Calculus MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Calculus - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধরি,

অংশ দ্বারা সমাকলনের মাধ্যমে সমাধান করে, আমরা পাই

যেখানে C হল ধ্রুবক

ধারণা:

ধরি, x এর একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি ফাংশন y = f(x)

ফাংশন চরম মান অর্জন করে (মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বা উভয় হতে পারে)।

সর্বোচ্চ জন্য:

• স্থানীয় ম্যাক্সিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় ম্যাক্সিমা যদি অন্য কোনো বিন্দু থাকে যেখানে সর্বোচ্চ মান স্থানীয় ম্যাক্সিমা থেকে বেশি হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় ম্যাক্সিমার কাছাকাছি নেই।
• গ্লোবাল ম্যাক্সিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল ম্যাক্সিমা থেকে বেশি মূল্য রয়েছে।

শর্ত:

f^"(x)

f"(x) > 0 ⇒ মিনিমা

f"(x) = 0 ⇒ আনতি বিন্দু

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3 

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2 

যেহেতু, x = 0 এ, f(x) এর স্থানীয় ম্যাক্সিমা আছে

f''(0)

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0

k2 - 4

এখানে, উপরের রাশিটিকে 0-এর কম রাখতে হবে, k-এর মান অবশ্যই -2 থেকে 2-এর মধ্যে থাকতে হবে।

⇒ -2

Mistake Points

যেহেতু ম্যাক্সিমার শর্তটি অসমতা, তাই এটিকে সমীকরণ হিসাবে ব্যবহার করবেন না, যেমন k2 - 4 = 0, এটি k = ± 2 দেবে এবং K 2 এর উত্তর পরিবর্তন করবে।

ধারণা:

ধরা যাক f একটি অবিচ্ছিন্ন অপেক্ষক যেমন f '(p) = 0

• যদি f ''(p) > 0 হয় তাহলে p-তে f-এর একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন মান থাকে।

• যদি f ''(p) স্থানীয় সর্বোচ্চ মান থাকে।

গণনা:

f (x) = 3x4 + 4x³ - 12x2 + 12

⇒ f ' (x) = 12x³ + 12x² - 24x + 0 ----(1)

⇒ f ' (x) = 12x (x² + x - 2)

⇒ f ' (x) = 12x (x - 1)(x + 2)

f ' (x) = 0 বসিয়ে পাই

⇒ 12x (x - 1)(x + 2) = 0

⇒ x = 0, 1, -2 হল চরম বিন্দু 

f '' (x) নির্ণয় করে পাই,

⇒ f '' (x) = 36x² + 24x - 24          [(1) ব্যবহার করে ]

⇒ f '' (x) = 12 (3x² + 2x - 2)

কেস 1: x = 0-এ,

f '' (x) = 12 (3(0)2 + 2(0) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (-2) = -24

যেহেতু, x = 0-তে f '' (x)

∴ x = 0 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = 0-এ f(x) হল সর্বোচ্চ।

কেস 2: x = 1-এ

f '' (x) = 12 (3(1)2 + 2(1) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (3 + 2 - 2) = 36 > 0

যেহেতু, x = 1-এ f '' (x) > 0

∴ x = 1 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = 1-এ f(x) হল সর্বনিম্ন।

কেস 3: x = -2-এ

f '' (x) = 12 (3(-2)2 + 2(-2) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (12 - 4 - 2) = 72 > 0

যেহেতু, x = -2-এ f '' (x) > 0

∴ x = -2 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = -2-এ f(x) হল সর্বনিম্ন।

অতএব, x = 0 বিন্দুতে, f(x) সর্বোচ্চ।

ধারণা:

দুটি ভেক্টর A̅ এবং B̅-এর ডট গুনফলকে নিম্নরূপে প্রকাশ করা হয়:

A̅⋅B̅ = |A|⋅|B|⋅cos θ

যখন এই ভেক্টরগুলি একে অপরের সাথে লম্ব হয়, তখন তাদের ডট গুনফল শূন্য হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

