निम्न में से कौन सा सत्य कथन है?

दूसरा विकल्प ∇ (ϕ) = ϕ(∇f) +  ⋅ (∇ϕ) सही है।

संकल्पना:

गुणनफल नियम

• जैसा कि गुणनफल नियम इंगित करता है, आइए दो सरल फलन f और g लेते हैं और दोनों अवकलनीय हैं। 

⇒  

• अब उसी गुणनफल नियम को सादृश्यता नियम द्वारा दो सदिश फलनों ϕ और  पर लेने पर। 

​⇒ ∇ ⋅ (ϕ) = ϕ(∇f) +  ⋅ (∇ϕ)

प्रमाण:

आइए δ को दो सदिश फलन ϕ और  के गुणनफल के रूप में लेते हैं।

∴ δ = ϕ⋅  ................(1)

अब फलन δ को अवकलित करने पर 

∴ δ' =  

∴ δ' = 

∴ δ' =  ϕ (x + h) ⋅   +   ⋅  

∴ δ' = 

∴ δ' = ϕ(∇f) +  ⋅ (∇ϕ)   .............(2)

समीकरण (1) से ⇒ δ = ϕ⋅

⇒ δ' या ∇δ = ∇ ⋅ (ϕ)   ...............(3)

समीकरणों (2) और (3) से।

∇ ⋅ (ϕ) = ϕ(∇f) +  ⋅ (∇ϕ)

• अत: यह सत्य है और विकल्प 2 सत्य हो जाता है।