Permutations and Combinations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Permutations and Combinations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 19, 2025
Latest Permutations and Combinations MCQ Objective Questions
Permutations and Combinations Question 1:
Comprehension:
निर्देश: 'ARRANGE' शब्द के अक्षरों को व्यवस्थित करके विभिन्न शब्द बनाए जा रहे हैं।
स्वरों और व्यंजनों के सापेक्ष क्रम को बदले बिना बनाए जा सकने वाले शब्दों की संख्या है
Answer (Detailed Solution Below)
Permutations and Combinations Question 1 Detailed Solution
गणना:
शब्द "ARRANGE" में, हमारे पास है:
3 स्वर: A, A, E
4 व्यंजन: R, R, N, G
हमें स्वरों और व्यंजनों के सापेक्ष क्रम को संरक्षित करने की आवश्यकता है। स्वर केवल स्वर की स्थिति पर ही आ सकते हैं और व्यंजन केवल व्यंजन की स्थिति पर ही आ सकते हैं।
चरण 1: व्यंजनों की व्यवस्था।
हमारे पास 4 व्यंजन (R, R, N, G) हैं। इन्हें व्यवस्थित किया जा सकता है:
चरण 2: स्वरों की व्यवस्था।
हमारे पास 3 स्वर (A, A, E) हैं। इन्हें व्यवस्थित किया जा सकता है:
चरण 3: व्यवस्थाओं की कुल संख्या।
व्यवस्थाओं की कुल संख्या दो व्यवस्थाओं का गुणनफल है:
इसलिए, ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या जिसमें स्वरों और व्यंजनों का सापेक्ष क्रम अपरिवर्तित रहता है, 36 है।
Permutations and Combinations Question 2:
Comprehension:
निर्देश: 'ARRANGE' शब्द के अक्षरों को व्यवस्थित करके विभिन्न शब्द बनाए जा रहे हैं।
ऐसे कितने क्रमचय हैं जिनमें दो A और दो R एक साथ नहीं हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Permutations and Combinations Question 2 Detailed Solution
गणना:
शब्द "ARRANGE" में अक्षरों की कुल संख्या = 7
शब्द "ARRANGE" में निम्नलिखित दोहराए गए अक्षर हैं:
- 2 A
- 2 R
चरण 1: "ARRANGE" में अक्षरों के कुल क्रमचय।
कुल क्रमचय बहुसमुच्चय तत्वों के क्रमचय के सूत्र द्वारा दिया गया है:
मान प्रतिस्थापित करें:
चरण 2: ऐसे क्रमचय जहाँ दो A एक साथ हैं।
यदि दो A एक साथ हैं, तो हम उन्हें एक "ब्लॉक" के रूप में मानते हैं, जिससे समस्या 6 इकाइयों को व्यवस्थित करने तक कम हो जाती है: (AA), R, R, N, G, E। कुल क्रमचयों की संख्या है:
चरण 3: ऐसे क्रमचय जहाँ दो R एक साथ हैं।
यदि दो R एक साथ हैं, तो हम उन्हें एक "ब्लॉक" के रूप में मानते हैं, जिससे समस्या 6 इकाइयों को व्यवस्थित करने तक कम हो जाती है: (RR), A, A, N, G, E। कुल क्रमचयों की संख्या है:
चरण 4: ऐसे क्रमचय जहाँ दो A और दो R दोनों एक साथ हैं।
यदि दो A और दो R दोनों को "ब्लॉक" के रूप में माना जाता है, तो हमें 5 इकाइयों को व्यवस्थित करने की आवश्यकता है: (AA), (RR), N, G, E। कुल क्रमचयों की संख्या है:
चरण 5: ऐसे क्रमचय जहाँ न तो दो A और न ही दो R एक साथ हैं।
ऐसे क्रमचयों की संख्या जहाँ न तो दो A और न ही दो R एक साथ हैं:
इसलिए, ऐसे क्रमचयों की संख्या जहाँ न तो दो A और न ही दो R एक साथ हैं, 660 है।
Permutations and Combinations Question 3:
6 भिन्न वस्तुओं में से अधिक-से-अधिक 3 वस्तुओं के चयनों की संख्या क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Permutations and Combinations Question 3 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है:
कुल वस्तुओं की संख्या, n = 6
हमें r = 0, 1, 2, और 3 के लिए चयन की कुल संख्या की गणना करने की आवश्यकता है:
r = 0 के लिए
⇒ 0 वस्तुओं का चयन करने के तरीकों की संख्या = 1
r = 1 के लिए
⇒ 1 वस्तु का चयन करने के तरीकों की संख्या = 6
r = 2 के लिए
⇒ 2 वस्तुओं का चयन करने के तरीकों की संख्या = 15
r = 3 के लिए
⇒ 3 वस्तुओं का चयन करने के तरीकों की संख्या = 20
चयनों की कुल संख्या:
∴ 6 भिन्न चीजों में से अधिकतम 3 चीजों के चयन की कुल संख्या 42 है।
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।Permutations and Combinations Question 4:
यदि 5n भिन्न वस्तुओं में से r वस्तुओं के चयनों की संख्या, (n+r) वस्तुओं के चयनों की संख्या के बराबर है, तो r का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Permutations and Combinations Question 4 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है,
5n वस्तुओं में से r वस्तुओं के चयन की संख्या, 5n वस्तुओं में से n+r वस्तुओं के चयन की संख्या के बराबर है।
यह निम्न समीकरण देता है:
द्विपद गुणांकों के सममित गुण का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि:
इस प्रकार, दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
समीकरण को सरल करने पर:
इसलिए, r का मान 2n है।
अतः सही उत्तर विकल्प 2 है।
Permutations and Combinations Question 5:
x+y+z=5
के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या कितनी है?
Answer (Detailed Solution Below)
Permutations and Combinations Question 5 Detailed Solution
संप्रत्यय:
समीकरण x + y + z = n के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या संयोजन सूत्र द्वारा दी जाती है:
हलों की संख्या = C(n - 1, k - 1), जहाँ k चरों की संख्या है।
प्रयुक्त सूत्र:
C(n, r) = n! / [r! × (n - r)!]
गणना:
यहाँ, n = 5 और k = 3 है।
हलों की संख्या है:
⇒ C(5 - 1, 3 - 1) = C(4, 2)
⇒ C(4, 2) = 4! / [2! × (4 - 2)!]
⇒ C(4, 2) = 24 / [2 × 2]
⇒ C(4, 2) = 6
सही उत्तर विकल्प 3 है।
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5 समरूप गेंदों से 2 गेंदों के चयन के तरीकों की संख्या क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Permutations and Combinations Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
एक समरूप वस्तु से चयन के तरीकों की संख्या 1 है।
गणना:
इससे कोई फर्क नहीं पड़ता है कि आप कौन-से दो गेंदों का चयन करते हैं, आपको हर बार समान चयन प्राप्त होगा। क्योंकि गेंद समरूप हैं।
अतः दो गेंदों के चयन के तरीकों की संख्या एक होगी।
5, 6, 7, 8, 9 अंकों से 3 अंक की कितनी विषम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंक दोहराया जा सकता है
Answer (Detailed Solution Below)
Permutations and Combinations Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया हुआ है:
3 अंक संख्या बनाने के लिए अंक हैं 5, 6, 7, 8, 9
गणना:
आइए हम क्रमशः 3 अंक की संख्या को सै द इ (सैकड़ा, दहाई, इकाई अंक) के रूप में लिखते हैं
3 अंकों की संख्या को विषम बनाने के लिए
5, 7, 9 अंक केवल संभवतः इकाई स्थान में उपयोग किए जाते हैं
सैकड़ा और दहाई स्थान पर सभी 5 अंक संभव हैं
इकाई अंक के लिए तरीकों की संख्या = 3
दहाई अंक के लिए तरीकों की संख्या = 5
सैकड़ा अंक के लिए तरीकों की संख्या = 5
3 अंको की विषम संख्या = 3 × 5 × 5 = 75
∴ 5, 6, 7, 8, 9 अंकों से 3 अंक की 75 विषम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंक दोहराया जा सकता है
6 समरूप पुस्तकों में से 4 पुस्तकों के चयन के तरीकों की संख्या _____ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Permutations and Combinations Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
समरूप वस्तु (समान प्रकार) से चयन के तरीकों की संख्या 1 है।
गणना:
इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप किन चार पुस्तकों का चयन करते हैं, आप हर बार एक ही चयन के साथ समाप्त करेंगे। क्योंकि किताबें समान हैं।
इसलिए चार पुस्तकों के चयन के तरीकों की संख्या एक होगी।
Answer (Detailed Solution Below)
Permutations and Combinations Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
- nCr = nCn-r
- यदि nCx = nCy तो x = y या x + y = n।
- nCr + nCr-1 = n+1Cr।
गणना:
⇒ 15C8 + 15C7 = nCr
nCr + nCr-1 = n+1Cr का उपयोग करके:
⇒ 15C8 + 15C8-1 = 15+1C8 = nCr
⇒ 16C8 = nCr
⇒ n = 16 और r = 8
उन तरीकों की संख्या क्या है जिसमें 5 महिलाओं और 3 पुरुषों को एक गोल मेज पर बैठना है जिससे कोई भी दो पुरुषों एकसाथ नहीं बैठती है?