(A̅ + B̅) এবং (A̅ - B̅) দুটি ভেক্টর এবং |A| ≠ 0, |B| ≠ 0।

যদি দুটি ভেক্টর একে অপরের সাথে লম্ব হয়, তাহলে তাদের ডট গুনফল শূন্যের সমান হয়।

(A̅ + B̅)·(A̅ - B̅) = 0

⇒ (A̅·A̅) - (A̅·B̅) + (B̅·A̅) - (B̅·B̅) = 0

যেহেতু A̅·B̅ = B̅·A̅

⇒ |A̅|² - |B̅|² = 0

∴ |A̅| = |B̅|
∴ A̅ এবং B̅-এর মান সমান।

ধারণা:

ব্যবহৃত সূত্র:

সমাধান:

f(x) = x2 + 4x + 3

'x' এর সাপেক্ষে f(x) এর অবকলন করুন।

⇒ f'(x) = 2x + 4

x = 1 বসিয়ে পাই,

সুতরাং, f'(1) = 2 x 1 + 4 = 6

∴ f'(1) এর মান হল 6।

ধারণা:

দুটি বহুপদী অপেক্ষকের অনুপাতের আকারে লেখা অপেক্ষককে মূলদ অপেক্ষক বলে।

মূলদ অপেক্ষক সেই সব বিন্দু ছাড়া অন্য সমস্ত বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন যেখানে হর শূন্য হয়।

যেখানে P(x) এবং Q(x) হল বহুপদী এবং Q(x) ≠ 0।

f(x) সেই বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন হবে যেখানে Q(x) = 0।

গণনা:

প্রদত্ত:

এটি একটি মূলদ অপেক্ষক, তাই এটি সেই সব বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন হবে যেখানে হর শূন্য হয়।

4x - x³ = 0

x(4 - x²) = 0

x(2² - x2) = 0

x(2 + x)(2 - x) = 0

x = 0, x = - 2 এবং x = 2

সুতরাং অপেক্ষক ঠিক তিনটি বিন্দু 0, - 2 এবং 2 তে বিচ্ছিন্ন হবে।

Mistake Points

একটি সন্দেহ থাকতে পারে যে কিছু ফ্যাক্টর একে অপরকে বাদ দিচ্ছে তাই প্রথমে আমাদের এটি সরল করতে হবে।

উল্লেখ্য যে,

যদি (4 - x2) = 0 হয় তবে f(x) অনির্দিষ্ট বা 0/0 আকারে আসবে।

সুতরাং, অপেক্ষকটির x = ± 2 এর জন্য কোনো মান থাকবে না। তাই, এগুলিও বিচ্ছিন্নতার বিন্দু হবে।

এছাড়াও, যদি (4 - x2) ≠ 0

⇒

এখানে, x = 0 ও বিচ্ছিন্নতার একটি বিন্দু।

ঠিক তিনটি বিন্দু 0, - 2 এবং 2 থাকবে।

ধারণা:

ধরি, x এর একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি ফাংশন y = f(x)

ফাংশন চরম মান অর্জন করে (মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বা উভয় হতে পারে)।

সর্বোচ্চ জন্য:

• স্থানীয় ম্যাক্সিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় ম্যাক্সিমা যদি অন্য কোনো বিন্দু থাকে যেখানে সর্বোচ্চ মান স্থানীয় ম্যাক্সিমা থেকে বেশি হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় ম্যাক্সিমার কাছাকাছি নেই।
• গ্লোবাল ম্যাক্সিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল ম্যাক্সিমা থেকে বেশি মূল্য রয়েছে।

শর্ত:

f^"(x)

f"(x) > 0 ⇒ মিনিমা

f"(x) = 0 ⇒ আনতি বিন্দু

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3 

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2 

যেহেতু, x = 0 এ, f(x) এর স্থানীয় ম্যাক্সিমা আছে

f''(0)

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0

k2 - 4

এখানে, উপরের রাশিটিকে 0-এর কম রাখতে হবে, k-এর মান অবশ্যই -2 থেকে 2-এর মধ্যে থাকতে হবে।

⇒ -2

Mistake Points

যেহেতু ম্যাক্সিমার শর্তটি অসমতা, তাই এটিকে সমীকরণ হিসাবে ব্যবহার করবেন না, যেমন k2 - 4 = 0, এটি k = ± 2 দেবে এবং K 2 এর উত্তর পরিবর্তন করবে।

ধারণা:

ল্যাগ্রেঞ্জের গড় মান উপপাদ্য:

যদি f(x) প্রকৃত মূল্যবান ক্রিয়াকলাপ হয় যেমন-

• f(x) বদ্ধ ব্যবধান [a,b] তে অবিচ্ছিন্নভাবে থাকে
• (f(x) মুক্ত ব্যবধান (a,b) তে পার্থক্যযোগ্য হয়
• f(a) ≠ f(b)

তাহলে অন্তত একটি মান x, c (a, b) আছে যেমন -

জ্যামিতিক ব্যাখ্যা:

• f(x) এর লেখচিত্রের দুটি বিন্দু a এবং b, f(a) ≠ f(b) এর মধ্যে একটি বিন্দু আছে যেখানে স্পর্শকটি জ্যা  এর সমান্তরাল হয়।

ব্যাখ্যা:

(a) জ্যামিতিক ব্যাখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে সঠিক।

(b) হবে বেঠিক, যদি f(x) x এর প্রতিটি মানের জন্য একই মান থাকে, তাহলে এটি f(a) ≠ f(b) লঙ্ঘন করবে।

ধারণা:

x এর একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি ফাংশন y = f(x) বিবেচনা করুন।

ফাংশন চরম মান অর্জন করে (মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বা উভয় হতে পারে)।

সর্বোচ্চ মানের জন্য:

• স্থানীয় ম্যাক্সিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় ম্যাক্সিমা যদি এমন কোনো বিন্দু থাকে যেখানে সর্বোচ্চ মান স্থানীয় ম্যাক্সিমা থেকে বেশি হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় ম্যাক্সিমার কাছাকাছি নেই।
• গ্লোবাল ম্যাক্সিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল ম্যাক্সিমা থেকে বেশি মান রয়েছে।

মিনিমার জন্য:

• স্থানীয় মিনিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় মিনিমা যদি অন্য কোনো বিন্দু থাকে যেখানে ন্যূনতম মান স্থানীয় মিনিমার থেকে কম হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় মিনিমার কাছাকাছি নেই।
• গ্লোবাল মিনিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল মিনিমা থেকে কম মান রয়েছে।

স্থির বিন্দু : বিন্দু যেখানে ফাংশনের অন্তরক সহগ শূন্য অর্থাৎ f'(x) = 0। বিন্দুগুলি হতে পারে:

• আনতি বিন্দু
• স্থানীয় ম্যাক্সিমা
• স্থানীয় মিনিমা

দ্বিতীয় অন্তরক সহগ পরীক্ষা: ধরুন ফাংশনের একটি স্থির বিন্দু x = a আছে

• যদি তাহলে x = a, ম্যাক্সিমা একটি বিন্দু.
• যদি 0\) তাহলে x = a, minima একটি বিন্দু.

ব্য়বহার:

দেওয়া f(x) একটি বাস্তব-মানযুক্ত ফাংশন যেমন f'(x 0 ) = 0 কিছু x 0 ∈ (0, 1) এর জন্য

এছাড়াও সমস্ত x ∈ (0, 1) এর জন্য f"(x) > 0 দেওয়া হয়েছে

সুতরাং, f(x) এর ঠিক একটি স্থানীয় ন্যূনতম (0, 1) আছে, যাকে বিন্দুর মিনিমা বলা হয়।

ধারণা:

অবকলন শৃঙ্খল নিয়ম বলে যে, যদি y = f(u) এবং u = g(x) উভয়ই অকলনযোগ্য  অপেক্ষক হয়, তাহলে:

0\)

গণনা:

প্রদত্ত: y = log sinx

ধরি sin x = u

⇒ y = log u

সুতরাং, এর মান হবে ।

ধারণা:

দুটি ভেক্টর A̅ এবং B̅-এর ডট গুনফলকে নিম্নরূপে প্রকাশ করা হয়:

A̅⋅B̅ = |A|⋅|B|⋅cos θ

যখন এই ভেক্টরগুলি একে অপরের সাথে লম্ব হয়, তখন তাদের ডট গুনফল শূন্য হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

