फलन किसका हल है?

संकल्पना:

यदि फलन ϕ(x_1, x₂) लाप्लास समीकरण,   को संतुष्ट करता है, तो फलन लाप्लास समीकरण का हल है।

गणना:

दिया गया फलन,  है। 

x1 के संबंध में आंशिक रूप से ϕ का अवकलन करने पर

फिर से x1 के संबंध में आंशिक रूप से ϕ का अवकलन करने पर

उसीप्रकार, x2 के संबंध में दो बार आंशिक रूप से ϕ का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होगा,

उपरोक्त दो समीकरणों को जोड़ने पर,

चूँकि दिया गया फलन लाप्लास समीकरण ∇2ϕ = 0 को संतुष्ट करता है, इसलिए यह लाप्लास समीकरण का हल है।