త్రిభుజం కేంద్రాలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Centres of a Triangle - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

∠DBP = ∠PBC = a° అని అనుకుందాం

మరియు ∠ECP + ∠PCB = b° అని కూడా అనుకుందాం

∠ABC = 180° - 2a° మరియు ∠ACB = 180° - 2b°

ΔABC లో,

180° - 2a° + 72° + 180° - 2b° = 180°

a° + b° = 126°

ΔPBC లో,

a° + b° + x° = 180°

x° = 180° - 126° = 54°

∠BPC = 90° - (1/2) x ∠A

ఇక్కడ, ∠A = 72°

∴ ∠BPC = 90° - (1/2) x 72°

⇒ ∠BPC = 90° - 36° = 54°

ఇవ్వబడింది:

ΔDEF మరియు ΔGHI రెండు సారూప్య త్రిభుజాలు

DE = 64 సెం.మీ.

GH = 24 సెం.మీ.

ΔGHI చుట్టుకొలత = 72 సెం.మీ.

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

సారూప్య త్రిభుజాలలో, సంబంధిత భుజాల నిష్పత్తి సమానంగా ఉంటుంది

అయితే, చుట్టుకొలతల నిష్పత్తి కూడా సంబంధిత భుజాల నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది.

లెక్కింపు:

సంబంధిత భుజాల నిష్పత్తి = =

⇒ చుట్టుకొలతల నిష్పత్తి = 8/3

ΔDEF చుట్టుకొలత P _DEF అనుకుందాం.

⇒

⇒

⇒

EF మరియు FD ల పొడవుల మొత్తం = P _DEF - DE

⇒ 192 - 64 = 128 సెం.మీ.

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (2).

ఇచ్చినవి:

త్రిభుజం యొక్క కోణాలు 2 ∶ 4 ∶ 6 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి మరియు దాని పరివృత్త వ్యాసార్థం 12 సెం.మీ.

సిద్ధాంతం:

పరివృత్త వ్యాసార్థం \( R \) మరియు కోణాలు \( A, B, C \) ఉన్న త్రిభుజం కోసం, ఆ కోణాలకు ఎదురుగా ఉన్న భుజాలు \( a, b, c \) కి ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:

ఉపయోగించిన సూత్రం:

\( a = 2R \sin A \)

\( b = 2R \sin B \)

\( c = 2R \sin C \)

గణన:

మొదట, త్రిభుజం యొక్క కోణాలను కనుగొనండి:

⇒ కోణాలు \( 2x, 4x, 6x \) అని అనుకుందాం

⇒ \( 2x + 4x + 6x = 180^\circ \)

⇒ \( 12x = 180^\circ \)

⇒ \( x = 15^\circ \)

కాబట్టి, కోణాలు:

⇒ \( A = 2x = 30^\circ \)

⇒ \( B = 4x = 60^\circ \)

⇒ \( C = 6x = 90^\circ \)

ఇప్పుడు, పరివృత్త వ్యాసార్థం \( R = 12 \) సెం.మీ. ను ఉపయోగించి భుజాలను కనుగొనండి:

⇒ \( a = 2 \times 12 \times \sin 30^\circ \)

⇒ \( a = 24 \times \frac{1}{2} \)

⇒ \( a = 12 \) సెం.మీ.

⇒ \( b = 2 \times 12 \times \sin 60^\circ \)

⇒ \( b = 24 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)

⇒ \( b = 12\sqrt{3} \) సెం.మీ.

⇒ \( c = 2 \times 12 \times \sin 90^\circ \)

⇒ \( c = 24 \times 1 \)

⇒ \( c = 24 \) సెం.మీ.

∴ త్రిభుజం యొక్క భుజాల పొడవులు 12 సెం.మీ., 12√3 సెం.మీ. మరియు 24 సెం.మీ.

ఇచ్చినవి:

∠ABC = 70º

∠ACB = 50º

ఉపయోగించిన సూత్రం:

త్రిభుజంలో, కోణాల మొత్తం 180º.