(A̅ + B̅) এবং (A̅ - B̅) দুটি ভেক্টর এবং |A| ≠ 0, |B| ≠ 0।

যদি দুটি ভেক্টর একে অপরের সাথে লম্ব হয়, তাহলে তাদের ডট গুনফল শূন্যের সমান হয়।

(A̅ + B̅)·(A̅ - B̅) = 0

⇒ (A̅·A̅) - (A̅·B̅) + (B̅·A̅) - (B̅·B̅) = 0

যেহেতু A̅·B̅ = B̅·A̅

⇒ |A̅|² - |B̅|² = 0

∴ |A̅| = |B̅|
∴ A̅ এবং B̅-এর মান সমান।

ব্যাখ্যা:

ln f = x lny

⇒

⇒

⇒

ধারণা:

বীজগণিতীয় অপেক্ষকগুলি প্রকৃতিতে অবিচ্ছিন্ন। যদি একটি বীজগণিতীয় অপেক্ষক, f(x) দুটি সংখ্যার মধ্যে তার চিহ্ন পরিবর্তন করে তবে,

• x এর একটি মান অবশ্যই থাকবে যার জন্য f(x) সেই দুটি সংখ্যার মধ্যে শূন্য হয়ে যায়।
• x এর সেই মানকে f(x) = 0 সমীকরণের মূল বলা হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = x3 - 2x - 8

আমরা x এর মান নির্ণয় করে সমাধান শুরু করতে পারি, যেখানে f(x) চিহ্ন পরিবর্তন করছে।

f'(x) = 3x² - 2, এটিকে শূন্যের সমান করলে আমরা পাই,

3x2 - 2 = 0

এবং

x এর এই উভয় মানের জন্য, f(x) ঋণাত্মক তাই শুধুমাত্র একটি বাস্তব মূল থাকবে এবং ঘন সমীকরণের বাকি 2টি মূল কাল্পনিক হবে।

দ্রষ্টব্য: কাল্পনিক মূল সবসময় জোড়ায় বিদ্যমান থাকে।

সুতরাং, বাস্তব মূলের অবস্থান অনুমান করার জন্য, আমরা কয়েকটি বিন্দু f(x) এর মান পরীক্ষা করতে পারি,

f(0) = - 8, f(1) = - 9, f(2) = - 4, f(3) = 13, f(4) = 48

এখান থেকে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে,

• অপেক্ষকের চিহ্ন 3 এবং 4 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 3 এবং 4 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
• অপেক্ষকের চিহ্ন 1 এবং 2 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 1 এবং 2 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
• অপেক্ষকের চিহ্ন 2 এবং 3 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয়, তাই 2 এবং 3 এর মধ্যে অন্তত একটি বাস্তব মূল রয়েছে।

ধারণা:

ধরা যাক f একটি অবিচ্ছিন্ন অপেক্ষক যেমন f '(p) = 0

• যদি f ''(p) > 0 হয় তাহলে p-তে f-এর একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন মান থাকে।

• যদি f ''(p) স্থানীয় সর্বোচ্চ মান থাকে।

গণনা:

f (x) = 3x4 + 4x³ - 12x2 + 12

⇒ f ' (x) = 12x³ + 12x² - 24x + 0 ----(1)

⇒ f ' (x) = 12x (x² + x - 2)

⇒ f ' (x) = 12x (x - 1)(x + 2)

f ' (x) = 0 বসিয়ে পাই

⇒ 12x (x - 1)(x + 2) = 0

⇒ x = 0, 1, -2 হল চরম বিন্দু 

f '' (x) নির্ণয় করে পাই,

⇒ f '' (x) = 36x² + 24x - 24          [(1) ব্যবহার করে ]

⇒ f '' (x) = 12 (3x² + 2x - 2)

কেস 1: x = 0-এ,

f '' (x) = 12 (3(0)2 + 2(0) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (-2) = -24

যেহেতু, x = 0-তে f '' (x)

∴ x = 0 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = 0-এ f(x) হল সর্বোচ্চ।

কেস 2: x = 1-এ

f '' (x) = 12 (3(1)2 + 2(1) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (3 + 2 - 2) = 36 > 0

যেহেতু, x = 1-এ f '' (x) > 0

∴ x = 1 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = 1-এ f(x) হল সর্বনিম্ন।

কেস 3: x = -2-এ

f '' (x) = 12 (3(-2)2 + 2(-2) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (12 - 4 - 2) = 72 > 0

যেহেতু, x = -2-এ f '' (x) > 0

∴ x = -2 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = -2-এ f(x) হল সর্বনিম্ন।

অতএব, x = 0 বিন্দুতে, f(x) সর্বোচ্চ।