Binomial Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Binomial Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 26, 2025
Latest Binomial Theorem MCQ Objective Questions
Binomial Theorem Question 1:
एक द्विपद बंटन में, यदि माध्य 6 है और मानक विचलन √2 है, तो क्रमशः प्राचल n और p के मान क्या हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है:
⇒ माध्य x = np = 6....(i)
⇒ मानक विचलन =
(ii) को (i) से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है
⇒
⇒ q= 1/3
अब
⇒ p = 1 - q = 1- 1/3 = 2/3
(i) से
⇒
⇒n =9
∴ विकल्प (d) सही है।
Binomial Theorem Question 2:
Comprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार करें :
मान लीजिये (8 + 3√7) 20 = U + V और (8 - 3√7) 20 = W, जहाँ U एक पूर्णांक है और 0
(U + V)W का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है:
(8 + 3√7) 20 = U + V...(i)
(8 - 3√7) 20 = W...(ii)
⇒ (U + V)W =] (8 + 3√7) 20][(8 - 3√7) 20]
= (64 - 63)20 = 120 = 1
∴ विकल्प (b) सही है।
Binomial Theorem Question 3:
Comprehension:
निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार करें :
मान लीजिये (8 + 3√7) 20 = U + V और (8 - 3√7) 20 = W, जहाँ U एक पूर्णांक है और 0
V + W किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है:
(8 + 3√7) 20 = U + V...(i)
(8 - 3√7) 20 = W...(ii)
यहाँ, 0
अब, समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है
U + V +W = (8 + 3√7) 20 + (8 - 3√7) 20
= 2[20C0820+ 20C2818. (3√7 )2+........+(3√7)20
⇒ यह एक सम संख्या है।
इसके अलावा, 0
इस प्रकार, V + W एक पूर्णांक है
V + W = 1
∴ विकल्प (d) सही है।
Binomial Theorem Question 4:
जब 7n - 6n को 36 से विभाजित किया जाता है, तो n = 100 के लिए शेषफल क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
मान लीजिये p(n) = 7n - 6n
= (6+1)n - 6n
= 1+6n +nC262 + nC363+.......... 6n -6n
= 1+ 62(nC2+ nC3 x 6 +....... 6n-2)
= 1+ 36(100C2 + 100C3 x 6 +........698).....(n =100)
= 1 + 36 k
जहाँ k = (100C2 + 100C3 x 6 +........698)
इस प्रकार जब 7n - 6n को 36 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 1 होगा
∴ विकल्प (b) सही है
Binomial Theorem Question 5:
(1 + x)p (1 + x)q के प्रसार में, यदि x3 का गुणांक 35 है, तो (p + q) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
द्विपद प्रसार:
- द्विपद प्रमेय का उपयोग
के रूप के व्यंजकों के प्रसार के लिए किया जाता है। के प्रसार में सामान्य पद द्वारा दिया जाता है, जहाँ nCk द्विपद गुणांक है। का गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम प्रसार से संबंधित पदों की पहचान करते हैं और गुणांक को 35 के बराबर सेट करते हैं।
गणना:
प्रसार में x3 का गुणांक 35 है।
हम x3 पद के लिए द्विपद प्रसार सूत्र का उपयोग करते हैं
⇒ (p+ q)c3 = 35 = 7C3
⇒ p+q =7
∴ सही उत्तर विकल्प C है।
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के विस्तार में मध्य पद ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है
मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है।
- यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात्
पद मध्य पद है। - यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात्
और दो मध्य पद हैं।
गणना:
यहाँ, हमें
यहाँ n = 8 (n सम संख्या है।)
∴ मध्य पद =
T5 = T (4 + 1) = 8C4 × (2x) (8 - 4) ×
T5 = 8C4 × 24
C(n, 1) + C(n, 2) + _ _ _ _ _ + C(n, n) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 7 Detailed Solution
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(1 + x)n = nC0 × 1(n-0) × x 0+ nC1 × 1(n-1) × x 1 + nC2 × 1(n-2) × x2 + …. + nCn × 1(n-n) × xn
G.P. का nवां पद an = arn−1 है
n पदों का योग = s =
n पदों का योग = s =
गणना:
C(n, 1) + C(n, 2) + _ _ _ _ _ + C(n, n)
⇒ nC1 + nC2 + ... + nCn
⇒ nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCn - nC0
⇒ (1 + 1)n - nCo
⇒ 2n - 1 =
G.P योग = a ×
∴ 2n - 1 = 1 + 2 + 22 + ... +2n-1 जो हमें कुल में n पद देगा।
(1 + x)2n के विस्तार में पहले और अंतिम पदों के गुणांक का योग क्या है, जहां n एक प्राकृतिक संख्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 8 Detailed Solution
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(1 + x)n = nC0 × 1(n-0) × x 0+ nC1 × 1(n-1) × x 1 + nC2 × 1(n-2) × x2 + …. + nCn × 1(n-n) × xn
