Area under the curve MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Area under the curve - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

భావన:

• పరావలయం: పరావలయం అనేది అద్దం-సుష్టంగా మరియు దాదాపు U- ఆకారంలో ఉండే ఒక సమతల వక్రరేఖ.
• పరావలయం యొక్క సాధారణ సమీకరణం: y = a(x - h)2 + k or x = a(y - k)2 + h, ఇక్కడ (h, k) శీర్షాన్ని సూచిస్తుంది.
• సాధారణ పరావలయం యొక్క ప్రామాణిక సమీకరణం y2 = 4ax
• సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం. y = m x + c, ఇక్కడ m అనేది వాలు మరియు c అనేది అంతరాయం.

గణనలు:

ఇవ్వబడిన పరావలయం 4y = 3x² సరళ రేఖ 2y = 3x + 12 ద్వారా ఖండించబడుతుంది.

ఒక సమీకరణాన్ని మరొకదానిలో ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా పరావలయం మరియు సరళ రేఖ యొక్క ఖండన బిందువును కనుగొనండి

అంటే, 4y = 3x²లో 2y = 3x + 12, మనకు లభిస్తుంది

2(3x + 12)= 3x²

⇒  x2 - 2x - 8 = 0

⇒ x = 4 లేదా -2 అనేవి x2 - 2x - 8 = 0 అనే వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు

ఇప్పుడు ఈ విలువలను సరళ రేఖ 2y = 3x + 12 సమీకరణంలో ఉంచడం వల్ల మనకు y విలువ వస్తుంది

అనగా, 

దీనిలో x = 4 ఉంచండి, మనకు లభిస్తుంది

⇒ y = 12

ఇప్పుడు, x = - 2ని సరళ రేఖ 2y = 3x + 12 సమీకరణంలో ఉంచితే మనకు y విలువ వస్తుంది

⇒ y = 3

అందువల్ల పారాబొలా మరియు సరళ రేఖ యొక్క ఖండన బిందువులు (-2, 3) మరియు (4, 12)

చివరగా, పైన ఉన్న రేఖాచిత్రంలో షేడెడ్ ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని మనం కనుగొనాలి అంటే, ప్రాంతం యొక్క అవసరమైన వైశాల్యం OABO యొక్క వైశాల్యం.

మరియు ఈ ప్రాంతం సరళ రేఖ 2y = 3x + 12 మరియు పారాబొలా 4y = 3x² ద్వారా సరిహద్దులుగా ఉంటుంది.

సరళ రేఖ యొక్క y అక్షాంశాలు  = f(x) మరియు పరావలయం  = g(x)

కాబట్టి f(x) - g(x)ని ఏకీకృతం చేయడం ద్వారా మనం సరళ రేఖ మరియు వక్రరేఖ క్రింద ఉన్న ప్రాంతాన్ని పొందుతాము.

అందువలన, అవసరమైన ప్రాంతం

= 

= 

దీన్ని సరళీకృతం చేయడం మరియు పరిమితులను పెట్టడం ద్వారా మనకు లభిస్తుంది,

= 27 చ.యూనిట్లు

కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఎంపిక 4).

భావన:

పరావలయం:

• y² = 4ax అనే పరావలయం యొక్క నాభి (a, 0) వద్ద ఉంటుంది.
• y² = 4ax అనే పరావలయం యొక్క నాభిలంబము పరావలయాన్ని (a, 2a) మరియు (a, -2a) వద్ద ఖండించింది.

వక్రరేఖ క్రింద వైశాల్యం:

• x = a నుండి x = b వరకు y = f(x) ఫంక్షన్ మరియు x-అక్షం క్రింద వైశాల్యం ఖచ్చిత సమాకలని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఇచ్చిన పరిధిలో x-అక్షం యొక్క ఒకే వైపున ఉన్న వక్రరేఖలకు.
• వక్రరేఖలు x-అక్షం యొక్క రెండు వైపులా ఉంటే, మనం రెండు వైపులా వైశాల్యాలను వేరుగా లెక్కిస్తాము మరియు వాటిని కలుపుతాము.

గణన:

పరావలయం y² = 4ax గ్రాఫ్ x-అక్షానికి సమమితిగా ఉన్నందున, కావలసిన వైశాల్యం:

2 x

= 2 x 2√a

= 2 x 2√a

= = .

Additional Information:

నాభిలంబము అనేది నాభి గుండా వెళ్లి నియతరేఖ సమాంతరంగా ఉండే రేఖ.

