Basic Principles of Quantum Mechanics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Basic Principles of Quantum Mechanics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

विक्षोभ सिद्धांत - आधार अवस्था ऊर्जा संशोधन

• एक विक्षुब्ध निकाय की ऊर्जा एक घात श्रेणी प्रसार द्वारा दी जाती है:

  E = E⁰ + E¹ + E² + ...

• E⁰: शून्य-क्रम (अविक्षुब्ध) ऊर्जा
• E¹: प्रथम-क्रम संशोधन
• E²: द्वितीय-क्रम संशोधन

महत्वपूर्ण गुण (आधार अवस्था के लिए):

• E² हमेशा ≤ 0 होता है (द्वितीय-क्रम संशोधन आमतौर पर ऋणात्मक होता है)
• कुल संशोधित ऊर्जा (E⁰ + E¹) हमेशा सही आधार अवस्था ऊर्जा से अधिक या उसके बराबर होती है:

  E⁰ + E¹ ≥ E₀

1. E⁰ + E¹ + E² > E₀
   हमेशा सत्य नहीं, क्योंकि E² ऋणात्मक है और कुल को E₀ से कम कर सकता है।


2. E⁰ + E¹ > 0
   अप्रासंगिक — कुल ऊर्जा का 0 से अधिक होना एक गारंटीकृत गुण नहीं है।


3. E⁰ + E¹ ≥ E₀
   यह हमेशा सत्य है — विचरण सिद्धांत और विक्षोभ प्रसार के व्यवहार पर आधारित।


4. E² > 0
   गलत — E² आधार अवस्था में हमेशा ऋणात्मक या शून्य होता है।

सही उत्तर है।

अवधारणा:

क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर - स्थिति और संवेग में अनिश्चितता

• एक-आयामी क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए, वर्ग स्थिति और संवेग के प्रत्याशा मान इस प्रकार दिए गए हैं:
  • = ℏ(n + 1/2) / (mω)²>

  • = mℏω(n + 1/2)

    ²>
• स्थिति (Δx) और संवेग (Δp) में अनिश्चितताएं विचरणों के वर्गमूल हैं:
  • Δx = √²>
  • Δp = √
    ²>
• अनिश्चितता गुणनफल है:

  Δx · Δp = √( · )²>²>

व्याख्या:

• क्वांटम संख्या n = 1 के लिए: ²>
  • = ℏ(1 + 1/2) / (mω) = (3/2) ℏ / (mω)

  • = mℏω(3/2) = (3/2) mℏω

    ²>
• अब अनिश्चितता गुणनफल की गणना करें:

  Δx · Δp = √( · )
  = √[(3/2) ℏ / (mω) × (3/2) mℏω]
  = √[(9/4) ℏ²] = (3/2) ℏ²>²>

इसलिए, n = 1 के लिए अनिश्चितता गुणनफल 3ℏ/2 है।

अवधारणा:

कोणीय तरंग फलन और वास्तविक d-कक्षक

• गोलीय निर्देशांकों में एक हाइड्रोजन जैसे परमाणु कक्षक के लिए तरंग फलन है:
  ψ_n,l,m(r, θ, φ) = N · R′(r) · r^l · Y_l^m(θ, φ)
• इस स्थिति में:
  • n = 3 (प्रमुख क्वांटम संख्या)
  • l = 2 (d-कक्षक)
  • m = ±2 (चुंबकीय क्वांटम संख्या)
• Y₂^±2(θ, φ) = sin²θ · e^±2iφ
• इसलिए, कक्षक का कोणीय भाग है:
  ψ_3,2,±2 ∝ r² · sin²θ · e^±2iφ

व्याख्या:

1. रैखिक संयोजन:

   
   
   गोलीय हार्मोनिक्स प्रतिस्थापित करें:

3. ऑयलर की पहचान का प्रयोग करें:

4. अब त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके इसे और तोड़ें:

   
   कार्तीय के लिए कोणीय निर्देशांकों को संबंधित करें:

5. • sinθ·cosφ ∝ x
   • sinθ·sinφ ∝ y
   इसलिए:

   ψ ∝ (sinθ·cosφ) · (sinθ·sinφ) ∝ x·y

   यह स्पष्ट रूप से d_xy कक्षक के कोणीय भाग का प्रतिनिधित्व करता है।

निष्कर्ष:

• (1/i)(ψ_3,2,2 − ψ_3,2,−2) से बना कक्षक d_xy है।

अवधारणा:

कक्षीय कोणीय संवेग और उसकी दिशा

• क्वांटम यांत्रिकी में, कक्षीय कोणीय संवेग सदिश L का परिमाण इस प्रकार दिया गया है:

  |L| = √l(l + 1) ℏ

• z-अक्ष के अनुदिश कोणीय संवेग का घटक क्वांटित है और इस प्रकार दिया गया है:

  L_z = mℏ

• कक्षीय कोणीय संवेग सदिश और z-अक्ष के बीच के कोण θ को इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:

  cos(θ) = L_z / |L|

व्याख्या:

• दिया गया है: l = 1, m = 1
• तब:
  • |L| = √(1 x (1 + 1)) ℏ = √2 ℏ
  • L_z = 1 ℏ
• cos(θ) = L_z / |L| का उपयोग करके:
  • cos(θ) = ℏ / (√2 ℏ) = 1 / √2
  • θ = cos⁻¹(1 / √2) = 45°

इसलिए, कक्षीय कोणीय संवेग सदिश और z-अक्ष के बीच का कोण 45° है।

अवधारणा:

ब्यूटाडाइन के लिए ह्युकेल आणविक कक्षक (HMO) सिद्धांत

• ब्यूटाडाइन (CH₂=CH-CH=CH₂) में 4 π-इलेक्ट्रॉन और 4 संयुग्मित कार्बन परमाणु होते हैं।
• इसका π-तंत्र परमाणु p-कक्षकों के रैखिक संयोजन के कारण 4 आणविक कक्षक (MOs) बनाता है।
• ह्युकेल सिद्धांत में इन MOs के ऊर्जा स्तर इस प्रकार दिए गए हैं:

  E_k = α + 2βcos(πk / (n+1)) जहाँ n = 4 (परमाणुओं की संख्या), k = 1 से 4

व्याख्या:

• ब्यूटाडाइन (n = 4) के लिए, ऊर्जा स्तरों की गणना करें:
  • E₁ = α + 2βcos(π/5) ≈ α + 1.618β → सबसे कम ऊर्जा वाला π-MO
  • E₂ = α + 2βcos(2π/5) ≈ α + 0.618β
  • E₃ = α + 2βcos(3π/5) ≈ α - 0.618β
  • E₄ = α + 2βcos(4π/5) ≈ α - 1.618β
• α के सापेक्ष ऊर्जा व्यक्त की जाती है, और β (अनुनाद समाकल) आमतौर पर ऋणात्मक होता है, जिससे बंधनकारी MOs अधिक स्थिर होते हैं।

इसलिए, सबसे कम π-MO की ऊर्जा α + 1.618β है, अर्थात्, α से ऊपर 1.61804β

इसलिए, सही उत्तर 1.61804β है।

संकल्पना:

• 2D बॉक्स में एक कण के लिए, तरंग फलन दिया गया है

, जहाँ N संधारण स्थिरांक है।

• l भुजा लम्बाई वाले 2D बॉक्स में एक कण की ऊर्जा दी गई है,

, जहाँ n_x और n_y क्वांटम संख्याएँ हैं।

व्याख्या:

• तीन अन्यान्यक्रियाशील इलेक्ट्रॉनों को 2D वर्ग बॉक्स में इस प्रकार व्यवस्थित किया जा सकता है:

(1, 2) (2, 1) 1 -

(1, 1)

