मान लीजिए γ सम्मिश्र तल में धनात्मक अभिविन्यस्त वृत्त है, जो {z ∈ \(\mathbb{C}\) ∶ |z - 1| = 1/2} द्वारा दिया गया है। रैखीय समाकल

\(\int_\gamma \frac{z e^{1 / z}}{z^2-1} d z\) बराबर है

अवधारणा:

कॉची समाकल प्रमेय:

यदि एक सम्मिश्र फलन f(z) एक सरलतः संयोजित डोमेन के अंदर एक बंद समोच्च C के अंदर और उस पर विश्लेषणात्मक है, और यदि a, C के मध्य में कोई बिंदु है, तो

f(a) = \(\frac{1}{2 π i} \int_C \frac{f(z)}{z-a}\)

व्याख्या:

अव्युत्क्रमित बिंदु दिए गए हैं

z² - 1 = 0 ⇒ z = 1, z = -1

केवल अव्युत्क्रमित बिंदु जो γ के अंदर स्थित है, वह z = 1 है।

मान लीजिये f(z) = \(\frac{ze^{1/z}}{z+1}\)

इसलिए कॉची के समाकल परीक्षण का उपयोग करते हुए

\(\int_\gamma \frac{z e^{1 / z}}{z^2-1} d z\) = 2πi f(1) = 2πi x (e/2) = iπe

विकल्प (1) सही है।