∠A + ∠B + ∠C = 180º

అంతర కేంద్రం కోసం, ∠BOC = 90º + (∠A/2)

గణన:

∠A = 180º - (∠ABC + ∠ACB)

⇒ ∠A = 180º - (70º + 50º)

⇒ ∠A = 60º

ఇప్పుడు, ∠BOC = 90º + (∠A/2)

⇒ ∠BOC = 90º + (60º/2)

⇒ ∠BOC = 90º + 30º

⇒ ∠BOC = 120º

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (1).

ఇచ్చినవి:

BD = DC (AD మధ్యగతం కాబట్టి)

AE = EC (BE మధ్యగతం కాబట్టి)

AD పొడవు = 18 సెం.మీ

BE పొడవు = 12 సెం.మీ

ఉపయోగించిన భావన:

త్రిభుజం యొక్క మధ్యగతాలు ఒకదానికొకటి కేంద్రబిందువు వద్ద ఖండించుకుంటాయి, ఇది ప్రతి మధ్యగతాన్ని 2:1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

ఇక్కడ, G అనేది త్రిభుజం యొక్క కేంద్రబిందువు.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం:-

H2 = P2 + B2

గణన:

AG : GD = 2 : 1

AG మరియు GD లు వరుసగా 2x మరియు x అని అనుకుందాం.

2x + x = 18

⇒ 3x = 18

⇒ x = 18/3

⇒ x = 6

⇒ GD = 6 సెం.మీ

BG : GE = 2 : 1

BG మరియు GE లు వరుసగా y అని అనుకుందాం.

2y + y = 12

⇒ 3y = 12

⇒ y = 12/3

⇒ y = 4

BG = 2 x 4 = 8 సెం.మీ

లంబకోణ త్రిభుజం ΔBGD లో,

BD2 = BG2 + GD2

⇒ BD2 = (8)2 + (6)2

⇒ BD2 = 64 + 36

⇒ BD2 = 100

⇒ BD = 10

BD = 10 సెం.మీ

∴ BD పొడవు (సెం.మీ లో) 10.

ఇచ్చిన:

ABC అనేది లంబకోణ త్రిభుజం. దానిలో ఒక వృత్తం చెక్కబడింది.

లంబ కోణాన్ని కలిగి ఉన్న రెండు భుజాల పొడవు 10 సెం.మీ మరియు 24 సెం.మీ

లెక్కలు:

కర్ణం² = 10² + 24² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం)

కర్ణం= √676 = 26

త్రిభుజం లోపల ఉన్న వృత్తం (అంతర్వృత్తం) యొక్క వ్యాసార్థం = (లంబ కోణాన్ని కలిగి ఉన్న భుజాల మొత్తం - కర్ణం)/2

⇒ (10 + 24 - 26)/2

⇒ 8/2

⇒ 4

∴ సరైన ఎంపిక ఎంపిక 4.

ఇచ్చిన:

ΔABCలో, O అనేది ఆర్థోసెంటర్ మరియు I అనేది ఇచ్చిన త్రిభుజానికి కేంద్రంగా ఉంటుంది,

ఒకవేళ ∠BIC - ∠BOC = 90∘.

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

(1) ΔABCలో, నేను ఇచ్చిన త్రిభుజానికి కేంద్రంగా ఉంటాను,

(1.1) ∠BIC = 90∘ + ∠A

(1.2) ∠AIC = 90∘ + ∠B

(1.3) ∠AIB = 90∘ + ∠C

(2) ΔABCలో, ఇచ్చిన త్రిభుజానికి O అనేది ఆర్థోసెంటర్,

(2.1) ∠BOC = 180∘ - ∠A

(2.2) ∠AOB = 180∘∘ - ∠C

(3.3) ∠AOC = 180∘ - ∠B

లెక్కింపు:

ప్రశ్న ప్రకారం, అవసరమైన చిత్రం:

మనకు తెలిసినట్లుగా,

∠BOC = 180∘ - ∠A     ----(1)

∠BIC = 90∘ + ∠A    ----(2)

ఇప్పుడు, (1) సమీకరణాన్ని (2) నుండి తీసివేయండి.

⇒ ∠BIC - ∠BOC = 90∘ + ∠A  - (180∘ - ∠A )

⇒ 90∘ = 90∘ + ∠A  - 180∘ + ∠A

⇒ 90∘ = ∠A  - 90∘

⇒ 180∘ = ∠A

⇒ ∠A = 120∘

∴ అవసరమైన సమాధానం 120∘.