• आधार अवस्था (g.s) में, दो इलेक्ट्रॉनों को एकल अवनत ऊर्जा अवस्था (1,1) में रखा जा सकता है। ऊर्जा दी गई है,

• ​प्रथम उत्तेजित अवस्था में, एक इलेक्ट्रॉन को द्विगुणित अवनत ऊर्जा स्तर (2,1) और (1,2) में रखा जा सकता है। ऊर्जा दी गई है,

​

इस प्रकार, निकाय की ऊर्जा है,

निष्कर्ष:

इसलिए, आधार अवस्था ऊर्जा की इकाइयाँ में 9 हैं

संप्रत्यय:

• किसी इलेक्ट्रॉन की औसत ऊर्जा/ऊर्जा का प्रत्याशा मान, गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के प्रत्याशा मानों के योग के बराबर होता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

\(=+ \)

\(where,\\= Total\;energy\)

\(= Avg.\;kinetic \;energy\)

\(= Avg.\;potential\;energy\)

• इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा का प्रत्याशा मान, इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान (m_e) और वेग (v) से संबंधित है, इस प्रकार:

\(=\frac{1}{2}m_e\)^2>

व्याख्या:

प्रश्न के अनुसार, कूप के अंदर कण/इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा 0 है। इसलिए, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि दी गई ऊर्जा का मान इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा है।

\(=\frac{1}{2}m_e+0\)^2>

\(=\frac{1}{2}m_e\)^2>

वेग के वर्ग के प्रत्याशा मान को प्राप्त करने के लिए उपरोक्त संबंध को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, इस प्रकार:

\(=\frac{2}{m_e}\;\)^2> ......संबंध(1)

दिया गया है,

\(=13.6eV=13.6\times1.6\times10^{-19}J \)

संबंध (1) में मानों को प्रतिस्थापित करने पर, प्राप्त होगा:

\(= 2\times\frac{13.6\times1.6\times10^{-19}J}{9.1\times10^{-31}Kg}\;\)^2>

\(=4.7\times10^{12}m^2s^{-2} \)^2>

निष्कर्ष:

इसलिए, अनंत विभव कूप में सीमित इलेक्ट्रॉन के वेग के वर्ग का प्रत्याशा मान है।

अवधारणा:

रैखिक और स्थिति संवेग के लिए:

[x̂, p̂_x] = iℏ   ....(1)

[p̂_x, x̂] = -iℏ   ...(2)

[x̂ⁿ, p̂_x] = nx^n-1 [x, p̂_x]   ....(3)

[p̂_xⁿ, x̂] = np_x^n-1[p̂_x, x̂] .....(4)

व्याख्या:

दिया गया है → [x, p_x²]

→ अब समीकरण (4) और (1) का प्रयोग करके,

[x, p_x²] = 2  [x, p_x]

= 2 p_x iℏ

∴ विकल्प '2' सही है।

[x, px2] = 2iℏp_x

संकल्पना:-

एक दिशीय (1D) बॉक्स, जिसे एक आयामी बॉक्स में कण या बॉक्स में कण के रूप में भी जाना जाता है, एक सरल क्वांटम यांत्रिक मॉडल है जो आमतौर पर दो दीवारों या बाधाओं के बीच एक आयामी क्षेत्र में स्थानांतरित होने के लिए सीमित कण के व्यवहार का वर्णन करता है।

दिया गया है:

C-C की औसत बंधन लंबाई = 1.5 Å

व्याख्या:-

10 बंधों वाले पूरे संयुग्मित तंत्र के लिए बंध लंबाई है

= 1.5 x10

=15 Å

हम जानते हैं कि,

दिए गए संयुग्मित तंत्र में 10π इलेक्ट्रॉन निम्नलिखित तरीके से व्यवस्थित होते हैं -

10 π इलेक्ट्रॉन आद्य अवस्था बनाते हैं और पहला संक्रमण अवस्था n= 6 पर न्यूनतम संक्रमण स्तर पर होता है।

