1s_A और 1s_B क्रमशः दो हाइड्रोजन परमाणुओं H_A और H_B के नॉर्मलाइज़्ड आइगेनफंक्शन हैं। यदि 𝑆 = 〈1s_A|1s_B〉, तो हमेशा सही विकल्प है

संप्रत्यय:-

• हाइड्रोजन परमाणु और इसका तरंग फलन: एक हाइड्रोजन परमाणु में एक प्रोटॉन के चारों ओर घूमने वाला एक एकल इलेक्ट्रॉन होता है। इस इलेक्ट्रॉन के व्यवहार को एक तरंग फलन का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, जिसे अक्सर ग्रीक अक्षर साई (ψ) द्वारा दर्शाया जाता है। ये तरंग फलन श्रोडिंगर समीकरण के हल हैं, जो क्वांटम यांत्रिकी में एक मौलिक समीकरण है।
• आइगेनफंक्शन: क्वांटम यांत्रिकी में, एक आइगेनफंक्शन एक ऐसा फलन है जो वही फलन (संभवतः एक गुणात्मक स्थिरांक को छोड़कर जिसे आइगेनवैल्यू कहा जाता है) देता है जब उस पर एक निश्चित ऑपरेटर कार्य करता है। इस संदर्भ में, आइगेनफंक्शन 1sA और 1sB हाइड्रोजन परमाणुओं HA और HB के लिए श्रोडिंगर समीकरण के हल हैं, जो उन परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों की अवस्थाओं का वर्णन करते हैं।
• ओवरलैप समाकल: ओवरलैप समाकल दो तरंग फलनों के बीच ओवरलैप की सीमा का वर्णन करता है। इसे आमतौर पर S = 〈ψ1|ψ2〉 द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ |ψ1〉 और |ψ2〉 दो अवस्थाओं के तरंग फलन हैं।
• तरंग फलनों का नॉर्मलाइज़ेशन: एक तरंग फलन को नॉर्मलाइज़्ड कहा जाता है यदि इसके पूर्ण वर्ग का संपूर्ण स्थान पर समाकल एक के बराबर हो। यह तरंग फलन की प्रायिकतावादी व्याख्या पर आधारित है, जहाँ तरंग फलन का पूर्ण वर्ग अंतरिक्ष के किसी विशेष क्षेत्र में एक कण को खोजने की प्रायिकता को व्यक्त करता है।

व्याख्या:-

S= 〈1s_A|1s_B〉

ओवरलैपिंग समाकल के लिए
सीमा 0\(\infty\)

\(S = e^{-\frac{R}{a_0}}[1+ \frac{R}{a_0}+\frac{R^2}{3{a_0}^2}]\)

यदि R =0
\(S=[1+0+0]e^0 =1\).......1

यदि R = a₀
\(S = e^{-1}[1+ 1+\frac{1}{3}]\)
\(S = \frac{1}{e}[\frac{7}{3}]\)
उपरोक्त समीकरण से : S<1.......2

यदि R=\(\infty\)
_{\(S=e^{-\infty} = 0\)} ...............3

1, 2 और 3 से

हमेशा सही विकल्प है 0 ≤ S ≤ 1