భావన:

x = a & x = b మధ్య y = f(x) వక్రరేఖ క్రింద ఉన్న వ్యాసార్థం (A) ద్వారా ఇవ్వబడింది,

A =

లెక్కింపు:

ఇక్కడ, వక్రరేఖ x = f(y) మరియు రేఖలు y = a మరియు y = b

∴వ్యాసార్థం =

=

(∵ f(y) = x)

కాబట్టి, ఎంపిక (3) సరైనది.

భావన:

|x|

x-అక్షం యొక్క సమీకరణం దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది: y = 0

y = a ≠ 0 మరియు a > 0 అయితే, y = a అనేది x-అక్షానికి సమాంతరంగా మరియు x-అక్షం పైన ఉన్న రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది.

y = a ≠ 0 మరియు a

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: |x|

దిగువ చిత్రంలో చూపిన విధంగా కో-ఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో పై సమీకరణాలను మరియు సమీకరణంలో ప్లాట్ చేయడం ద్వారా:

షేడెడ్ భాగం అందించిన సమీకరణాలు మరియు సమీకరణాల ద్వారా సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతాన్ని సూచిస్తుంది.

సరిహద్దు ప్రాంతం పొడవు l = 10 యూనిట్లు మరియు వెడల్పు b = 8 యూనిట్లతో దీర్ఘచతురస్రం అని మనం చూడవచ్చు.

⇒ సరిహద్దు ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యం = l × b = 10 × 8 = 80 చ. యూనిట్లు

కాన్సెప్ట్:

ఇంటిగ్రేషన్ ద్వారా వక్రరేఖ కింద ఉన్న వైశాల్యం:

క్షితిజ సమాంతరంగా సంగ్రహించడం ద్వారా ఈ వక్రరేఖ కింద ఉన్న వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

ఈ సందర్భంలో, వైశాల్యం దీర్ఘచతురస్రాల మొత్తం, ఎత్తులు y = f(x) మరియు వెడల్పు dx అని మనం కనుగొంటాము.

మనం ఎడమ నుండి కుడికి సంకలనం చేయాలి.

∴ వైశాల్యం =

లెక్కింపు:

ఇక్కడ, y = x2, x-అక్షరేఖ మరియు నిరూపకాల (ఆర్డినేట్స్) x = -1 మరియు x = 2 వక్రరేఖలతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని మనం కనుగొనాలి.

కాబట్టి, ఇవ్వబడిన వక్రరేఖలతో చుట్టబడిన వైశాల్యం  ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

మనకు తెలిసినట్లుగా,

వైశాల్యం =

=

=

వైశాల్యం = 3 చ. యూనిట్లు .

భావన:

x = a & x = b మధ్య y = f(x) వక్రరేఖ క్రింద ఉన్న వ్యాసార్థం (A) ద్వారా ఇవ్వబడింది,

A =

లెక్కింపు:

ఇక్కడ, వక్రరేఖ x = f(y) మరియు రేఖలు y = a మరియు y = b

∴వ్యాసార్థం =

=

(∵ f(y) = x)

కాబట్టి, ఎంపిక (3) సరైనది.

భావన:

పరావలయం:

• y² = 4ax అనే పరావలయం యొక్క నాభి (a, 0) వద్ద ఉంటుంది.
• y² = 4ax అనే పరావలయం యొక్క నాభిలంబము పరావలయాన్ని (a, 2a) మరియు (a, -2a) వద్ద ఖండించింది.

వక్రరేఖ క్రింద వైశాల్యం:

• x = a నుండి x = b వరకు y = f(x) ఫంక్షన్ మరియు x-అక్షం క్రింద వైశాల్యం ఖచ్చిత సమాకలని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఇచ్చిన పరిధిలో x-అక్షం యొక్క ఒకే వైపున ఉన్న వక్రరేఖలకు.
• వక్రరేఖలు x-అక్షం యొక్క రెండు వైపులా ఉంటే, మనం రెండు వైపులా వైశాల్యాలను వేరుగా లెక్కిస్తాము మరియు వాటిని కలుపుతాము.

గణన:

పరావలయం y² = 4ax గ్రాఫ్ x-అక్షానికి సమమితిగా ఉన్నందున, కావలసిన వైశాల్యం:

2 x

= 2 x 2√a

= 2 x 2√a

= = .

Additional Information:

నాభిలంబము అనేది నాభి గుండా వెళ్లి నియతరేఖ సమాంతరంగా ఉండే రేఖ.

