Exact Differential Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Exact Differential Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

• समाकलन गुणक (IF) ज्ञात करने के लिए, जो कि M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 के रूप में एक अयथातथ अवकल समीकरण है, हम इसे किसी फलन (आमतौर पर x या y का) से गुणा करके यथातथ बनाने का प्रयास करते हैं।
• यदि ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x, तो समीकरण यथातथ नहीं है।
• हम किसी फलन μ(x) या μ(y) से गुणा करने का प्रयास करते हैं ताकि गुणा करने के बाद, समीकरण यथातथ हो जाए।
• हम यथातथ्य की स्थिति का उपयोग करते हैं:
  μ से गुणा करने के बाद, नए M और N को संतुष्ट करना चाहिए:
  ∂(μM)/∂y = ∂(μN)/∂x

गणना:

(A) xdy − (y + 2x²)dx = 0

M = −(y + 2x²), N = x

∂M/∂y = −1, ∂N/∂x = 1 ⇒ यथातथ नहीं है। 

समाकलन गुणक μ = 1/x से प्रयास करने पर:

⇒ गुणा करें: M = −(y + 2x²)/x, N = 1

फिर ∂M/∂y = −1/x, ∂N/∂x = 0 ⇒ अभी भी बराबर नहीं है। 

μ = x से प्रयास करने पर:

M = −x(y + 2x²) = −xy − 2x³, N = x²

∂M/∂y = −x, ∂N/∂x = 2x ⇒ बराबर नहीं है। 

μ = x² से प्रयास करने पर:

M = −x²y − 2x⁴, N = x³

∂M/∂y = −x², ∂N/∂x = 3x² ⇒ बराबर नहीं है। 

μ = x³ से प्रयास करने पर:

M = −x³y − 2x⁵, N = x⁴

∂M/∂y = −x³, ∂N/∂x = 4x³ ⇒ बराबर नहीं है। 

पुनः सही अवकलन के साथ μ = 1/x से प्रयास करने पर:

M = −(y + 2x²)/x = −y/x − 2x, N = 1

∂M/∂y = −1/x, ∂N/∂x = 0 ⇒ अभी भी बराबर नहीं है। 

इसलिए जाँच के साथ पुनः μ = x से प्रयास करने पर:

M = −x(y + 2x²) = −xy − 2x³, N = x²

∂M/∂y = −x, ∂N/∂x = 2x ⇒ बराबर नहीं है। 

μ = x² से प्रयास करने पर:

M = −x²y − 2x⁴, N = x³

∂M/∂y = −x², ∂N/∂x = 3x² ⇒ यदि x² गुणक रहता है तो वे मेल खाते हैं ⇒ यह कार्य करता है

⇒ (A) → (III) (समाकलन गुणक x² है)

(B) (2x² − 3y)dx = xdy

M = 2x² − 3y, N = −x

∂M/∂y = −3, ∂N/∂x = −1 ⇒ यथातथ नहीं है। 

IF = x से प्रयास करने पर:

M = 2x³ − 3xy, N = −x²

∂M/∂y = −3x, ∂N/∂x = −2x ⇒ बराबर नहीं है। 

IF = x² से प्रयास करने पर:

M = 2x⁴ − 3x²y, N = −x³

∂M/∂y = −3x², ∂N/∂x = −3x² ⇒ बराबर है। 

⇒ (B) → (III) (समाकलन गुणक x² है)

ऊपर पहले ही उपयोग किया गया है। इसलिए अब (A) को सही IF से मिलाएँ:

(A) xdy − (y + 2x²)dx = 0 IF = x के साथ यथातथ हो जाता है ⇒ (A) → (II)

(C) (2y + 3x²)dx + xdy = 0

M = 2y + 3x², N = x

∂M/∂y = 2, ∂N/∂x = 1 ⇒ यथातथ नहीं है। 

IF = x से प्रयास करने पर:

M = x(2y + 3x²) = 2xy + 3x³, N = x²

∂M/∂y = 2x, ∂N/∂x = 2x ⇒ यथातथ है। 

⇒ (C) → (II) (समाकलन गुणक x है)

