Question
Download Solution PDFयदि सामान्य प्रायिकता घनत्व फलन
तो प्रतिदर्शज
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:-
X1, X2, ..., Xn स्वतंत्र और समान रूप से बंटित (i.i.d.) यादृच्छिक चर हैं जिनका सामान्य प्रायिकता घनत्व फलन (pdf) है
प्रयुक्त अवधारणा:-
यह जाँचने के लिए कि क्या T = ∑ᵢ Xᵢ प्राचल θ के लिए पर्याप्त प्रतिदर्शज है, हमें प्रतिदर्श के संभाविता फलन को ज्ञात करने की आवश्यकता है।
व्याख्या:-
प्रतिदर्श का संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन निम्न द्वारा दिया गया है
कारक प्रमेय कहता है कि एक सांख्यिकी T प्राचल θ के लिए पर्याप्त है यदि और केवल यदि प्रतिदर्श का संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन दो फलनों में विभाजित किया जा सकता है।
एक जो केवल T के माध्यम से प्रतिदर्श पर निर्भर करता है, और दूसरा जो θ पर निर्भर नहीं करता है।
हम प्रतिदर्श के संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन को इस प्रकार पुनर्लेखित कर सकते हैं
⇒
यहाँ,
चूँकि संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन को इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है, इसलिए T, θ के लिए एक पर्याप्त प्रतिदर्शज है।
यह जाँचने के लिए कि क्या T पूर्ण है, हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि T प्रतिदर्श में निहित θ के बारे में सभी जानकारी को ग्रहण करने में सक्षम है।
दूसरे शब्दों में, T का कोई भी फलन जो θ से स्वतंत्र है, उसका अपेक्षित मान 0 के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए कि h(T), T का एक फलन है जो θ से स्वतंत्र है। तब
चूँकि θ > 1, \log θ > 0 है, और समाकल्य [0,1] पर धनात्मक है।
इसलिए, यदि सभी θ > 1 के लिए E[h(T)] = 0, तो h(T) लगभग सर्वत्र [0,1] पर शून्य होना चाहिए।
यह दर्शाता है कि T, θ के लिए एक पूर्ण, पर्याप्त प्रतिदर्शज है।
इसलिए, प्रतिदर्शज
इसलिए, सही विकल्प 3 है।
Last updated on Jul 8, 2025
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