Answer (Detailed Solution Below)
Permutations and Combinations Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
क्रमचय: क्रमचय को r चीजों की व्यवस्था के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे कुल n चीजों में से किया जा सकता है। इसे nPr द्वारा दर्शाया गया है:
n अलग-अलग वस्तुओं की व्यवस्था एक वृत्त के चारों ओर है, तो व्यवस्थाओं की संख्या (n – 1)! है।
गणना:
सर्वप्रथम, गोल मेज पर 5 महिलाओं को (5-1)! तरीकों = 4! तरीकों में व्यवस्थित कीजिए।
अब, महिलाओं के बीच 5 स्थान उत्पन्न होता है।
जहाँ w1 महिलाओं की स्थिति और X स्थान को दर्शाता है।
तो महिलाओं के बीच उत्पन्न 5 स्थान पर 3 पुरुष बैठे हैं जो 5P3 तरीकों में बैठ सकते हैं।
अतः तरीकों की कुल संख्या = 4! × 5P3 = 24 × 60 = 1440 तरीके हैं।
नरेश के 10 मित्र हैं, और वह उनमें से 6 को एक पार्टी में आमंत्रित करना चाहता है। 3 विशिष्ट मित्र पार्टी में कितनी बार कभी भी शामिल नहीं होंगे?
Answer (Detailed Solution Below)
Permutations and Combinations Question 11 Detailed Solution
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गणना:
दिया है कि, नरेश के 10 मित्र हैं, और वह उनमें से 6 को एक पार्टी में आमंत्रित करना चाहता है।
3 विशिष्ट मित्रों को निकालें और शेष = 10 - 3 = 7 मित्रों से 6 मित्रों को आमंत्रित करें।
इसे 7C6 तरीकों से किया जा सकता है
इसलिए, आवश्यक तरीकों की संख्या = 7C6
⇒ आवश्यक तरीकों की संख्या =
⇒ तरीकों की आवश्यक संख्या = 7
इसलिए, नरेश के 10 मित्र हैं, और वह उनमें से 6 को एक पार्टी में आमंत्रित करना चाहता है। कुल तरीकों की संख्या जिनसे 3 विशिष्ट मित्र कभी पार्टी में नहीं आते हैं = 7
कितनी चार-अंकीय संख्याएँ हैं जिनके सभी अंक अलग-अलग हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Permutations and Combinations Question 12 Detailed Solution
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गणना का मूलभूत सिद्धांत:
यदि घटना A के होने के लिए m तरीके हैं और प्रत्येक संभावना के अनुरूप घटना B के होने के लिए n तरीके हैं, तो A और B घटनाओं के होने के लिए अलग-अलग संभावनाओं की कुल संख्या हैं:
- या तो केवल घटना A या केवल घटना B = m + n
- दोनों घटना A और घटना B एक साथ = m × n।
गणना:
'हजार' के स्थान को {1 से 9} से किसी भी 9 संख्याओं में से भरा जा सकता है। → 9 तरीके।
चूंकि, अंकों को अलग-अलग होना होता है, इसलिए 'सौ' के स्थान को 9 तरीकों से भरा जा सकता है (0 सहित)। → 9 तरीके।
;दस' के स्थान के लिए। → 8 तरीके।
'इकाइयों' के स्थान के लिए। → 7 तरीके।
चार अंकों को लिखने के संभावित तरीकों की कुल संख्या = 9 × 9 × 8 × 7 = 4536 ।
ऐसी कितनी चार अंक वाली धनपूर्ण संख्याएं हैं, जिनके सभी अंक विषम हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Permutations and Combinations Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFगणना:
विषम अंक - 1, 3, 5, 7, 9
एक चार अंकों की संख्या जिसमें सभी अंक विषम हैं, पहले स्थान पर 5 विकल्प हैं, और चूंकि अंकों को दोहराया जा सकता है, दूसरे, तीसरे और चौथे स्थान के लिए भी 5 विकल्प हैं।
तो, चार अंकों वाली प्राकृत संख्याओं की संख्या इस प्रकार है कि सभी अंक विषम हैं = 5 × 5 × 5 × 5 = 625
कम से कम एक स्वर वाले 'EGOIST' के अक्षरों में से कितने 4 -अक्षरों वाले शब्दों का निर्माण किया जा सकता है?(पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है)
Answer (Detailed Solution Below)
Permutations and Combinations Question 14 Detailed Solution
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- n अलग-अलग वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीके = n!