• अब, तंत्र की आद्य अवस्था से पहली उत्तेजित अवस्था में संक्रमण करने के लिए आवश्यक आवृत्ति है,

निष्कर्ष:-

इसलिए, तंत्र की आद्य अवस्था से पहली उत्तेजित अवस्था में संक्रमण करने के लिए आवश्यक विकिरण की आवृत्ति है।

संप्रत्यय:

एक त्रि-आयामी घनीय बॉक्स में, एक कण की ऊर्जा निम्नलिखित समीकरण द्वारा दी जाती है:

जहाँ: E ऊर्जा है, h प्लांक नियतांक है, n₁, n₂, और n₃ कण से संबंधित क्वांटम संख्याएँ हैं (ये कोई भी धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं), m कण का द्रव्यमान है, और L बॉक्स की लंबाई है।

व्याख्या:

आपको दिया गया है कि ऊर्जा E 27h²/ 8mL² है। इसे ऊर्जा समीकरण के बराबर रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

n₁² + n₂² + n₃² के लिए हल करने पर, हम पाते हैं कि यह 27 के बराबर है। इसका मतलब है कि तीन क्वांटम संख्याओं के वर्गों का योग 27 है।

क्वांटम संख्याओं (n₁, n₂, n₃) के संभावित समुच्चय जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं, वे हैं (3, 3, 3), (1, 1, 5), (1, 5, 1), और (5, 1, 1)। क्वांटम संख्याओं का प्रत्येक समुच्चय कण की एक अलग अवस्था से मेल खाता है, इसलिए इस ऊर्जा वाली चार अवस्थाएँ हैं।

निष्कर्ष:-

इसलिए, ऊर्जा वाली अवस्था का अपभ्रंश (degeneracy) 4 है

अवधारणा:

• क्वांटम यांत्रिकी में औसत मान एक ही अवस्था में समान प्रणालियों या प्रणालियों पर बड़ी संख्या में माप किए जाने पर प्राप्त औसत परिणाम है।
• एक अवलोकनीय मात्रा A के लिए, औसत मान या अपेक्षा मान द्वारा दिया जाता है,

व्याख्या:

• H परमाणु (He ⁺ ) जैसे एक-इलेक्ट्रॉन प्रणाली के लिए सामान्यीकृत ग्राउंड स्टेट वेव फंक्शन है:

, N सामान्यीकरण स्थिरांक है और Z नाभिक की परमाणु संख्या है ।

• r का औसत मान या अपेक्षा मान  निम्न द्वारा दिया गया है,

• अब, f या He + के 1s कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन, r का औसत मान, (r) द्वारा दिया गया है,

• अब, He + आयन के लिए परमाणु क्रमांक

(Z) = 2.

• इस प्रकार, हे He+ आयन के लिए r, का औसत मान है

.

निष्कर्ष:

• इसलिए, f या एक इलेक्ट्रॉन He + के 1s कक्षीय में , r, (r) का औसत मान है

संकल्पना:

कुल कोणीय संवेग और संफुल्लन /निम्नन संकारकों के बीच दिक्परिवर्तक संबंध

• क्वांटम यांत्रिकी में, ऊपर () और नीचे () संकारक चुंबकीय क्वांटम संख्या m को परिवर्तित करते हैं, लेकिन वे कुल कोणीय संवेग को प्रभावित नहीं करते हैं।
• संफुल्लन संकारक  चुंबकीय क्वांटम संख्या M को 1 से बढ़ाता है, और निम्नन संकारक  इसे 1 से कम कर देता है।
• कुल कोणीय संवेग और इन संफुल्लन और निम्नन संकारकों के बीच दिक्परिवर्तक शून्य होता है क्योंकि इन संकारकों को लागू करने से कुल कोणीय संवेग परिमाण नहीं बदलता है।

व्याख्या:

• कुल कोणीय संवेग संकारक  कोणीय संवेग सदिश के परिमाण का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि संफुल्लन और निम्नन संकारकों केवल z-अक्ष के साथ प्रक्षेपण को प्रभावित करते हैं (अर्थात, ).
• संफुल्लन और निम्नन संकारक के साथ का दिक्परिवर्तक शून्य होता है क्योंकि वे कुल कोणीय संवेग के परिमाण को प्रभावित नहीं करते हैं। इसके बजाय, वे केवल घटक को संशोधित करते हैं:

गणना:

• कुल कोणीय संवेग संकारक  को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
• संफुल्लन और निम्नन संकारक को कोणीय संवेग घटकों और के संदर्भ में परिभाषित किया गया है:
• अब, हम दिक्परिवर्तक  की गणना इसे विस्तारित करके करते हैं:
• इसे तीन भागों में विभाजित किया जा सकता है:
• इसलिए, कुल दिक्परिवर्तक  के परिणामस्वरूप होता है:
• इसी तरह, निम्नन संचालक के लिए, हम समान चरणों का पालन करते हैं:
  • इसे भागों में तोड़ने से प्रत्येक दिक्परिवर्तक के लिए शून्य भी मिलता है:
• इस प्रकार, अंतिम दिक्परिवर्तक है:

निष्कर्ष:

सही दिक्परिवर्तक संबंध है: .

संफुल्लन 

संकल्पना:

क्वांटम यांत्रिकी में, संचालकों के बीच क्रमविनिमयक संबंध भौतिक प्रणालियों का वर्णन करने में महत्वपूर्ण होते हैं। स्थिति संचालक (x) और संवेग संचालक (p_x) के लिए, मूल क्रमविनिमयक संबंध (x, p_x = iħ) है। यह कई अन्य क्रमविनिमयक संबंधों का आधार बनाता है। क्रमविनिमयक संबंधों के गुण:

• संचालकों (A) और (B) के लिए, क्रमविनिमयक संबंध को (A, B = AB - BA) के रूप में परिभाषित किया गया है।
• स्थिति और संवेग की शक्तियों से जुड़े क्रमविनिमयक संबंधों को क्रमविनिमयक संबंधों के श्रृंखला नियम का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।
• क्रमविनिमयक संबंध (x, p_x = iħ) क्वांटम यांत्रिकी में मौलिक है।

व्याख्या:

• क्रमविनिमयक संबंधों के लिए श्रृंखला नियम देता है:

  • ().

• ज्ञात क्रमविनिमयक संबंध (x, p_x = iħ) का उपयोग करके, हम () के क्रमविनिमयक संबंध को इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं:

• इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित कीजिए:

निष्कर्ष:

क्रमविनिमयक संबंध () है, जो विकल्प 4 से मेल खाता है।

संप्रत्यय:-

• शून्य-बिंदु ऊर्जा: किसी क्वांटम यांत्रिक निकाय की सबसे कम संभव ऊर्जा।
• दृढ़ घूर्णक के ऊर्जा स्तर: क्वांटम यांत्रिकी में घूर्णन प्रणाली की क्वांटित ऊर्जा अवस्थाओं का वर्णन करता है, जिसका अर्थ है कि ऊर्जा जड़त्व आघूर्ण के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
• श्रोडिंगर समीकरण: क्वांटम यांत्रिकी में एक मौलिक समीकरण जो वर्णन करता है कि किसी क्वांटम निकाय की क्वांटम अवस्था समय के साथ कैसे बदलती है। कई इलेक्ट्रॉन प्रणालियों के लिए, इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन सहसंबंध समस्या के कारण इसे ठीक से हल करना जटिल हो जाता है।
• कुल कोणीय संवेग: कक्षीय और चक्रण कोणीय संवेग का सदिश योग, जो परमाणु निकायों के लिए क्वांटम यांत्रिकी में एक मौलिक अवधारणा है।