Additional Information

(1) కేంద్రం - ఇది ఒక త్రిభుజంలోని మూడు కోణ ద్వైపాక్షికాల ఖండన స్థానం.

(1.1) యాంగిల్ బైసెక్టర్ కోణాన్ని రెండు సమాన సగానికి కట్ చేస్తుంది.

(2) ఆర్థోసెంటర్ - ఇది త్రిభుజం యొక్క శీర్షం నుండి ఎదురుగా ఉన్న మూడు ఎత్తుల ఖండన స్థానం.

(2.1) త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు ఎదురుగా లంబంగా ఉంటుంది.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

ΔPQRలో,

PQ = 12 సెం.మీ, QR = 16 సెం.మీ మరియు PR = 20 సెం.మీ

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

a, b మరియు c త్రిభుజం యొక్క భుజాలను సూచిస్తాయి మరియు A త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని సూచిస్తుంది,

అప్పుడు పరి వ్యాసార్థం(r) యొక్క కొలత.

r = [abc/4A]

ఒక భుజం యొక్క వర్గం ఇతర రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటే, పెద్ద భుజానికి ఎదురుగా ఉండే కోణం లంబ కోణం.

కర్ణం² = లంబం² + భుజం²

సాధన:

ఇక్కడ, మనం దానిని చూడవచ్చు

(20)2 = (16)2 + (12)2  = 400 

⇒ PR2 = QR2 + PQ2

కాబట్టి, ΔPQR అనేది లంబ కోణ త్రిభుజం.

ΔPQR వైశాల్యం = (½ ) × భుజం × లంబం

⇒ ΔPQR వైశాల్యం = (½ ) × 16 × 12

⇒ ΔPQR వైశాల్యం = 96 సెం.మీ² 

పరివ్యాసార్ధం (r) = [abc/4 × వైశాల్యం]

పరివ్యాసార్ధం  (r) = [(12 × 16 × 20)/4 × 96] = 10 సెం.మీ.

∴ త్రిభుజం యొక్క పరి వ్యాసార్థం 10 సెం.మీ.

లంబకోణ త్రిభుజం కోసం, చుట్టుకేంద్రం కర్ణం మధ్య బిందువు వద్ద ఉంటుంది. త్రిభుజం యొక్క అన్ని శీర్షాలు చుట్టుకేంద్రం  నుండి సమాన దూరంలో ఉంటాయి.

PO = QO = OR = r

⇒ PO = PR/2

⇒ PO = 20/2 = 10 సెం.మీ

∴ త్రిభుజం యొక్క పరి వ్యాసార్థం 10 సెం.మీ.

ఇచ్చిన:

మధ్యలో O మరియు ∠QOR = 110°

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

త్రిభుజం PQRలో, O అనేది మధ్యలో ఉన్నట్లయితే

∠QOR = 90° + ∠QPR/2

లెక్కింపు:

ప్రశ్న ప్రకారం

∠QOR = 90° + ∠QPR/2

110° = 90° + ∠QPR/2

⇒ ∠QPR/2 = 20°

⇒ ∠QPR = 40°

∴ ∠QPR 40°.

Additional Information 

అంతఃకోణం, ∠BIC = 90° + ∠A/2

చుట్టుకొలత, ∠BSC = 2∠A

ఇవ్వబడింది:

POR = 140 డిగ్రీలు

ఉపయోగించిన భావన:

త్రిభుజం యొక్క అంతఃకేంద్రం త్రిభుజం యొక్క అన్ని భుజాలకు సమానంగా వంగి ఉంటుంది.

అంతఃకేంద్రం వద్ద కోణం = 90° + శీర్ష కోణం/2

గణన:

భావన ప్రకారం,

90° + ∠PQR/2 = 140°

⇒ ∠PQR/2 = 140° - 90°

⇒ ∠PQR/2 = 50°

⇒ ∠PQR = 100°

∴ కోణం PQR 100°.

ఇవ్వబడినవి:

 ΔABC లో, లంబ ద్వపదులు AG, BH మరియు CI లు O వద్ద కలుసుకున్నాయి.

