Partial Differential Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Partial Differential Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

Pp + qq = R के रूप में PDE के लिए लैग्रेंज सहायक समीकरण है

व्याख्या:

दिया गया PDE है

z(px - qy) = y2 - x2

⇒ xzp - yzq = y2 - x2

समाकलन करने पर हमें मिलता है

इसके अलावा,

⇒

⇒ (x + y) d(x + y) + zdz = 0

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें मिलता है

....(iii)

(i) और (iii) लेने पर हमें हल मिलता है

x2 + y2 + z2 =

(3) सही है।

(ii) और (ii) लेने पर हमें हल मिलता है

(4) सही है।

संप्रत्यय:

f(x, y, z, p, q) = 0 के रूप का अरैखिक PDE चारपिट समीकरण को संतुष्ट करता है

व्याख्या:

यहाँ f(x, y, z, p, q) = (p2 + q2)y - qz

चारपिट सूत्र का उपयोग करते हुए

⇒

लेते हुए

⇒ pdp + qdq = 0

समाकलन करने पर

p² + q² = a²....(i)

दिए गए समीकरण में रखने पर

a²y = qz

⇒ q =

(i) में रखने पर

p = =

p और q को रखने पर

dz = pdx + qdy

⇒ dz = dx + dy

⇒ = a dx

समाकलन करने पर

= ax + b

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर

z² = a²y² + (ax+b)²

(1) और (2) दोनों सही हैं।

इसलिए विकल्प (3) सही है।

संप्रत्यय:

आंशिक अवकल समीकरण (PDE) का क्लेरॉट रूप z = px + qy + f(p, q) के रूप का होता है और इसका हल z = ax + by + f(a, b) द्वारा दिया जाता है।

व्याख्या:

z - px - qy = c

⇒ z = px + qy + c जो क्लेरॉट रूप में है।

इसलिए, व्यापक हल है

अतः (2) सत्य है।

व्याख्या:

लग्रांज के रैखिक आंशिक अवकल समीकरण Pp + Qq = R का ज्यामितीय अर्थ है कि किसी भी पृष्ठ f(x, y, z) = 0 के बिंदु (x, y, z) पर अभिलंब, उस रेखा के लंबवत होता है जिसके दिक् अनुपात P, Q, R हैं।

अतः (1) सत्य है।

संप्रत्यय:

+ f(x, y, u, , ) = 0 के रूप का एक द्वितीय क्रम आंशिक अवकल समीकरण

(i) अतिपरवलयाकार है यदि S2 - 4RT > 0

(ii) परवलयाकार है यदि S2 - 4RT = 0

(iii) दीर्घवृत्ताकार है यदि S2 - 4RT

व्याख्या:

दिया गया आंशिक अवकल समीकरण है

-

यहाँ S2 - 4RT = (xy)2 - 4x2(-2y2) = x2y2 + 8x2y2 = 9x2y2 = 9(xy)2

यदि y = 0 तो S2 - 4RT = 0, तब आंशिक अवकल समीकरण परवलयाकार है।

(1) गलत है

यदि x > 0, y > 0, S2 - 4RT > 0

आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलयाकार है

(2) गलत है

यदि x 0 तब S2 - 4RT > 0

आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलयाकार है

(3) सही है

यदि x = 0, y > 0 तब S2 - 4RT = 0

इसलिए, आंशिक अवकल समीकरण परवलयाकार हो सकता है

(4) गलत है

संकल्पना:

utt − c²uxx = 0 का हल प्रारंभिक स्थिति, u(0, t) = u(L, t) = 0 सभी t के लिए और सीमा स्थिति y(x, 0) = f(x), y_t(x, 0) = g(x) 0

u = [f(x + ct) + f(x - ct)] + (D'alembert हल)

व्याख्या:

दिया गया है

utt − uxx = 0, 0 0

u(0, t) = 0 = u(2, t), ∀ t > 0,

u(x, 0) = sin(πx) + 2sin(2πx), 0 ≤ x ≤ 2,

ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 2

यहाँ f(x) = sin(πx) + 2sin(2πx) और g(x) = 0, c = 1

इसलिए u(x, t) = [f(x + t) + f(x - t)] +

= [sin(π(x+t)) + sin(π(x-t))] + sin(2π(x+t)) + sin(2π(x-t))