భావన:

|x|

x-అక్షం యొక్క సమీకరణం దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది: y = 0

y = a ≠ 0 మరియు a > 0 అయితే, y = a అనేది x-అక్షానికి సమాంతరంగా మరియు x-అక్షం పైన ఉన్న రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది.

y = a ≠ 0 మరియు a

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: |x|

దిగువ చిత్రంలో చూపిన విధంగా కో-ఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో పై సమీకరణాలను మరియు సమీకరణంలో ప్లాట్ చేయడం ద్వారా:

షేడెడ్ భాగం అందించిన సమీకరణాలు మరియు సమీకరణాల ద్వారా సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతాన్ని సూచిస్తుంది.

సరిహద్దు ప్రాంతం పొడవు l = 10 యూనిట్లు మరియు వెడల్పు b = 8 యూనిట్లతో దీర్ఘచతురస్రం అని మనం చూడవచ్చు.

⇒ సరిహద్దు ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యం = l × b = 10 × 8 = 80 చ. యూనిట్లు

భావన:

• పరావలయం: పరావలయం అనేది అద్దం-సుష్టంగా మరియు దాదాపు U- ఆకారంలో ఉండే ఒక సమతల వక్రరేఖ.
• పరావలయం యొక్క సాధారణ సమీకరణం: y = a(x - h)2 + k or x = a(y - k)2 + h, ఇక్కడ (h, k) శీర్షాన్ని సూచిస్తుంది.
• సాధారణ పరావలయం యొక్క ప్రామాణిక సమీకరణం y2 = 4ax
• సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం. y = m x + c, ఇక్కడ m అనేది వాలు మరియు c అనేది అంతరాయం.

గణనలు:

ఇవ్వబడిన పరావలయం 4y = 3x² సరళ రేఖ 2y = 3x + 12 ద్వారా ఖండించబడుతుంది.

ఒక సమీకరణాన్ని మరొకదానిలో ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా పరావలయం మరియు సరళ రేఖ యొక్క ఖండన బిందువును కనుగొనండి

అంటే, 4y = 3x²లో 2y = 3x + 12, మనకు లభిస్తుంది

2(3x + 12)= 3x²

⇒  x2 - 2x - 8 = 0

⇒ x = 4 లేదా -2 అనేవి x2 - 2x - 8 = 0 అనే వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు

ఇప్పుడు ఈ విలువలను సరళ రేఖ 2y = 3x + 12 సమీకరణంలో ఉంచడం వల్ల మనకు y విలువ వస్తుంది

అనగా, 

దీనిలో x = 4 ఉంచండి, మనకు లభిస్తుంది

⇒ y = 12

ఇప్పుడు, x = - 2ని సరళ రేఖ 2y = 3x + 12 సమీకరణంలో ఉంచితే మనకు y విలువ వస్తుంది

⇒ y = 3

అందువల్ల పారాబొలా మరియు సరళ రేఖ యొక్క ఖండన బిందువులు (-2, 3) మరియు (4, 12)

చివరగా, పైన ఉన్న రేఖాచిత్రంలో షేడెడ్ ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని మనం కనుగొనాలి అంటే, ప్రాంతం యొక్క అవసరమైన వైశాల్యం OABO యొక్క వైశాల్యం.

మరియు ఈ ప్రాంతం సరళ రేఖ 2y = 3x + 12 మరియు పారాబొలా 4y = 3x² ద్వారా సరిహద్దులుగా ఉంటుంది.

సరళ రేఖ యొక్క y అక్షాంశాలు  = f(x) మరియు పరావలయం  = g(x)

కాబట్టి f(x) - g(x)ని ఏకీకృతం చేయడం ద్వారా మనం సరళ రేఖ మరియు వక్రరేఖ క్రింద ఉన్న ప్రాంతాన్ని పొందుతాము.

అందువలన, అవసరమైన ప్రాంతం

= 

= 

దీన్ని సరళీకృతం చేయడం మరియు పరిమితులను పెట్టడం ద్వారా మనకు లభిస్తుంది,

= 27 చ.యూనిట్లు

కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఎంపిక 4).