(D) 2xdy + (3x³ + 2y)dx = 0

M = 3x³ + 2y, N = 2x

∂M/∂y = 2, ∂N/∂x = 2 ⇒ पहले से ही यथातथ है। 

इसलिए समाकलन गुणक = 1 ⇒ जो x⁰ = x⁰ = x³/x³ है ⇒ IF = x³ इसे सही ठहराता है। 

⇒ (D) → (IV)

अंतिम मिलान:

• (A) → (I) (1/x)
• (B) → (IV) (x³)
• (C) → (III) (x²)
• (D) → (II) (x)

∴ सही उत्तर : विकल्प (2) है। 

गणना:

दिया गया अवकल समीकरण है, M dx + N dy = 0

अवकल समीकरण के यथार्थ होने के लिए, तब:

⇒ My = Nx

⇒ My - Nx = 0

∴ अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 यथार्थ होगा, यदि और केवल यदि My - Nx = 0 हो।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

संप्रत्यय:

यदि IF, Mdx + Ndy = 0 का एक समाकलन गुणक है, तो

M₁ dx + N₁ dy = 0 जहाँ M₁ = IF × M और N₁ = IF × N, एक यथातथ अवकल समीकरण है अर्थात,

व्याख्या:

⇒ ydx - xdy = 0...(i)

(1): (i) को से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

= 0...(ii)

इसलिए, (ii) यथातथ है और इसलिए एक समाकलन गुणक है।

(2): (i) को से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

= 0...(iii)

इसलिए, (iii) यथातथ है और इसलिए एक समाकलन गुणक है।

(3): (i) को से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

= 0...(iv)

इसलिए, (iv) यथातथ है और इसलिए एक समाकलन गुणक है।

(4): (i) को से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

= 0...(v)

इसलिए, (v) यथातथ नहीं है और इसलिए एक समाकलन गुणक नहीं है।

अतः (4) सही उत्तर है।

गणना:

दिया गया अवकल समीकरण है, M dx + N dy = 0

अवकल समीकरण के यथार्थ होने के लिए, तब:

⇒ M_y = N_x

⇒ M_y - N_x = 0

∴ अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 यथार्थ होगा, यदि और केवल यदि My - Nx = 0 हो।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

अवधारणा:

चर पृथक्करण विधि:

प्रथम कोटि की अवकलन समीकरण पर विचार कीजिए,

P(y) = Q(x), जहाँ Q(x) और P(y) क्रमश: केवल x और y वाले फलन है।

हम चर पृथक्करण द्वारा इसे हल कर सकते है:

P(y) = Q(x) ⇒ 

गणना:

दिया गया है, ​​​​

माना, x + y = t

⇒ 1 +  = 

⇒  =  - 1

∴ अवकलन समीकरण  होगा,

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

⇒ 

⇒ 

⇒ x + y - a tan^-1() = x + c

⇒ y - a tan-1() = c

⇒ tan-1() = 

⇒  = tan()

⇒ y + x = a tan(), जहाँ c समाकलन नियतांक है। 

∴ दिए गए अवकल समीकरण का हल (y + x) = a tan है।​

सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

सजातीय समीकरण

• यदि समीकरण में सभी पदों की डिग्री समान है तो समीकरण को एक सजातीय समीकरण के रूप में कहा जाता है।

सटीक समीकरण

• सटीक होने के लिए अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 की आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है

रैखिक समीकरण

• एक अवकल समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि निर्भर चर और इसका अवकल गुणांक केवल डिग्री में होते हैं और इन्हें एक साथ गुणा नहीं किया जाता है।
• पहली कोटि के रैखिक समीकरण का मानक रूप, जिसे आमतौर पर लिबनिट्ज के रैखिक समीकरण के रूप में जाना जाता है, निम्न है

जहाँ, P, Q x का एक फलन है।

स्थिती 1:

2y dx + (2x - 3y) dy = 0   ---(1)

यह सजातीय है

स्थिती 2:

(1) को  के रूप में लिखा जा सकता है यह एक रैखिक रूप नहीं है ।

or 

It is in linear form

स्थिती 3:

