Binomial Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Binomial Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

द्विपद गुणांकों का योग और महत्तम द्विपद गुणांक:

• के प्रसार में द्विपद गुणांकों का योग x = 1 और y = 1 प्रतिस्थापित करके परिकलित किया जाता है। परिणाम है।
• महत्तम द्विपद गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम गुणांकों का विश्लेषण करते हैं जहाँ r प्रसार में पद सूचकांक है। महत्तम गुणांक मध्य पद (पदों) के पास होता है।
• मुख्य सूत्र:
  • द्विपद गुणांकों का योग:
  • द्विपद गुणांक:
  • महत्तम द्विपद गुणांक: सम n के लिए, यह r = n/2 पर होता है। विषम n के लिए, यह r = (n-1)/2 और r = (n+1)/2 पर होता है।

गणना:

दिया गया है,

द्विपद गुणांकों का योग =

हम n की गणना करते हैं:

⇒

महत्तम द्विपद गुणांक:

(सम) के लिए, सबसे बड़ा द्विपद गुणांक पर होता है।

⇒ पद सूचकांक r = 4 है, जो 5वें पद (चूँकि अनुक्रमण 0 से शुरू होता है) से मेल खाता है।

∴ सबसे बड़ा द्विपद गुणांक 5वें पद में होता है।

संप्रत्यय:

(a + b)ⁿ के द्विपद प्रसार में एक पद T_k+1 = C(n, k) × a^n-k × b^k द्वारा दिया जाता है।

किसी पद के परिमेय होने के लिए, √3 और 5^1/4 दोनों के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।

प्रयुक्त सूत्र:

(√3)^n-k में, इसके परिमेय होने के लिए n-k सम होना चाहिए।

(5^1/4)^k में, इसके परिमेय होने के लिए k, 4 का गुणज होना चाहिए।

गणना:

माना n = 12:

⇒ (√3)^n-k के परिमेय होने के लिए, n-k सम होना चाहिए।

⇒ चूँकि n = 12 है, इसलिए k भी सम होना चाहिए।

⇒ (5^1/4)^k के परिमेय होने के लिए, k, 4 का गुणज होना चाहिए।

⇒ k के मान जो दोनों शर्तों (k सम है और 4 का गुणज है) को संतुष्ट करते हैं:

⇒ k = 0, 4, 8, और 12

⇒ ये प्रसार में 4 परिमेय पदों के संगत हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

व्याख्या:

दिया गया है:

⇒ माध्य x = np = 6....(i)

⇒ मानक विचलन = ...(ii)

(ii) को (i) से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒

⇒ q= 1/3

अब

⇒ p = 1 - q = 1- 1/3 = 2/3

(i) से

⇒

⇒n =9

∴ विकल्प (d) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

(8 + 3√7) 20 = U + V...(i)

(8 - 3√7) 20 = W...(ii)

⇒ (U + V)W =] (8 + 3√7) 20][(8 - 3√7) 20]

= (64 - 63)²⁰ = 1²⁰ = 1

∴ विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

(8 + 3√7) 20 = U + V...(i)

(8 - 3√7) 20 = W...(ii)

यहाँ, 0

अब, समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

U + V +W = (8 + 3√7) 20 + (8 - 3√7) 20

= 2[²⁰C₀8²⁰+ ²⁰C₂8¹⁸. (3√7 )²+........+(3√7)²⁰

⇒ यह एक सम संख्या है।

इसके अलावा, 0

इस प्रकार, V + W एक पूर्णांक है

V + W = 1

∴ विकल्प (d) सही है।

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात्  पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् औरदो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें  के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 8 (n सम संख्या है।)

∴ मध्य पद = 

T5 = T (4 + 1) = 8C4 × (2x) (8 - 4) × 

T5 =  8C4 × 24

अवधारणा:

(1 + x)n = nC0 × 1(n-0) × x 0+ nC1 × 1(n-1) × x 1 + nC2  × 1(n-2) × x2 + …. + nCn  × 1(n-n) × xn

G.P. का n^वां पद an = arⁿ⁻¹ है

n पदों का योग = s = ; जहाँ r >1

n पदों का योग = s = ; जहाँ r

गणना:

C(n, 1) + C(n, 2) + _ _ _ _  _ + C(n, n) 

⇒ nC1 + nC2 + ... + nCn 

⇒ nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCn - nC0

⇒ (1 + 1)n - nCo 

⇒ 2n - 1 =  = 1 × 

G.P योग = a × , के साथ इसकी तुलना करना हमें a = 1 और r = 2 मिलता है

∴ 2n - 1 = 1 + 2 + 2² + ... +2^n-1 जो हमें कुल में n पद देगा।

अवधारणा:

(1 + x)ⁿ = ⁿC₀ × 1^(n-0) × x ⁰+ ⁿC₁ × 1^(n-1) × x ¹ + ⁿC₂  × 1(n-2) × x² + …. + ⁿC_n  × 1(n-n) × xⁿ

गणना:

दिया गया विस्तार (1 + x)²ⁿ है

= ²ⁿC₀ ×1^(2n-0) × x⁰ +  2nC₁ ×1(2n-1) × x¹ + ... +  2nC_2n ×1(2n-2n) × x²ⁿ

पहला पद = 2nC0 ×1 × 1 = 1

अंतिम पद =  2nC_2n ×1 × x²ⁿ = 1 × x²ⁿ = x²ⁿ

⇒ योग = 1 + x²ⁿ

1 का गुणांक = 1, x2n का गुणांक = 1

∴  तो, गुणांकों का योग = 1 + 1 = 2

अवधारणा:

(a + b)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है: Tr + 1 = nCr ⋅ an – r ⋅ br

नोट: (a + b)n के विस्तार में अंत से rवां पद प्रारंभ से [(n + 1) – r + 1] = (n – r + 2)वां पद है।

(a + b)n के विस्तार में मध्य पद  पद है यदि n सम है।

(a + b)n के विस्तार में यदि n विषम है तो दो मध्य पद हैं जो निम्नलिखित हैं:

गणना:

दिया हुआ: (x + 3)6 

यहाँ, n = 6

∵ n = 6 और यह सम संख्या है।

जैसा कि हम जानते हैं कि (a + b)n के विस्तार में मध्य पद  पद है यदि n सम है।

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात्  पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् औरदो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें  के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 5 (n विषम संख्या है।)

∴ मध्य पद =  and  = तीसरा और चौथा

T3 = T (2 + 1) = 5C2 × (2x) (5 - 2) ×   और T4 = T (3 + 1) = 5C3 × (2x) (5 - 3) ×  

T3 =  5C2 × (2³x) और T4 = 5C3 × 2² × 

T3 = 80x और  T4 = 

अतः विस्तार का मध्य पद 80x और  है। 

संकल्पना:

(1 + x)n का प्रसरण:

गणना:

दिया गया है: (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद (-1/8)x² है। 

इसलिए, (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद है। 

 = (-1/8)x²

⇒ 

⇒ 4m² - 4m + 1 = 0

⇒ (2m - 1)² = 0

⇒ 2m - 1 = 0

∴ m = 

धारणा:

सामान्य पद: (x + y)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है

गणना:

दिया गया विस्तार  है

सामान्य पद =  

x से स्वतंत्र पद के लिए x की घात शून्य होनी चाहिए

यानी 

⇒ r = 2

है

धारणा:

सामान्य पद: (x + y)n के द्विपद विस्तार में सामान्य पद इसके द्वारा दिया जाता है

मध्य पद: (x + y)n के विस्तार में मध्य पद n के मान पर निर्भर करता है।

• यदि n सम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए केवल एक मध्य पद है यानी  पद मध्य पद है।

• यदि n विषम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं यानी और  दो मध्य पद हैं।

गणना:

यहाँ हमें (2 + 3x)⁴ के द्विपद विस्तार में मध्य पद के गुणांक को खोजना होगा

यहाँ n = 4 (n सम संख्या है)

∴ मध्य पद =

T₃ = T _{(2 + 1)} = ⁴C₂ × (2) ^{(4 - 2)} × (3x) ²

T₃ = 6 × 4 × 9x² = 216 x²

∴ मध्य पद का गुणांक = 216

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया गया है

(1 + x)ⁿ का विस्तार:

गणना:

खोजने के लिए: के विस्तार में x² का गुणांक

अब, विस्तार में x² का गुणांक = 

प्रयुक्त सूत्र:

(1 + x)n  = [nC0 + nC1 x + nC2 x2 + … +nCn xn]

• C0 + C1 + C2 + … + Cn = 2n
• C0 + C2 + C4 + … =  2n-1
• C1 + C3 + C5 + … = 2n-1

गणना:

(1 + x)50  = [50C0 + 50C1 x + 50C2 x2 + … +50Cn x50]    ----(1)

यहाँ, n = 50

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए, गुणांक के विषम पदों का योग है

S = (50C1 + 50C3­ + 50C5 + ……. + 50C49)

⇒ S = 250-1 = 249

∴ गुणांक के विषम पदों का योग = 249