इसलिए u(1, 1) = (sin 2π + sin 0)+ sin4π + sin 0 = 0

विकल्प (1) गलत है

u(1/2, 1) = [sin (3π/2) - sin(π/2)] + sin(3π) - sin π = - 1

विकल्प (2) गलत है

u(1/2, 2) = [sin (5π/2) - sin(3π/2)] + sin(5π) - sin 3π = 1

विकल्प (3) सही है

इसके अलावा

ut(x, t) = [cos(π(x+t)) - cos(π(x-t))] + 2π cos(2π(x+t)) + 2π cos(2π(x-t))

इसलिए ut(1/2, 1/2) = [cos π - cos0] + 2π cos 2π + 2π cos0 = - π + 2π + 2π = 3π

विकल्प (4) गलत है

व्याख्या:

दिया गया है z² = kxy, k ∈ ℝ ← निकाय पृष्ठ

⇒ ........(i)

अब, हम इसे लग्रांज समीकरण का उपयोग करके हल करेंगे -

(स्मरण करें: Pp + Qq = R)

इसलिए, (p = zx, q = zy)

⇒

⇒

⇒

⇒ (zy)p + (xz)q = -2xy (LCM लेने पर) (ii)

(zy)p → P

(xz)q → Q

-2xy → R

इसलिए, लग्रांज समीकरण से -

अब,

⇒ x dx = y dy

समाकलन करने पर

⇒ x² - y² = c₁

⇒ 2x dx = -z dz

समाकलन करने पर

⇒ 2x² + z² = c₂

इसलिए, सामान्य हल होगा ϕ (c₁, c₂) = 0

⇒ ϕ (x² - y², 2x² + z²) = 0 ⇒ विकल्प (3) सही है।

हल का अन्य संभावित रूप और जब c₁ और c₂ की गणना की जाती है।

ϕ(c1, c2), c₁ = ϕ(c2), c₂ = ϕ(c2), ...

अवधारणा:

मान लीजिए Pp + Qq = R एक आंशिक अवकल समीकरण है जहाँ P, Q, R, x, y, z के फलन हैं, तो लैग्रेंज की विधि से

= =

व्याख्या:

दिया गया है

uux + uy = 0, x ∈ ℝ, y > 0,

u(x, 0) = x, x ∈ ℝ

लैग्रेंज की विधि का उपयोग करके

= =

⇒ = =

इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है

u = c₁...(i)

और u = c1 रखने पर हमें पहले दो पदों से प्राप्त होता है

=

dx = c₁dy
⇒ x - c₁y = c₂

⇒ x - uy = c₂...(ii)

(i) और (ii) से हमें सामान्य हल प्राप्त होता है

u = ϕ(x - uy)

u(x, 0) = x का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

x = ϕ(x) इसलिए ϕ(x - uy) = x - uy

इसलिए हल निम्न है

u = x - uy ⇒ u(1 + y) = x ⇒ u =

इसलिए u(2, 3) =

विकल्प (3) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है

0\) प्रारंभिक प्रतिबंध के साथ

जो अनंत प्रांत के लिए एक ऊष्मा समीकरण है।

इसलिए हल है:

u(x, t) =

यहाँ f(x) = sin 4x + x + 1 और c = 1 तब

u(x, t) = ....(i)

(1): =

मान लीजिए,  इसलिए

=

= ......(ii)

और =

मान लीजिए  इसलिए

=

= .....(iii)

(ii) और (iii) को जोड़ने पर हमें मिलता है

=

=

= (मान लीजिए कि u = 2p तब du = 2dp)

=

= 2

(1) सही है।

(ii) और (iii) से हम देख सकते हैं कि (2), (3), (4) गलत हैं।

व्याख्या:

दिया गया है: अर्थात xp + yq = 0

Pp + Qq = R से तुलना करने पर, हमारे पास है-

P = x, Q = y और R = 0

इसलिए, लग्रांज सहायक समीकरण द्वारा

अब dz = 0

⇒ z = c₁

पहले और दूसरे पद का उपयोग करके

समाकलन करने पर,

log |x| = log |y| + log c₂

इसलिए, सामान्य हल है -

c₁ ϕ(c₂) या c₂ = ϕ(c₁) या ϕ(c₁ c₂) = 0

⇒ z = ϕ

⇒ विकल्प (1) सही है

संकल्पना:

utt − c²uxx = 0 का हल प्रारंभिक स्थिति, u(0, t) = u(L, t) = 0 सभी t के लिए और सीमा स्थिति y(x, 0) = f(x), y_t(x, 0) = g(x) 0

u = [f(x + ct) + f(x - ct)] + (D'alembert हल)

व्याख्या:

दिया गया है

utt − uxx = 0, 0 0

u(0, t) = 0 = u(2, t), ∀ t > 0,

u(x, 0) = sin(πx) + 2sin(2πx), 0 ≤ x ≤ 2,

ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 2

यहाँ f(x) = sin(πx) + 2sin(2πx) और g(x) = 0, c = 1

इसलिए u(x, t) = [f(x + t) + f(x - t)] +

= [sin(π(x+t)) + sin(π(x-t))] + sin(2π(x+t)) + sin(2π(x-t))

इसलिए u(1, 1) = (sin 2π + sin 0)+ sin4π + sin 0 = 0

विकल्प (1) गलत है

u(1/2, 1) = [sin (3π/2) - sin(π/2)] + sin(3π) - sin π = - 1

विकल्प (2) गलत है

u(1/2, 2) = [sin (5π/2) - sin(3π/2)] + sin(5π) - sin 3π = 1

विकल्प (3) सही है

इसके अलावा

ut(x, t) = [cos(π(x+t)) - cos(π(x-t))] + 2π cos(2π(x+t)) + 2π cos(2π(x-t))

इसलिए ut(1/2, 1/2) = [cos π - cos0] + 2π cos 2π + 2π cos0 = - π + 2π + 2π = 3π

विकल्प (4) गलत है

संप्रत्यय:

यदि u(x, t) एक समघात आंशिक अवकल समीकरण का हल है, तो u(x- a, t-b) भी a, b ∈ के लिए आंशिक अवकल समीकरण का हल है और u(ax, bt) भी एक हल है जब a = b एक वास्तविक संख्या है।

व्याख्या:

(∗) x, t) ∈ ℝ2

u(x, t), (∗) का हल है।

तब u(x - θ, t) किसी भी स्थिर θ ∈ ℝ के लिए (i) का हल भी है।

u(3x, 3t) भी (∗) का हल है।

u(3x, 9t), (∗) का हल नहीं है क्योंकि 3 ≠ 9 है। 

(3) असत्य है। 

संप्रत्यय:

• प्रथम कोटि का एक रैखिक आंशिक अवकल समीकरण, जिसे आमतौर पर लैग्रेंज का रैखिक समीकरण कहा जाता है, निम्न रूप का होता है: Pp + Qq = R, जहाँ और
• इसका हल सहायक समीकरण को हल करके दिया जाता है।

गणना:

हमारे पास है,

इसे के रूप में दर्शाया जा सकता है।

⇒

∴ P = - x, Q = 1, R = 1 - u

∴

⇒

मान लीजिये,

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

⇒ -ln x = y + lnC₁

⇒ lnx + lnC₁ = - y

⇒ ln(xC₁) = - y

⇒ xC₁ = e^-y

⇒ C₁ =

अब, मान लीजिये

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

⇒ y = ln (1 - u) + ln C₂

⇒ y = ln C₂(1 - u)

⇒ e^y = C₂(1 - u)

⇒ C₂ =

∴ हल C₂ = f(C₁) द्वारा दिया गया है।

⇒

⇒

⇒

प्रश्न के अनुसार, u(x, 0) = sin x

∴

⇒

⇒

⇒

∴

∴ हल दिया गया है,

⇒

∴u(0,1) = =

∴ u(0, 1) का मान है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।