- r समान वस्तुओं और शेष सभी अलग-अलग वस्तुओं वाले n वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीके =
- n व्यवस्थित और m व्यवस्थित वस्तुओं को एकसाथ व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = n! × m!
- n (n > r) के एक समूह से r वस्तुओं का चयन करने के तरीकों की संख्या = nCr
गणना:
3 स्वर O, I, E हैं।
तरीकों की आवश्यक संख्या N = 1 स्वर और 3 व्यंजक + 2 स्वर और 2 व्यंजक + 3 स्वर और 1 व्यंजक
⇒ N = [
⇒ N = (3 + 9 + 3) × 4!
⇒ N = 15 × 4! शब्द
तीन पुरुषों के 6 कोट, 5 बेल्ट और 4 कैप हैं। उनके पहनने के तरीकों की संख्या क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Permutations and Combinations Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
क्रमसंचय: क्रमसंचय को कुल n चीजों से r चीजों की व्यवस्था के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसे
संयोजन: दिए गए n वस्तुओं से r वस्तुओं के चयन की संख्या को
नोट: यदि कोई समस्या वस्तुओं के चयन के तरीकों की संख्या से संबंधित है तो संयोजनों का उपयोग करें।
गणना का मौलिक सिद्धांत:
गुणन का मौलिक सिद्धांत:
मान लीजिए दो कार्य A और B इस प्रकार हैं जिससे कार्य A को m अलग - अलग तरीकों में किया जा सकता है जिसके बाद दूसरे कार्य B को n अलग-अलग तरीकों में किया जा सकता है। तो अनुक्रम में कार्य A और B को पूरा करने के तरीकों की संख्या क्रमशः निम्न दी गयी है: m × n तरीके।
जोड़ का मौलिक सिद्धांत:
मान लीजिए दो कार्य A और B इस प्रकार हैं जिससे कार्य A को m अलग-अलग तरीकों में किया जा सकता है और कार्य B को n तरीकों में पूरा किया जा सकता है। तो किसी भी दो कार्यों को पूरा करने के तरीकों की संख्या निम्न दी गयी है: (m + n) तरीके।
किसी शब्द समस्या में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले संकेत शब्द नीचे दी गई तालिका में दिखाए गए हैं:
|
शब्द आधारित समस्याओं में देखने के लिए पद |
गणितीय अर्थ |
|
या तो A या B |
केवल एक की आवश्यकता है |
|
A और B दोनों |
दोनों की आवश्यकता है |
|
न तो A और न ही B |
दोनों में से किसी की भी आवश्यकता नहीं है |
गणना :
दिया गया: 6 कोट, 5 बेल्ट और 4 कैप
पहला आदमी 6 कोट में से कोई भी कोट पहन सकता है।
दूसरा आदमी शेष 5 कोटों में से कोई भी कोट पहन सकता है।
तीसरा आदमी शेष 4 कोटों में से कोई भी कोट पहन सकता है।
इसलिए उन तरीकों की संख्या जिसमें 3 पुरुष 6 कोट पहन सकते हैं = 6 × 5 × 4 = 120
इसी तरह,
उन तरीकों की संख्या जिनमें 3 पुरुष 5 बेल्ट पहन सकते हैं = 5 × 4 × 3 = 60
इसी तरह,
उन तरीकों की संख्या जिनमें 3 पुरुष 4 कैप पहन सकते हैं = 4 × 3 × 2 = 24
इसलिए, आवश्यक तरीकों की संख्या = 120 × 60 × 24 = 172800