Adjoint and Inverse of a Square Matrix MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Adjoint and Inverse of a Square Matrix - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 8, 2025

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Latest Adjoint and Inverse of a Square Matrix MCQ Objective Questions

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 1:

मान लीजिये और , जहाँ है। यदि M = ATBA है, तो आव्यूह AM2023AT का व्युत्क्रम है

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 :

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 1 Detailed Solution

गणना:

.

.

.

M = ATBA

M2 = M.M = ATBA ATBA = ATB2A

M3 = M2.M = ATB2AATBA = ATB3A

.

.

.

M2023 = …………… ATB2023A

AM2023AT = AATB2023 AAT = B2023

(AM2023AT) का व्युत्क्रम है

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 2:

यदि अशून्य 3 × 3 आव्यूह A, A2(A - 4I) - 4(A - I) = 0 को संतुष्ट करता है और यदि A5 = αA2 + βA + γl है, जहाँ I 3 × 3 इकाई आव्यूह है, तो α + β + γ बराबर है

Answer (Detailed Solution Below) 76

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 2 Detailed Solution

Answer (76)

Sol.

A2(A - 4I) - 4(A - I) = 0 

A3 - 4A2 - 4A + 4I = 0

Multiple by A

A4 = 4A3 + 4A2 - 4A

= 4(4A2 + 4A – 4I) + 4A2 – 4A 

= 20A2 + 12A – 16I

Multiple again by A

⇒ A5 = 20A3 + 12A2 – 16A

= 20(4A2 + 4A – 4I) + 12A2 – 16A

= 92A2 + 64A – 80I = αA2 + A + γI 

⇒ α = 92, β = 64, γ = -80 ⇒ α + β + γ = 76

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 3:

मान लीजिये x, y, z > 1 और

.

तब |adj(adjA2)| किसके बराबर है?

  1. 64
  2. 28
  3. 48
  4. 24

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 28

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 3 Detailed Solution

सिद्धांत:

आव्यूह के सहखंडज का सारणिक:

  • यदि कोटि का एक वर्ग आव्यूह है, तब:
  • यदि व्युत्क्रमणीय है
  • इसलिए, जहाँ
  • प्रयोग करके
  • साथ ही,

आव्यूह सारणिक:

  • आव्यूह के अदिश सारणिक मान को दर्शाता है
  • यदि 3 × 3 है, तब

 

गणना:

दिया गया है,

मान लीजिये

मानों का प्रयोग करके:

आव्यूह कोटि का है

∴ इसलिए विकल्प 2 सही उत्तर है।

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 4:

Comprehension:

निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित को ध्यान में रखें :  

माना

A-1 किसके बराबर है?

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 :

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 4 Detailed Solution

व्याख्या:

दिया गया है

अब, A-1 =

=

∴ विकल्प (a) सही है।

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 5:

Comprehension:

निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित को ध्यान में रखें :  

माना

A(adj A) किसके बराबर है?

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 :

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 5 Detailed Solution

व्याख्या:

दिया गया है:

अब, |A| = 3(-3 + 4) -2(-3 + 4) + 0 = 3 - 2 = 1

A(adjA) = |A| I = I

इसलिए, विकल्प (d) सही है।

Top Adjoint and Inverse of a Square Matrix MCQ Objective Questions

यदि  तो k = ?

  1. - 25
  2. - 15
  3. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 :

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 6 Detailed Solution

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अवधारणा:

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:

  • A-1 =
  • |A-1| = |A|-1 =

 

गणना:

         -----(1)

आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से, 

A-1 =               -----(2)

समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

k = |A|  

आव्यूह के व्युत्क्रम के सारणिक के गुणों का उपयोग करके हमारे पास है:

k = |A| =          -----(3)

हम जानते है, 

A.A-1 = I

⇒ |A.A-1| = |I| = 1

⇒ |A| |A-1| = 1

⇒ |A| = 1/ |A-1|       ....(4)

अब,

|A-1| = 1(24 - 3) + 2(9 - 12) + 3(2 - 12) = 21 - 6 - 30 = - 15.

|A-1| = -15

इसलिए, समीकरण (3) से

k = 

Mistake Pointsध्यान दें, हमारे पास A-1 आव्यूह है, A आव्यूह नहीं। तो k का मान ज्ञात करने के लिए, आपको संबंध |A| = 1/|A-1| का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है

अगर और \(\rm A ^{-1}=\begin{bmatrix} {1\over8} & {-1\over 12} \\\ {-1\over 6}& {4\over 9} \end{bmatrix}\) तो x का मान ज्ञात करें।

  1. 10

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 :

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 7 Detailed Solution

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अवधारणा:

A × A-1 = I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है

|A| = 

गणना:

दिया हुआ:  और \(\rm A ^{-1}=\begin{bmatrix} {1\over8} & {-1\over 12} \\\ {-1\over 6}& {4\over 9} \end{bmatrix}\)

|A-1| = 

|A| =  = 24

⇒ 3x - 8 = 24

x = 

यदि A2 - 2A - I = 0 है, तो A का व्युत्क्रम _____ है। 

  1. I
  2. A + 2
  3. A - 2
  4. A

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : A - 2

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 8 Detailed Solution

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अवधारणा:

आव्यूह व्युत्क्रम के गुण:

यदि A और B व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तो व्युत्क्रम आव्यूह में निम्नलिखित गुण होने चाहिए:

  • (AB) - 1 = B - 1 A - 1
  • (A - 1) - 1 = A
  • (AT) - 1 = (A - 1)T
  • (KA -1 ) =  किसी भी K ≠ 0 के लिए  
  • (An) - 1 = (A - 1)n
  • AA - 1 = A - 1A = I

गणना:

दिया गया है: A2 - 2A - I = 0

⇒ A.A - 2A = I

A-1 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

⇒ AAA-1 - 2AA-1 = IA-1

⇒ AI - 2I = A-1             [∵ AA - 1 = A - 1A = I]

∴ A-1 = A - 2

A का व्युत्क्रम A - 2 है

यदि A एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो A[adj(A)] =?