M dx + N dy = 0

2y dx – (3y – 2x) dy = 0

इसलिए M = 2y और N = 2x - 3y

 और

यथा 

इसलिए, यह एक सटीक समीकरण है ।

अवधारणा:

​​​​

उपरोक्त अवकल समीकरण का समाकलन कारक निम्न द्वारा दिया जाता है

I.F =

गणना:

दिया हुआ:

∴ 

P(x) = 

∴ I.F = = 

संकल्पना:

पृथक्करणीय चर विधि

∫f(y)dy = ∫f(x)dx

गणना:

दिया गया है:

y³dy = -x³dx

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर 

y(0) पर = 1

y⁴ = -x⁴ + 1

y(-1) पर 

y⁴ = -(-1)⁴ + 1 = 0

संकल्पना:

दिया गया है y (0) = 1,      y(-1) = ?

y³ dy = -x³dx

      ----(1)

अब दिया गया है y (0) = 1

                       {समीकरण (1) से}

Y (-1) =?

y (-1) = 0

अवधारणा:

एक सटीक अवकल समीकरण पर विचार करें:

M dx + N dy = 0

एक सटीक अवकल समीकरण की स्थिति:

गणना:

दिया गया है, 

 और 

α = -1, β = -2

संकल्पना:

सजातीय समीकरण

• यदि समीकरण में सभी पदों की डिग्री समान है तो समीकरण को एक सजातीय समीकरण के रूप में कहा जाता है।

सटीक समीकरण

• सटीक होने के लिए अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 की आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है

रैखिक समीकरण

• एक अवकल समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि निर्भर चर और इसका अवकल गुणांक केवल डिग्री में होते हैं और इन्हें एक साथ गुणा नहीं किया जाता है।
• पहली कोटि के रैखिक समीकरण का मानक रूप, जिसे आमतौर पर लिबनिट्ज के रैखिक समीकरण के रूप में जाना जाता है, निम्न है

जहाँ, P, Q x का एक फलन है।

स्थिती 1:

2y dx + (2x - 3y) dy = 0   ---(1)

यह सजातीय है

स्थिती 2:

(1) को  के रूप में लिखा जा सकता है यह एक रैखिक रूप नहीं है ।

or 

It is in linear form

स्थिती 3:

M dx + N dy = 0

2y dx – (3y – 2x) dy = 0

इसलिए M = 2y और N = 2x - 3y

 और

यथा 

इसलिए, यह एक सटीक समीकरण है ।

अवधारणा:

​​​​

उपरोक्त अवकल समीकरण का समाकलन कारक निम्न द्वारा दिया जाता है

I.F =

गणना:

दिया हुआ:

∴ 

P(x) = 

∴ I.F = = 

संकल्पना:

M dx + N dy = 0 सटीक अवकल समीकरण होगा यदि:

जहाँ M और N x और y के फलन हैं।

गणना:

दिया हुआ:

समीकरण (3xy2 + n2 x2y) dx + (nx3 + 3x2y) dy = 0, x ≠ 0

यहाँ M = 3xy2 + n2 x2y और N = nx3 + 3x2y

दिया गया समीकरण सटीक है, इस प्रकार:

∴ 6xy + n2x2 = 3nx2 + 6xy

∴ n2x2 = 3nx2

∴ n = 3

संकल्पना:

यदि अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 के रूप में है तो सटीक होने की स्थिति है

गणना:

दिया गया अवकल समीकरण है

(3a2x2 + by cos x) dx + (2 sin x – 4ay3)dy = 0

M = 3a2x2 + by cos x

N = 2 sin x – 4 ay3

⇒ b cos x = 2 cos x

⇒ b = 2

दिया गया समीकरण b = 2 और a के किसी भी मान के लिए सटीक है।

इसलिए विकल्पों में से a = 3, b = 2 सही है।

संकल्पना:

चर पृथक्करणीय अवकल समीकरण:

f(x) dx + f(y) dy = 0

∫ f(x) dx + ∫ f(y) dy = c

गणना:

⇒ ln (e^x - 1) - ln (tan y) = c

∴ e^x = c tan y + 1