Adjoint and Inverse of a Square Matrix MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Adjoint and Inverse of a Square Matrix - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

.

.

.

M = A^TBA

M² = M.M = A^TBA A^TBA = A^TB²A

M³ = M².M = A^TB²AA^TBA = A^TB³A

.

.

.

M²⁰²³ = …………… A^TB²⁰²³A

AM²⁰²³A^T = AA^TB²⁰²³ AA^T = B²⁰²³

(AM²⁰²³A^T) का व्युत्क्रम है

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है

Answer (76)

Sol.

A2(A - 4I) - 4(A - I) = 0 

A³ - 4A² - 4A + 4I = 0

Multiple by A

A4 = 4A3 + 4A2 - 4A

= 4(4A² + 4A – 4I) + 4A² – 4A 

= 20A² + 12A – 16I

Multiple again by A

⇒ A⁵ = 20A³ + 12A² – 16A

= 20(4A² + 4A – 4I) + 12A² – 16A

= 92A² + 64A – 80I = αA² + A + γI 

⇒ α = 92, β = 64, γ = -80 ⇒ α + β + γ = 76

सिद्धांत:

आव्यूह के सहखंडज का सारणिक:

• यदि कोटि का एक वर्ग आव्यूह है, तब:
• यदि व्युत्क्रमणीय है
• इसलिए, जहाँ
• प्रयोग करके
• साथ ही,

आव्यूह सारणिक:

• आव्यूह के अदिश सारणिक मान को दर्शाता है
• यदि 3 × 3 है, तब

गणना:

दिया गया है,

मान लीजिये

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

मानों का प्रयोग करके:

⇒

आव्यूह कोटि का है

⇒

∴ इसलिए विकल्प 2 सही उत्तर है।

व्याख्या:

दिया गया है

⇒

अब, A^-1 =

=

∴ विकल्प (a) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

अब, |A| = 3(-3 + 4) -2(-3 + 4) + 0 = 3 - 2 = 1

A(adjA) = |A| I = I

इसलिए, विकल्प (d) सही है।

अवधारणा:

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:

• A-1 =
• |A-1| = |A|-1 =

गणना:

         -----(1)

आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से, 

A-1 =               -----(2)

समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

k = |A|  

आव्यूह के व्युत्क्रम के सारणिक के गुणों का उपयोग करके हमारे पास है:

k = |A| =          -----(3)

हम जानते है, 

A.A-1 = I

⇒ |A.A-1| = |I| = 1

⇒ |A| |A-1| = 1

⇒ |A| = 1/ |A-1|       ....(4)

अब,

|A-1| = 1(24 - 3) + 2(9 - 12) + 3(2 - 12) = 21 - 6 - 30 = - 15.

|A-1| = -15

इसलिए, समीकरण (3) से

k = 

Mistake Pointsध्यान दें, हमारे पास A-1 आव्यूह है, A आव्यूह नहीं। तो k का मान ज्ञात करने के लिए, आपको संबंध |A| = 1/|A-1| का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है

अवधारणा:

A × A-1 = I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है

|A| = 

गणना:

दिया हुआ:  और \(\rm A ^{-1}=\begin{bmatrix} {1\over8} & {-1\over 12} \\\ {-1\over 6}& {4\over 9} \end{bmatrix}\)

|A^-1| = 

|A| =  = 24

⇒ 3x - 8 = 24

∴ x = 

अवधारणा:

आव्यूह व्युत्क्रम के गुण:

यदि A और B व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तो व्युत्क्रम आव्यूह में निम्नलिखित गुण होने चाहिए:

• (AB) - 1 = B - 1 A - 1
• (A - 1) - 1 = A
• (AT) - 1 = (A - 1)T
• (KA -1 ) =  किसी भी K ≠ 0 के लिए  
• (An) - 1 = (A - 1)n
• AA - 1 = A - 1A = I

गणना:

दिया गया है: A2 - 2A - I = 0

⇒ A.A - 2A = I

A-1 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

⇒ AAA-1 - 2AA-1 = IA-1

⇒ AI - 2I = A-1             [∵ AA - 1 = A - 1A = I]