  1. A
  2. adj(A)
  3. A-1
  4. शून्य आव्यूह

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : शून्य आव्यूह

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 9 Detailed Solution

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अवधारणा:

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:

  • A-1 =  
  • |A-1| = |A|-1 =  

गणना:

आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से, 

दोनों पक्षों को A से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:

A(A-1) =

⇒ |A| I = A[adj(A)]

लेकिन यह दिया जाता है कि A एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, अर्थात |A| = 0

∴ A[adj(A)] = 0, या A[adj(A)] एक शून्य आव्यूह है

यदि एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है तो λ का मान क्या है?

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि आव्यूह A व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है तो | A | = 0 है। 

यदि आव्यूह A गैर-अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो | A |  0 है। 

 

गणना:

दिया गया है, A =  एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि आव्यूह A गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो | A | = 0 है। 

⇒  = 0

⇒ 1 = 0

⇒ 

अतः यदि  एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है, तो λ का मान 1 है। 

अगर A एक 3×3 वर्ग आव्यूह है जैसे |A| = 4, तो |A × adj(A)| का मान ज्ञात कीजिए।

  1. 4
  2. 16
  3. 64
  4. तत्समक आव्यूह

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 64

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 11 Detailed Solution

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अवधारणा:

सारणिक:

  • दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह A और B के लिए हमारे पास: det(A × B) = det(A) × det(B) है, जिसे |A × B| = |A| × |B| के रूप में भी लिखा जा सकता है। 
  • |adj(A)| = |A|n - 1, जहाँ n वर्ग आव्यूह A की कोटि है।

गणना:

हम जानते हैं कि |adj(A)| = |A|n - 1, जहाँ n वर्ग आव्यूह A की कोटि है।

अब, |A × adj(A)| = |A × |A|n - 1| = |A|n

दिए गए आव्यूह A की कोटि n = 3 है और |A| = 4

∴ |A × adj(A)| = |A|n = 43 = 64

एक प्रतीप्य आव्यूह A के लिए यदि A(adj A)  है, तो |A| क्या है?

  1. 100
  2. -100
  3. 10
  4. -10

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 10

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

माना कि A एक प्रतीप्य आव्यूह है। 

चूँकि हम जानते हैं, AA-1 = I

A (Adj A) = det A × I = |A|I

गणना:

दिया गया है: A(adj A) 

⇒ A(adj A) 

चूँकि हम जानते हैं A (Adj A) = det A × I

∴ det A = |A| = 10

यदि एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो x का मान किसके बराबर है?

  1. -11
  2. 11
  3. 9
  4. -9

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 9

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

अव्युत्क्रमणीय आव्यूह:

  • एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह वह आव्यूह है जिसका 'गुणनात्मक व्युत्क्रम' मौजूद नहीं है। अर्थात् A × A-1 ≠ I
  • एक आव्यूह को अव्युत्क्रमणीय आव्यूह केवल तब कहा जाता है यदि इसकी सारणिक शून्य होती है। अर्थात् |A| = 0

गणना:

आव्यूह के अव्युत्क्रमणीय होने के लिए इसकी सारणिक को शून्य होना चाहिए। 

⇒ 1(1 × 1 - 1 × x) + 0(1 × x - 1 × 5) + 2(5 × 1 - 1 × 1) = 0

⇒ 1 - x + 0 + 8 = 0

x = 9

आव्यूह A =  का व्युत्क्रम मौजूद नहीं है तो 'a' का मान ज्ञात करें।

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 :

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 14 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक आव्यूह A पर विचार करें और मानें इसका व्युत्क्रम A-1 है

यहाँ; adj (A) आव्यूह A का अभिसंयुक्त है और det (A) आव्यूह A का सारणिक है।

यदि det (A) ≠ 0 है तो आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद है।

⇒ यदि det (A) = 0 है तो आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।

 

गणना:

दिया गया है A = 

A-1 मौजूद न होने के लिए |A| = 0

|A| =  = 0

|A| = 3(2 - a) - 1(4 - 2) + 2(4a - 4)

|A| = 6 - 3a - 2 + 8a - 8

|A| = 5a - 4

|A| = 0

5a - 4 = 0

∴ a = 

यदि A कोटि 3 का एक तत्समक आव्यूह है, तो इसका/इसके प्रतिलोम (A-1)

  1. शून्य आव्यूह के बराबर है
  2. A के बराबर है
  3. 3A के बराबर है
  4. का अस्तित्व नहीं है

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : A के बराबर है

Adjoint and Inverse of a Square Matrix Question 15 Detailed Solution

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धारणा

यदि A कोटि n का कोई आव्यूह है और इसका व्युत्क्रम मौजूद है तो हम लिख सकते हैं

AA-1 = A-1A = I, जहाँ I = कोटि n का तत्समक आव्यूह

गणना

दिया हुआ: A कोटि 3 का तत्समक आव्यूह है यानी A = I

दोनों पक्षों को A-1 से गुणा करके हमें प्राप्त होता है

⇒ AA-1 = IA-1

⇒ I = A-1 [∵ तत्समक आव्यूह द्वारा गुणा किया जाने वाला आव्यूह स्वयं आव्यूह  है यानी AI = A]

⇒ A = A-1

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