गणना:
दिया गया विस्तार (1 + x)2n है
= 2nC0 ×1(2n-0) × x0 + 2nC1 ×1(2n-1) × x1 + ... + 2nC2n ×1(2n-2n) × x2n
पहला पद = 2nC0 ×1 × 1 = 1
अंतिम पद = 2nC2n ×1 × x2n = 1 × x2n = x2n
⇒ योग = 1 + x2n
1 का गुणांक = 1, x2n का गुणांक = 1
∴ तो, गुणांकों का योग = 1 + 1 = 2
(x + 3)6 के विस्तार में मध्य पद ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 9 Detailed Solution
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(a + b)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है: Tr + 1 = nCr ⋅ an – r ⋅ br
नोट: (a + b)n के विस्तार में अंत से rवां पद प्रारंभ से [(n + 1) – r + 1] = (n – r + 2)वां पद है।
(a + b)n के विस्तार में मध्य पद
(a + b)n के विस्तार में यदि n विषम है तो दो मध्य पद हैं जो निम्नलिखित हैं:
गणना:
दिया हुआ: (x + 3)6
यहाँ, n = 6
∵ n = 6 और यह सम संख्या है।
जैसा कि हम जानते हैं कि (a + b)n के विस्तार में मध्य पद
के विस्तार में मध्य पद ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 10 Detailed Solution
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सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है
मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है।
- यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात्
पद मध्य पद है। - यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात्
और दो मध्य पद हैं।
गणना:
यहाँ, हमें
यहाँ n = 5 (n विषम संख्या है।)
∴ मध्य पद =
T3 = T (2 + 1) = 5C2 × (2x) (5 - 2) ×
T3 = 5C2 × (23x) और T4 = 5C3 × 22 ×
T3 = 80x और T4 =
अतः विस्तार का मध्य पद 80x और
यदि (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद (-1/8)x² है, तो m का परिमेय मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 11 Detailed Solution
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(1 + x)n का प्रसरण:
गणना:
दिया गया है: (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद (-1/8)x² है।
इसलिए, (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद
⇒
⇒ 4m2 - 4m + 1 = 0
⇒ (2m - 1)2 = 0
⇒ 2m - 1 = 0
∴ m =
के विस्तार में (x से स्वतंत्र) स्थिर पद का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 12 Detailed Solution
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सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है
गणना:
दिया गया विस्तार
सामान्य पद =
x से स्वतंत्र पद के लिए x की घात शून्य होनी चाहिए
यानी
⇒ r = 2
∴ आवश्यक पदहै
(2 + 3x)4 के द्विपद विस्तार में मध्य पद का गुणांक क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 13 Detailed Solution
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सामान्य पद: (x + y)n के द्विपद विस्तार में सामान्य पद इसके द्वारा दिया जाता है
मध्य पद: (x + y)n के विस्तार में मध्य पद n के मान पर निर्भर करता है।
- यदि n सम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए केवल एक मध्य पद है यानी
पद मध्य पद है।
- यदि n विषम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं यानी
और दो मध्य पद हैं।
गणना:
यहाँ हमें (2 + 3x)4 के द्विपद विस्तार में मध्य पद के गुणांक को खोजना होगा
यहाँ n = 4 (n सम संख्या है)
∴ मध्य पद =
T3 = T (2 + 1) = 4C2 × (2) (4 - 2) × (3x) 2
T3 = 6 × 4 × 9x2 = 216 x2
∴ मध्य पद का गुणांक = 216
के विस्तार में x2 का गुणांक क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 14 Detailed Solution
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सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया गया है
(1 + x)n का विस्तार:
गणना:
खोजने के लिए:
अब, विस्तार में x2 का गुणांक =
(1 + x)50 के प्रसार में x के विषम घातों के गुणांकों का योगफल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Theorem Question 15 Detailed Solution
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(1 + x)n = [nC0 + nC1 x + nC2 x2 + … +nCn xn]
- C0 + C1 + C2 + … + Cn = 2n
- C0 + C2 + C4 + … = 2n-1
- C1 + C3 + C5 + … = 2n-1
गणना:
(1 + x)50 = [50C0 + 50C1 x + 50C2 x2 + … +50Cn x50] ----(1)
यहाँ, n = 50
उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए, गुणांक के विषम पदों का योग है
S = (50C1 + 50C3 + 50C5 + ……. + 50C49)
⇒ S = 250-1 = 249
∴ गुणांक के विषम पदों का योग = 249