భావన:

Y-అక్షం వెంట పరవలయ సమీకరణం: (x – h)2 = ±4a (y - k), 

ఇక్కడ, పాయింట్ (h, k) అనేది పరవలయము యొక్క శీర్షం, 4a = లాటస్ రెక్టమ్ యొక్క పొడవు మరియు ఫోకస్ (0, ±a)

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన పరవలయము: x ² = 20y

x² = 4ay ⇒ a = 5 మరియు శీర్షం = (0, 0)

∴ ఫోకస్= (0, 5)

x2 = 20(5) = 100                

⇒ x = ± 10

AB = 10 + 10 = 20

OM = 5

∴ త్రిభుజం OAB = ½ × భూమి × ఎత్తు

= 1/2 × (20) × (5)

= 50 చదరపు యూనిట్లు

కాబట్టి, ఎంపిక (4) సరైనది.

కాన్సెప్ట్:

ఇంటిగ్రేషన్ ద్వారా వక్రరేఖ కింద ఉన్న వైశాల్యం:

క్షితిజ సమాంతరంగా సంగ్రహించడం ద్వారా ఈ వక్రరేఖ కింద ఉన్న వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

ఈ సందర్భంలో, వైశాల్యం దీర్ఘచతురస్రాల మొత్తం, ఎత్తులు y = f(x) మరియు వెడల్పు dx అని మనం కనుగొంటాము.

మనం ఎడమ నుండి కుడికి సంకలనం చేయాలి.

∴ వైశాల్యం =

లెక్కింపు:

ఇక్కడ, y = x2, x-అక్షరేఖ మరియు నిరూపకాల (ఆర్డినేట్స్) x = -1 మరియు x = 2 వక్రరేఖలతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని మనం కనుగొనాలి.

కాబట్టి, ఇవ్వబడిన వక్రరేఖలతో చుట్టబడిన వైశాల్యం  ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

మనకు తెలిసినట్లుగా,

వైశాల్యం =

=

=

వైశాల్యం = 3 చ. యూనిట్లు .

భావన:

x = a & x = b మధ్య y = f(x) వక్రరేఖ క్రింద ఉన్న వ్యాసార్థం (A) ద్వారా ఇవ్వబడింది,

A =

లెక్కింపు:

ఇక్కడ, వక్రరేఖ x = f(y) మరియు రేఖలు y = a మరియు y = b

∴వ్యాసార్థం =

=

(∵ f(y) = x)

కాబట్టి, ఎంపిక (3) సరైనది.

భావన:

పరావలయం:

• y² = 4ax అనే పరావలయం యొక్క నాభి (a, 0) వద్ద ఉంటుంది.
• y² = 4ax అనే పరావలయం యొక్క నాభిలంబము పరావలయాన్ని (a, 2a) మరియు (a, -2a) వద్ద ఖండించింది.

వక్రరేఖ క్రింద వైశాల్యం:

• x = a నుండి x = b వరకు y = f(x) ఫంక్షన్ మరియు x-అక్షం క్రింద వైశాల్యం ఖచ్చిత సమాకలని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఇచ్చిన పరిధిలో x-అక్షం యొక్క ఒకే వైపున ఉన్న వక్రరేఖలకు.
• వక్రరేఖలు x-అక్షం యొక్క రెండు వైపులా ఉంటే, మనం రెండు వైపులా వైశాల్యాలను వేరుగా లెక్కిస్తాము మరియు వాటిని కలుపుతాము.

గణన:

పరావలయం y² = 4ax గ్రాఫ్ x-అక్షానికి సమమితిగా ఉన్నందున, కావలసిన వైశాల్యం:

2 x

= 2 x 2√a

= 2 x 2√a

= = .

Additional Information:

నాభిలంబము అనేది నాభి గుండా వెళ్లి నియతరేఖ సమాంతరంగా ఉండే రేఖ.

భావన:

|x|

x-అక్షం యొక్క సమీకరణం దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది: y = 0

y = a ≠ 0 మరియు a > 0 అయితే, y = a అనేది x-అక్షానికి సమాంతరంగా మరియు x-అక్షం పైన ఉన్న రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది.

y = a ≠ 0 మరియు a

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: |x|

దిగువ చిత్రంలో చూపిన విధంగా కో-ఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో పై సమీకరణాలను మరియు సమీకరణంలో ప్లాట్ చేయడం ద్వారా:

షేడెడ్ భాగం అందించిన సమీకరణాలు మరియు సమీకరణాల ద్వారా సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతాన్ని సూచిస్తుంది.

సరిహద్దు ప్రాంతం పొడవు l = 10 యూనిట్లు మరియు వెడల్పు b = 8 యూనిట్లతో దీర్ఘచతురస్రం అని మనం చూడవచ్చు.

⇒ సరిహద్దు ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యం = l × b = 10 × 8 = 80 చ. యూనిట్లు