∠B = 44°, ∠C = 66°

ఉపయోగించిన భావన:

త్రిభుజం యొక్క మూడు కోణాల మొత్తం 180°.

లంబాలు కలిసే బిందువు లంబకేంద్రం.

ఇవ్వబడిన వైపు ఏర్పడిన కోణం లంబకేంద్రం= [180° - ( వ్యతిరేక దిశలో ఏర్పడిన కోణం)]

గణన:

త్రిభుజం యొక్క మొత్తం కోణం సిద్ధాంతం ప్రకారం,

∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ ∠A + 44° + 66° = 180°

⇒ ∠A = 180° - 110°

⇒ ∠A = 70°

ఇవ్వబడిన వైపు ఏర్పడిన కోణం లంబకేంద్రం = [180° - (వ్యతిరేక దిశలో ఏర్పడిన కోణం)]

⇒ ∠BOC = 180° - 70° = 110°

∴ ∠BOC అనేది 110° కు సమానం.

ఇవ్వబడినది:

ΔABCలో

AB = 48 సెం.మీ., BC = 55 సెం.మీ. మరియు AC = 73 సెం.మీ. 

O అనేది త్రిభుజం యొక్క గురుత్వకేంద్రం

ఉపయోగించవలసిన కాన్సెప్ట్:

గురుత్వకేంద్రం మధ్యస్థాన్ని 2 : 1 నిష్పత్తిగా విభజిస్తుంది

లంబకోణ త్రిభుజంలో

కుడి-కోణ శీర్షం నుండి మధ్యస్థం యొక్క పొడవు = కర్ణం యొక్క పొడవు/2

గణన:

48, 55 మరియు 73 పైథాగరస్ త్రయం 

కాబట్టి, ΔABC అనేది లంబకోణ త్రిభుజం, మరియు ∠B = 90°

లంబకోణ త్రిభుజంలో 

కుడి-కోణ శీర్షం నుండి మధ్యస్థం యొక్క పొడవు = కర్ణం యొక్క పొడవు/2

కాబట్టి, BM = AC/2 = 73/2

OB : OM = 2 : 1

కాబట్టి, OB = (2/3) × (73/2) = 24.33

∴ OB పొడవు 24.33 సెం.మీ.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

పరిత్రిజ్యా = 14 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

, r = a/√3

మధ్యస్థ పొడవు = సమబాహు త్రిభుజం ఎత్తు = √3a/2

ఎక్కడ, a = సమబాహు త్రిభుజం యొక్క భుజం

సాధన:

⇒ r = a/√3

⇒ a = 14√3

ఇప్పుడు, మధ్యస్థ పొడవు = √3a/2

⇒ (√3 × 14√3)/2 = 21 సెం.మీ

∴ ఎంపిక 2 సరైన సమాధానం.

ఇచ్చినది:

O అనేది మధ్య బిందువు

∠BOC = 60 °

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

మధ్యలో ఉన్న కోణం వృత్తం వద్ద ఉన్న కోణానికి రెట్టింపు

లెక్కింపు:

∠BOC = 2 × ∠BAC

⇒ 60° = 2 × ∠BAC

⇒ ∠BAC = 30° 

∴ ∠BAC is 30°

ABC త్రిభుజం వైశాల్యం = 156 సెం.మీ²

AD, BE మరియు CF అనేది బిందువు G వద్ద కలుస్తున్న మధ్యస్థాలు

కాబట్టి, D, E మరియు F బిందువులను కలిపే త్రిభుజ వైశాల్యం ABC త్రిభుజంలో 1/4వ వంతు అవుతుంది

DEF త్రిభుజం వైశాల్యం = (1/4) × 156 = 39 సెం.మీ²

ఇప్పుడు, G కూడా త్రిభుజం యొక్క కేంద్రకం అవుతుంది.

FGE త్రిభుజం వైశాల్యం = DFG త్రిభుజం వైశాల్యం =  DGE  త్రిభుజం వైశాల్యం= (1/3) × DEF త్రిభుజం వైశాల్యం

∴ FGE త్రిభుజం వైశాల్యం = (1/3) × 39 = 13సెం.మీ2