + 3 × i2 × 1 ) 

⇒ z̅  =  i(1 - i + 3i - 3) 

⇒ z̅  =  i(-2 + 2i)

⇒ z̅  = -2i + 2i2

⇒ z̅  = -2 - 2 i

इसलिए,  (i - i2)3 का संयुग्म -2 - 2i है

धारणा:

एकत्व के घन मूल 1, ω और ω2 हैं

यहाँ, ω =  और ω² = 

एकता के घन मूलों का गुण

• ω³ = 1
• 1 + ω + ω² = 0
• ω = 1 / ω ² और ω² = 1 / ω
• ω³ⁿ = 1

गणना:

हमें ω3n + ω3n+1 + ω3n+2 का मूल्य खोजना होगा

⇒ ω3n + ω3n+1 + ω³ⁿ⁺² 

= ω3n (1 + ω + ω²)           (∵ 1 + ω + ω2 = 0)

= 1 × 0 = 0

अवधारणा 

एकत्व के घन मूल 1, ω और ω2 हैं

यहाँ ω =  और ω2 = 

एकत्व के घन मूलों के गुण:

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0
• ω = 1 / ω 2 और ω2 = 1 / ω
• ω3n = 1

गणना:

दिया गया है,

(x - 1)3 + 8 = 0

⇒ (x - 1)3 = (-2)3

⇒ (x - 1) = -2(1)1/3

(x - 1) = -2(1, ω,  ω2)

⇒ x = -1, 1 - 2ω, 1 - 2ω2 

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्या:

• एक सम्मिश्र संख्या रूप a + ib की संख्या होती है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और i, i = √-1 द्वारा परिभाषित सम्मिश्र इकाई है। 
• i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 इत्यादि
• सामान्यतौर पर, i^{4n + 1} = i, i4n + 2 = -1, i4n + 3 = -i, i4n = 1

• सम्मिश्र संख्या z = a + ib के लिए z का संयुग्म z̅ = a - ib है। 

गणना:

हर के संयुग्म से गुणा और भाग करके सम्मिश्र संख्या  का परिमेयकरण करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

 = -i

अब, 

⇒ 

⇒ (-i)n = (-i)2      (∵ i2 = -1)

∴  n = 2

संकल्पना:

माना कि z = x + iy सम्मिश्र संख्या है। 

• z का मापांक = 
• arg (z) = arg (x + iy) = 
• z का संयुग्म = z̅ = x – iy

गणना:

दी गयी सम्मिश्र संख्या z =  है। 

z = 

z = 

z = 

z = 

z का संयुग्म = (z̅) =