व्याख्या:-

कथन 1 के लिए
छोटे द्रव्यमान वाले कणों के लिए श्रोडिंगर समीकरण कण की स्थितिज ऊर्जा को इस प्रकार देता है
E_n = (n + 1/2) hv
शून्य बिंदु ऊर्जा के लिए, सबसे निचले कंपन स्तर में n = 0 होता है।
E₀= 1/2 hv
इस प्रकार कथन 1 सही है।

कथन 2 के लिए
किसी क्वांटम यांत्रिक दृढ़ घूर्णक का ऊर्जा स्तर निम्न समीकरण द्वारा दिया जाता है
Ej = (h²/2I)J (J+1)
सूत्र से, यह स्पष्ट है कि, Ej, 1/I के समानुपाती है
इस प्रकार, कथन (2) सही है।

कथन 3 के लिए
Li²⁺ एक एक-इलेक्ट्रॉन प्रणाली है और श्रोडिंगर समीकरण एक-इलेक्ट्रॉन प्रणाली पर बहुत लागू होता है।

इसलिए यह कथन गलत है

कथन 4 के लिए
कुल कोणीय संवेग(J) = L+S
जहाँ L= कक्षीय कोणीय संवेग
और S= चक्रण कोणीय संवेग
इस प्रकार कथन 4 भी सही है

केवल कथन 3 गलत है।

निष्कर्ष:-

इसलिए, एकमात्र गलत कथन कथन 3 है

संप्रत्यय:-

• हाइड्रोजन परमाणु और इसका तरंग फलन: एक हाइड्रोजन परमाणु में एक प्रोटॉन के चारों ओर घूमने वाला एक एकल इलेक्ट्रॉन होता है। इस इलेक्ट्रॉन के व्यवहार को एक तरंग फलन का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, जिसे अक्सर ग्रीक अक्षर साई (ψ) द्वारा दर्शाया जाता है। ये तरंग फलन श्रोडिंगर समीकरण के हल हैं, जो क्वांटम यांत्रिकी में एक मौलिक समीकरण है।
• आइगेनफंक्शन: क्वांटम यांत्रिकी में, एक आइगेनफंक्शन एक ऐसा फलन है जो वही फलन (संभवतः एक गुणात्मक स्थिरांक को छोड़कर जिसे आइगेनवैल्यू कहा जाता है) देता है जब उस पर एक निश्चित ऑपरेटर कार्य करता है। इस संदर्भ में, आइगेनफंक्शन 1sA और 1sB हाइड्रोजन परमाणुओं HA और HB के लिए श्रोडिंगर समीकरण के हल हैं, जो उन परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों की अवस्थाओं का वर्णन करते हैं।
• ओवरलैप समाकल: ओवरलैप समाकल दो तरंग फलनों के बीच ओवरलैप की सीमा का वर्णन करता है। इसे आमतौर पर S = ⟨ψ1|ψ2⟩ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ |ψ1⟩ और |ψ2⟩ दो अवस्थाओं के तरंग फलन हैं।
• तरंग फलनों का नॉर्मलाइज़ेशन: एक तरंग फलन को नॉर्मलाइज़्ड कहा जाता है यदि इसके पूर्ण वर्ग का संपूर्ण स्थान पर समाकल एक के बराबर हो। यह तरंग फलन की प्रायिकतावादी व्याख्या पर आधारित है, जहाँ तरंग फलन का पूर्ण वर्ग अंतरिक्ष के किसी विशेष क्षेत्र में एक कण को खोजने की प्रायिकता को व्यक्त करता है।

व्याख्या:-

S= ⟨1s_A|1s_B⟩

ओवरलैपिंग समाकल के लिए
सीमा 0

यदि R =0
.......1

यदि R = a₀


उपरोक्त समीकरण से : S

यदि R=
...............3

1, 2 और 3 से

हमेशा सही विकल्प है 0 ≤ S ≤ 1