Forms of Fourier Series MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Forms of Fourier Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

धारणा:

मौलिक अवधि To के साथ एक आवधिक सिग्नल x(t) की जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया जाता है,

जहाँ

अब k का मान रखकर और ऊपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करके हम प्राप्त करते हैं-

गणना:

     ---- (1)

हम जानते हैं कि, 

फूरियर श्रृंखला विस्तार के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करके

हमें मिला 

अंतराल α

जहाँ

एक सम फलन कोई भी फलन f है जिसके लिए f(-x) = f(x)

उदाहरण: cos x, sec x, x2, x4, x6 …….., x-2, x-4 ……..

एक विषम फलन कोई भी फलन f है जिसके लिए f(-x) = -f(x)

उदाहरण: sin x, tan x, cosec x, cot x, n, x3 ……., x-1, x-3 ……..

जब f, 2L आवर्त का एक सम आवर्त फलन है, तो इसकी फूरियर श्रेणी में केवल कोसाइन (संभवतः, अचर पद सहित) पद होते हैं।

जब f, 2L आवर्त का एक विषम आवर्त फलन है, तो इसकी फूरियर श्रेणी में केवल साइन पद होते हैं।

अवधारणा :

किसी दिए गए फूरियर श्रृंखला गुणांक c_n के लिए संकेत निम्न द्वारा दिया जाता है:

उपरोक्त का विस्तार करते हुए, हम लिख सकते हैं:

ω₀ = मौलिक आवृत्ति

ω0 = 2 के लिए उपरोक्त विस्तार को इस प्रकार लिखा जा सकता है

     ---(1)

अनुप्रयोग:

sin²t की मौलिक अवधि होगी:

और मौलिक आवृत्ति ω0 = 2

sin ² t को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

      ---(2)

समीकरण (2) की तुलना समीकरण (1) के मानक व्यंजक से करते हुए हम लिख सकते हैं:

धारणा:

मौलिक अवधि To के साथ एक आवधिक सिग्नल x(t) की जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया जाता है,

जहाँ

अब k का मान रखकर और ऊपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करके हम प्राप्त करते हैं-

गणना:

     ---- (1)

हम जानते हैं कि, 

फूरियर श्रृंखला विस्तार के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करके

हमें मिला 

संप्रत्यय:

एक एकध्रुवीय वर्गाकार घड़ी का तरंगरूप इस प्रकार दिखाया गया है:

इस आवधिक तरंगरूप के लिए घातीय फूरियर श्रेणी गुणांक की गणना करते हुए, हमें प्राप्त होता है,

|C_n| का परिमाण इस प्रकार परिभाषित है,

|C_n| = 0, यदि n सम है।

उपरोक्त तरंग का औसत मान इस प्रकार दिया गया है,

इस मान का 10% 0.05 A है

अब, दी गई शर्त से हमारे पास है,

इसलिए, n

इसलिए, अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 है,

लेकिन, दी गई क्लॉक पल्स एक अर्ध-तरंग सममित तरंग है जो केवल f₀ = 250 MHz के विषम हार्मोनिक्स उत्पन्न करेगी।

और अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 से कम उच्चतम संभव हार्मोनिक 5 है।

और 250 MHz का पाँचवाँ (5वाँ) हार्मोनिक 1250 MHz है। इसलिए, बोर्ड को 1250 MHz के लिए डिज़ाइन किया जाना चाहिए।

धारणा:

मौलिक अवधि To के साथ एक आवधिक सिग्नल x(t) की जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया जाता है,

जहाँ

अब k का मान रखकर और ऊपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करके हम प्राप्त करते हैं-

गणना:

     ---- (1)

हम जानते हैं कि, 

फूरियर श्रृंखला विस्तार के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करके

हमें मिला 

अंतराल α

जहाँ

एक सम फलन कोई भी फलन f है जिसके लिए f(-x) = f(x)

उदाहरण: cos x, sec x, x2, x4, x6 …….., x-2, x-4 ……..

एक विषम फलन कोई भी फलन f है जिसके लिए f(-x) = -f(x)

उदाहरण: sin x, tan x, cosec x, cot x, n, x3 ……., x-1, x-3 ……..

जब f, 2L आवर्त का एक सम आवर्त फलन है, तो इसकी फूरियर श्रेणी में केवल कोसाइन (संभवतः, अचर पद सहित) पद होते हैं।

जब f, 2L आवर्त का एक विषम आवर्त फलन है, तो इसकी फूरियर श्रेणी में केवल साइन पद होते हैं।

संप्रत्यय:

एक एकध्रुवीय वर्गाकार घड़ी का तरंगरूप इस प्रकार दिखाया गया है:

इस आवधिक तरंगरूप के लिए घातीय फूरियर श्रेणी गुणांक की गणना करते हुए, हमें प्राप्त होता है,

|C_n| का परिमाण इस प्रकार परिभाषित है,

|C_n| = 0, यदि n सम है।

उपरोक्त तरंग का औसत मान इस प्रकार दिया गया है,

इस मान का 10% 0.05 A है

अब, दी गई शर्त से हमारे पास है,

इसलिए, n

इसलिए, अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 है,

लेकिन, दी गई क्लॉक पल्स एक अर्ध-तरंग सममित तरंग है जो केवल f₀ = 250 MHz के विषम हार्मोनिक्स उत्पन्न करेगी।

और अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 से कम उच्चतम संभव हार्मोनिक 5 है।

और 250 MHz का पाँचवाँ (5वाँ) हार्मोनिक 1250 MHz है। इसलिए, बोर्ड को 1250 MHz के लिए डिज़ाइन किया जाना चाहिए।

संकल्पना:

सम समरूपता:

⇒ एक सम सिग्नल का FS प्रसार साइन पद को सन्तुष्ट नहीं करता है

विषम समरूपता:

⇒ एक विषम सिग्नल के FS प्रसार में केवल साइन पद होता है

अर्ध तरंग समरूपता:

समय विस्थापन

1 = -eJnπ

1 + (eJπ)n = 0

∴ eπj = -1

1 + (-1)n = 0     -----(1)

समीकरण (1) n = विषम - पूर्णांक के लिए संतुष्ट होगी

nω0 = विषम संनादी

∴ H.W.S के F.S प्रसार में केवल ODD संनादी होती है

सम + H.W.S:

⇒ H.W.S सिग्नल के F.S प्रसार में विषम संनादी के साथ कोसाइन पद शामिल हैं।

ODD संनादी के साथ Cos शर्तें

विषम + H.W.S

⇒ H.W.S सिग्नल के F.S प्रसार में सम संनादी के साथ साइन पद शामिल हैं।

अनुप्रयोग:

दी गई आकृति विषम और अर्ध तरंग समरूपता है इसलिए इसमें केवल विषम संनादी शामिल हैं

∴ 10^वाँ शून्य होगा

सिद्धांत:

ड्यूटी चक्र को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

, जहाँ T_on वह समय है जिसके लिए तरंग उच्च (1) है और T_off = वह समय जिसके लिए तरंग 0 या निम्न है

एक आवधिक सिग्नल के लिए फूरियर श्रेणी गुणांक इस प्रकार दिया गया है:

गणना:

दिया गया ड्यूटी चक्र = 33.33%

⇒ 3t_on = t_on + t_off

⇒ 2t_on = t_off ----(1)

इसके अलावा ⇒ t_on + t_off = T

⇒ t_on + 2t_on = T

3 t_on = T

----(2)

तरंग नीचे दिखाए अनुसार होगी;

मान लीजिये,

A = दिए गए आयताकार तरंग का आयाम।

उपरोक्त तरंग का फूरियर श्रेणी गुणांक होगा:

जहाँ,

स्पष्ट रूप से, 3 के गुणजों के लिए गुणांक c_k = 0 इसलिए, 33.33% ड्यूटी चक्र वाली दी गई आयताकार स्पंद के लिए 3 के गुणज अर्थात् तृतीय, षष्ठ, नवम, गुणज अनुपस्थित होंगे।

धारणा:

मौलिक अवधि To के साथ एक आवधिक सिग्नल x(t) की जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया जाता है,

जहाँ

अब k का मान रखकर और ऊपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करके हम प्राप्त करते हैं-

गणना:

     ---- (1)

हम जानते हैं कि, 

फूरियर श्रृंखला विस्तार के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करके

हमें मिला 

घातांकीय फॉरियर श्रृंखला गुणांक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

उपरोक्त समीकरण से C_n और C_-n सम्मिश्र संयुग्म हैं।

C_n = C^*_n

इसलिए, |C_n| = |C_-n|

परिमाण वर्णक्रम सममितीय होता है।

C_n का चरण θ_n है, हालाँकि C_-n का चरण -θ_n है। अतः चरण वर्णक्रम प्रतिसममितीय है।

अवधारणा :

किसी दिए गए फूरियर श्रृंखला गुणांक c_n के लिए संकेत निम्न द्वारा दिया जाता है:

उपरोक्त का विस्तार करते हुए, हम लिख सकते हैं:

ω₀ = मौलिक आवृत्ति

ω0 = 2 के लिए उपरोक्त विस्तार को इस प्रकार लिखा जा सकता है

     ---(1)

अनुप्रयोग:

sin²t की मौलिक अवधि होगी:

और मौलिक आवृत्ति ω0 = 2

sin ² t को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

      ---(2)

समीकरण (2) की तुलना समीकरण (1) के मानक व्यंजक से करते हुए हम लिख सकते हैं:

अंतराल α

जहाँ

एक सम फलन कोई भी फलन f है जिसके लिए f(-x) = f(x)

उदाहरण: cos x, sec x, x2, x4, x6 …….., x-2, x-4 ……..

एक विषम फलन कोई भी फलन f है जिसके लिए f(-x) = -f(x)

उदाहरण: sin x, tan x, cosec x, cot x, n, x3 ……., x-1, x-3 ……..

जब f, 2L आवर्त का एक सम आवर्त फलन है, तो इसकी फूरियर श्रेणी में केवल कोसाइन (संभवतः, अचर पद सहित) पद होते हैं।

जब f, 2L आवर्त का एक विषम आवर्त फलन है, तो इसकी फूरियर श्रेणी में केवल साइन पद होते हैं।

संप्रत्यय:

एक एकध्रुवीय वर्गाकार घड़ी का तरंगरूप इस प्रकार दिखाया गया है:

इस आवधिक तरंगरूप के लिए घातीय फूरियर श्रेणी गुणांक की गणना करते हुए, हमें प्राप्त होता है,

|C_n| का परिमाण इस प्रकार परिभाषित है,

|C_n| = 0, यदि n सम है।

उपरोक्त तरंग का औसत मान इस प्रकार दिया गया है,

इस मान का 10% 0.05 A है

अब, दी गई शर्त से हमारे पास है,

इसलिए, n

इसलिए, अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 है,

लेकिन, दी गई क्लॉक पल्स एक अर्ध-तरंग सममित तरंग है जो केवल f₀ = 250 MHz के विषम हार्मोनिक्स उत्पन्न करेगी।

और अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 से कम उच्चतम संभव हार्मोनिक 5 है।

और 250 MHz का पाँचवाँ (5वाँ) हार्मोनिक 1250 MHz है। इसलिए, बोर्ड को 1250 MHz के लिए डिज़ाइन किया जाना चाहिए।