∴ A-1 = A - 2

A का व्युत्क्रम A - 2 है

अवधारणा:

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:

• A-1 =  
• |A-1| = |A|-1 =  

गणना:

आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से, 

दोनों पक्षों को A से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:

A(A-1) =

⇒ |A| I = A[adj(A)]

लेकिन यह दिया जाता है कि A एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, अर्थात |A| = 0

∴ A[adj(A)] = 0, या A[adj(A)] एक शून्य आव्यूह है।

संकल्पना:

यदि आव्यूह A व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है तो | A | = 0 है। 

यदि आव्यूह A गैर-अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो | A | ≠ 0 है। 

गणना:

दिया गया है, A =  एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि आव्यूह A गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो | A | = 0 है। 

⇒  = 0

⇒ 1 = 0

⇒ 

⇒

⇒

अतः यदि  एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है, तो λ का मान 1 है। 

अवधारणा:

सारणिक:

• दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह A और B के लिए हमारे पास: det(A × B) = det(A) × det(B) है, जिसे |A × B| = |A| × |B| के रूप में भी लिखा जा सकता है। 
• |adj(A)| = |A|n - 1, जहाँ n वर्ग आव्यूह A की कोटि है।

गणना:

हम जानते हैं कि |adj(A)| = |A|n - 1, जहाँ n वर्ग आव्यूह A की कोटि है।

अब, |A × adj(A)| = |A × |A|n - 1| = |A|n

दिए गए आव्यूह A की कोटि n = 3 है और |A| = 4

∴ |A × adj(A)| = |A|n = 43 = 64

संकल्पना:

माना कि A एक प्रतीप्य आव्यूह है। 

चूँकि हम जानते हैं, AA^-1 = I

⇒ A (Adj A) = det A × I = |A|I

गणना:

दिया गया है: A(adj A) 

⇒ A(adj A) 

चूँकि हम जानते हैं A (Adj A) = det A × I

∴ det A = |A| = 10

संकल्पना:

अव्युत्क्रमणीय आव्यूह:

• एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह वह आव्यूह है जिसका 'गुणनात्मक व्युत्क्रम' मौजूद नहीं है। अर्थात् A × A^-1 ≠ I
• एक आव्यूह को अव्युत्क्रमणीय आव्यूह केवल तब कहा जाता है यदि इसकी सारणिक शून्य होती है। अर्थात् |A| = 0

​

गणना:

आव्यूह के अव्युत्क्रमणीय होने के लिए इसकी सारणिक को शून्य होना चाहिए। 

⇒ 1(1 × 1 - 1 × x) + 0(1 × x - 1 × 5) + 2(5 × 1 - 1 × 1) = 0

⇒ 1 - x + 0 + 8 = 0

⇒ x = 9

संकल्पना:

एक आव्यूह A पर विचार करें और मानें इसका व्युत्क्रम A^-1 है

यहाँ; adj (A) आव्यूह A का अभिसंयुक्त है और det (A) आव्यूह A का सारणिक है।

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है तो आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद है।

⇒ यदि det (A) = 0 है तो आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।

गणना:

दिया गया है A = 

A-1 मौजूद न होने के लिए |A| = 0

|A| =  = 0

|A| = 3(2 - a) - 1(4 - 2) + 2(4a - 4)

|A| = 6 - 3a - 2 + 8a - 8

|A| = 5a - 4

|A| = 0

5a - 4 = 0

∴ a = 

धारणा

यदि A कोटि n का कोई आव्यूह है और इसका व्युत्क्रम मौजूद है तो हम लिख सकते हैं

AA^-1 = A^-1A = I, जहाँ I = कोटि n का तत्समक आव्यूह

गणना

दिया हुआ: A कोटि 3 का तत्समक आव्यूह है यानी A = I

दोनों पक्षों को A^-1 से गुणा करके हमें प्राप्त होता है

⇒ AA^-1 = IA^-1

⇒ I = A^-1 [∵ तत्समक आव्यूह द्वारा गुणा किया जाने वाला आव्यूह स्वयं आव्यूह  है यानी AI = A]

⇒ A = A^-1